基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時(shí)變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

趙達(dá)

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時(shí)變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

趙達(dá)

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

針對(duì)一類(lèi)具有多個(gè)采樣周期的時(shí)變采樣控制系統(tǒng)的控制問(wèn)題，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題，通過(guò)求解線(xiàn)性矩陣不等式設(shè)計(jì)出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器，解決了在多個(gè)采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，小車(chē)和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)方法的有效性。

時(shí)變采樣；Schur補(bǔ)；線(xiàn)性矩陣不等式；控制系統(tǒng)

在采樣控制系統(tǒng)中，通常都假定控制器按一個(gè)固定的周期采樣。但是計(jì)算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化以及一些偶發(fā)的事故都可能導(dǎo)致采樣周期發(fā)生波動(dòng)，使采樣控制系統(tǒng)時(shí)變，從而影響系統(tǒng)運(yùn)行的性能，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在這種情況下，如何設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)更穩(wěn)定是一個(gè)非常實(shí)際的問(wèn)題，受到研究者廣泛關(guān)注[1-11]。討論一類(lèi)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的被動(dòng)時(shí)變采樣周期在一個(gè)分布已知的有限個(gè)值之間切換，給出系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)及仿真實(shí)例。

1 問(wèn)題的提出

考慮如下的線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)

x˙（t）=Ax（t）+Bu（t）

y=Cx（t）+Du（t） （1）

其中 x（t），u（t）和 y（t）分別是具有適當(dāng)維數(shù)的狀態(tài)向量、控制輸入向量和量測(cè)輸出向量，A，B，C和D分別是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)（1）的理想采樣周期是T，離散化后的狀態(tài)方程為

由于計(jì)算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化等因素，可能導(dǎo)致采樣器的采樣周期發(fā)生波動(dòng)。不妨設(shè)采樣周期在有限集{T1，T2，…，Tm}上取值，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（1）的離散系統(tǒng)有m個(gè)，狀態(tài)方程可以寫(xiě)成

如果此時(shí)按理想采樣周期的狀態(tài)方程設(shè)計(jì)控制器，則不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下面設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器

使得采樣周期在有限集{T1，T2，…，Tm}上任意取值時(shí)，由（2）和（3）構(gòu)成的閉環(huán)時(shí)變采樣控制系統(tǒng)一致穩(wěn)定。

（1）S＜0；

（2）S11＜0，S22-S12TS11-1S12＜0；

（3）S22＜0，S11-S12S22-1S12T＜0。

2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)以上問(wèn)題的描述以及離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，閉環(huán)系統(tǒng)（2）一致穩(wěn)定的充分條件可以得到。

定理1如果存在對(duì)稱(chēng)矩陣P＞0和矩陣K，使得下面的矩陣不等式

對(duì)所有的 i∈{1，2，…m}成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

證明：考慮Lyapunov函數(shù)

V（tk）=x（tk）TPx（tk）

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（4）以及任意的 i=1，2，…，m 有

如果 Γ（τ）＜0，那么

其中，β=inf{λmin（-Γ（Ti）），i=1，2，…，m}。因此，閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

定理1 給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，但是，所給矩陣不等式并不是線(xiàn)性的，實(shí)際當(dāng)中實(shí)現(xiàn)控制器設(shè)計(jì)很難，進(jìn)一步的定理如下。

定理2 如果存在對(duì)稱(chēng)矩陣p＞0和矩陣Q，使得下面的矩陣不等式

對(duì)所有的 i∈{1，2，…m）成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

證明：根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)，（5）式可以轉(zhuǎn)化成

將其左右同乘 diag（I，P）得

令Q=KP得

又由于以上各步均可逆，所以定理得證。

由定理2，狀態(tài)反饋控制增益矩陣為

K=QP-1。

3 仿真實(shí)例

如圖1，考慮小車(chē)和倒立擺問(wèn)題。假定小車(chē)質(zhì)量m1=0.6 kg，倒立擺質(zhì)量 m2=0.3 kg，擺長(zhǎng) L=1 m，地面光滑。系統(tǒng)的狀態(tài)變量選為，線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

圖1 小車(chē)和倒立擺Fig.1 A cart and inverted pendulum

假定系統(tǒng)的采樣周期有三個(gè)可能取值T1=0.1 s，T2=0.12 s，T3=0.08 s，對(duì)應(yīng)的采樣控制系統(tǒng)是在三個(gè)采樣周期下的三個(gè)離散系統(tǒng)間切換，所以采樣控制系統(tǒng)是時(shí)變采樣控制跳躍系統(tǒng)。

為仿真，假定在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，Tk+1和最近的一次Tk有關(guān)，將Tk看作一個(gè)Markov鏈，設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

在上述采樣周期下，根據(jù)定理2，應(yīng)用Matlab軟件的LMI工具箱求解可得閉環(huán)系統(tǒng)的控制器增益為

K=[1.126 5 3.198 7 -41.680 0 15.819 1]

圖2 小車(chē)和倒立擺模型的狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.2 State response curve of a cart and inverted pendulum

4 結(jié)論

應(yīng)用線(xiàn)性矩陣不等式方法處理控制問(wèn)題是目前控制領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，而利用Schur補(bǔ)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題或線(xiàn)性矩陣不等式是線(xiàn)性矩陣不等式方法的重要內(nèi)容。針對(duì)一類(lèi)具有多個(gè)采樣周期的時(shí)變采樣控制系統(tǒng)的控制問(wèn)題，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題，通過(guò)求解線(xiàn)性矩陣不等式設(shè)計(jì)出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器，解決了在多個(gè)采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，小車(chē)和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)方法的有效性。

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Controller Design for a Class of Time-varying Sampling System Based on Schur Complement

Zhao Da
（College of Science，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319）

The control question with regard to a class of time-varying sampling control systems was presented，the controller design ensuring the uniform stability of systems with multi-sampling periods was transformed into resolving linear matrix inequality by Schur complement，and the simulation results by cart and inverted pendulum verified the effectiveness of the proposed controller design.

time-varying sampling；Schur complement；linear matrix inequality；control system

O151.21

A

1002-2090（2017）06-0060-03

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.06.014

2017-02-20

趙達(dá)（1978-），男，副教授，黑龍江大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事物理教學(xué)與科研方面的工作。