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    三次函數(shù)的四式兩值

    2018-10-24 11:04廖愛(ài)國(guó)
    關(guān)鍵詞:中心對(duì)稱根式極值

    三次函數(shù)在各地高考中都有非常多的考查,它是考查導(dǎo)數(shù)很好的素材,其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),所以本文類比二次函數(shù)一般的形式,通過(guò)歸納總結(jié)后,得到三次函數(shù)表達(dá)式的四種形式,即一般式、三根式、對(duì)稱中心式、極值點(diǎn)式,并利用這些形式分析三次函數(shù)中的兩值,即極值和最值,這樣使問(wèn)題分析更加深刻和透徹.

    1三次函數(shù)性質(zhì)類比

    類比二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的表達(dá)式與性質(zhì),我們可以得到:

    性質(zhì)1三次函數(shù)一般式:f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0);

    三次函數(shù)三根式:f(x)=ax-x1x-x2x-x3(a≠0)

    一方面,三次函數(shù)是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心為(-b3a,f(-b3a));另一方面,對(duì)三次函數(shù)的一般式可以作如下化簡(jiǎn):

    f(x)=ax3+bx2+cx+d=a(x+b3a)3+3ac-b23ax+27a2d-b327a2

    =a(x+b3a)3+3ac-b23a(x+b3a)+2b3-9abc+27a2d27a2.

    因此,類比二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,給出如下表示形式:

    性質(zhì)2三次函數(shù)對(duì)稱中心式:f(x)=a(x+b3a)3+t(x+b3a)+f(-b3a).

    性質(zhì)3三次函數(shù)極值點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)2(x-n)+k或f(x)=a(x-x2)2(x-m)+e(x1,x2為其兩個(gè)極值點(diǎn)).

    由性質(zhì)3我們可以得到如下重要結(jié)論:

    推論如果三次函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2(其中x1

    那么x1,x0,x2三個(gè)數(shù)將區(qū)間[m,n]四等分.(其中m,n為性質(zhì)3中的字母且m

    證明由性質(zhì)3,設(shè)f(x)=a(x-x1)2(x-n)+k,則f′(x)=a(x-x1)(3x-2n-x1).

    [TS(][JZ]圖1[TS)]

    令f′(x)=0,得f(x)的極值點(diǎn)為x1,2n+x13.

    所以x2=2n+x13,即n-x2=x2-x12,又f(x)

    關(guān)于點(diǎn)(x0,f(x0))中心對(duì)稱,得x1,x0,x2三個(gè)數(shù)將區(qū)間[m,n]四等分,即證.

    2三次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

    利用上面類比得到的三次函數(shù)的“四式”性質(zhì),筆者發(fā)現(xiàn)在解決三次函數(shù)問(wèn)題時(shí)十分有用,對(duì)研究三次函數(shù)的極值與最值問(wèn)題也帶來(lái)很大的方便.

    2.1三次函數(shù)“四式”應(yīng)用

    例1(2014年浙江卷理科第6題文科第7題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且

    0

    A.c≤3 B.39

    分析1三根式設(shè)f(-1)=f(-2)=f(-3)=t∈0,3,則-3,-2,-1為方程f(x)-t=0的三個(gè)根,因此,由三次函數(shù)的三根式可表示為:f(x)-t=(x+1)(x+2)(x+3),

    所以f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+t=x3+ax2+bx+c.從而f(0)=6+t=c∈6,9,因此選C.

    分析2對(duì)稱中心式由三次函數(shù)的對(duì)稱性可知f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)(-2,f(-2))成中心對(duì)稱,可設(shè)

    f(x)=(x+2)3+d(x+2)+f(-2).

    所以f(-1)=(-1+2)3+d(-1+2)+f(-2)=1+d+f(-2)=f(-2).

    得:d=-1.

    因而f(x)=(x+2)3-(x+2)+f(-2),

    所以c=f(0)=6+f(-2),由0

    例2(2016年浙江卷文科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且

    f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈[WTHZ]R[WTBX],則實(shí)數(shù)a=[CD#3],b=[CD#3].

    分析由f(x)=(x-a)2(x-b)+f(a)的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到三次函數(shù)的極值點(diǎn)式,所以a是函數(shù)f(x)=x3+3x2+1的一個(gè)極值點(diǎn),令f′(x)=3x2+6x=0,得x=-2或x=0.由已知a≠0,所以a=-2,再結(jié)合性質(zhì)3得到的推論,得-1,0把-2,b三等分,所以b=1.

    評(píng)注上面兩個(gè)三次函數(shù)小題的分析中,都利用前面類比得到的三次函數(shù)的“四式”及性質(zhì),求解簡(jiǎn)潔,深入理解問(wèn)題的本質(zhì),這些性質(zhì)在研究三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題中同樣有著重要的作用.

    2.2三次函數(shù)“兩值”

    例3(2016年天津高考理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈[WTHZ]R[WTBX],其中a,b∈[WTHZ]R[WTBX].

    (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;

    (3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于14.

    分析第(1)小題略.第(2)小題的證明就是性質(zhì)3的推論的應(yīng)用,由條件可知

    f(x)=(x-1)3-a(x-1)-a-b是三次函數(shù)的對(duì)稱中心式,所以它的對(duì)稱中心為(1,-a-b),根據(jù)性質(zhì)3的推論得:x=1是x1,x0中間的一個(gè)三等分點(diǎn),所以x1-1=2(1-x0),即x1+2x0=3.

    第(3)小題由函數(shù)g(x)=|f(x)|可知,g(x)max=maxf(x)max,f(x)min,x∈0,2.

    所以本題本質(zhì)上就是分析三次函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最值,因?yàn)閍>0,所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1=1-a3,x2=1+a3,f(x)在-

    SymboleB@ ,x1,x2,+

    SymboleB@ 上遞增,在x1,x2上遞減,所以此題可分兩種情況,如圖:

    [TP廖愛(ài)國(guó)-2.tif,BP][TS(][JZ]圖2[TS)]

    由(2)結(jié)論,只需比較x2=1+a3,3-2x1=1+2a3與2的大小關(guān)系:

    當(dāng)1+2a3≤2或1+a3≥2,即0

    g(x)max=max{f(0),f(2)}

    =max{b+1,2a+b-1}

    ≥b+1+2a+b-12≥a-1≥14;

    當(dāng)1+a3<2<1+2a3,即34

    g(x)max=maxf(x1),f(x2)

    =max2a93a+a+b,2a93a-a-b

    ≥2a93a+a+b+2a93a-a-b2≥2a93a≥14.

    綜上,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于14.

    評(píng)注本題是一道很好的三次函數(shù)問(wèn)題,它結(jié)合絕對(duì)值很好地考查了三次函數(shù)的極值與最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵抓住三次函數(shù)的對(duì)稱性、三次函數(shù)的四種結(jié)構(gòu)形式及其性質(zhì).此題與文獻(xiàn)[2]中的2013年浙江高考理科卷第22題有相近之處,所以,深入研究三次函數(shù)的性質(zhì)也是高考的需要.

    3總結(jié)

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的時(shí)效性.在數(shù)學(xué)選修22第32頁(yè)中,明確要求學(xué)生的圖象和性質(zhì)利用信息技術(shù)工具進(jìn)行探究,可見(jiàn),教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析研究三次函數(shù)的性質(zhì)是非常有必要的.只有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵,才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    參考文獻(xiàn)

    [1]吳玲利,吳躍忠.我國(guó)在三次函數(shù)中的研究進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)通訊.2016(4下):3943.

    [2]吳華平.感悟三次函數(shù)“對(duì)稱”的魅力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2013(8):7576.

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