小學(xué)數(shù)學(xué)驗(yàn)證教學(xué)的必要前提和多元方法試探

馮懷勇

【摘要】有效的驗(yàn)證教學(xué)不僅能使學(xué)生自主檢查以核對(duì)數(shù)學(xué)得數(shù)或結(jié)論，還能培養(yǎng)學(xué)生的再認(rèn)、創(chuàng)新和可逆等思維，深化個(gè)體數(shù)學(xué)理解，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的思維習(xí)慣。因此，教師絕不可忽視驗(yàn)證教學(xué)，應(yīng)準(zhǔn)確把握和提供驗(yàn)證教學(xué)的必要前提，引導(dǎo)學(xué)生力求拓展，運(yùn)用多元化的驗(yàn)證方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，追求驗(yàn)證教學(xué)效益的最大化。

【關(guān)鍵詞】驗(yàn)證；教學(xué)；前提；方法

課堂觀察發(fā)現(xiàn)，部分教師雖然通過(guò)組織教學(xué)反饋活動(dòng)，讓學(xué)生知道了一個(gè)算式的得數(shù)或結(jié)果對(duì)不對(duì)，但由于對(duì)于“為什么對(duì)或不對(duì)”“怎樣才能知道對(duì)不對(duì)”等問(wèn)題的教學(xué)認(rèn)識(shí)和實(shí)踐操作不夠，導(dǎo)致驗(yàn)證教學(xué)常常不落實(shí)或“走過(guò)場(chǎng)”。 驗(yàn)證是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要認(rèn)知思考方式之一，教師絕不能輕視。有效的驗(yàn)證教學(xué)不僅是為了確認(rèn)一個(gè)數(shù)學(xué)得數(shù)正不正確，還應(yīng)使學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用驗(yàn)證方法，起到促成學(xué)生自主化的驗(yàn)證行為，培養(yǎng)個(gè)體科學(xué)思維品質(zhì)、積累驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)的效果。

一、有效驗(yàn)證的教學(xué)前提

要爭(zhēng)取驗(yàn)證教學(xué)效益最大化，實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)效果最優(yōu)化，關(guān)鍵在于教師要把握學(xué)情，深度研究教材，改進(jìn)教法，為驗(yàn)證教學(xué)的有效實(shí)施提供前提條件，使驗(yàn)證教學(xué)活動(dòng)從一開(kāi)始實(shí)施就顯出其意義。

1.明確驗(yàn)證教學(xué)的多元目標(biāo)

教學(xué)前，科學(xué)設(shè)置驗(yàn)證教學(xué)目標(biāo)，使課堂中的驗(yàn)證活動(dòng)指向更明確、更有效。教師應(yīng)立足教材，通過(guò)適當(dāng)?shù)耐緩?，確定驗(yàn)證教學(xué)的適宜目標(biāo)。首先，驗(yàn)證教學(xué)目標(biāo)的確立要基于教材。研讀教材發(fā)現(xiàn)，有些驗(yàn)證活動(dòng)被安排在新知探究環(huán)節(jié)，教師應(yīng)關(guān)注教材中提出的思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證”的活動(dòng)過(guò)程，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律或結(jié)論；有些驗(yàn)證活動(dòng)穿插在解題環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)留意教材中布置的檢驗(yàn)活動(dòng)，使學(xué)生自覺(jué)養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣；有些驗(yàn)證活動(dòng)編進(jìn)了書(shū)后練習(xí)中，教師應(yīng)解讀教材的練習(xí)設(shè)置意圖，使學(xué)生通過(guò)驗(yàn)證練習(xí)深化知識(shí)理解。其次，驗(yàn)證教學(xué)目標(biāo)的確立應(yīng)不限于教材安排，甚至可以超越教材。教師應(yīng)根據(jù)班級(jí)學(xué)生的學(xué)情，延伸拓展關(guān)于驗(yàn)證教學(xué)的目標(biāo)和要求，使驗(yàn)證教學(xué)不只達(dá)成知識(shí)目標(biāo)，還實(shí)現(xiàn)過(guò)程、情感等多元目標(biāo)，以不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.考查學(xué)生已有的驗(yàn)證能力

學(xué)生的驗(yàn)證能力和水平，直接影響驗(yàn)證活動(dòng)的有效開(kāi)展。課堂研究發(fā)現(xiàn)，大凡學(xué)生能獨(dú)立思考并想出兩種及以上的驗(yàn)證方法，使用的驗(yàn)證方法有所創(chuàng)新，即表明該學(xué)生的驗(yàn)證能力處于較高水平。對(duì)此，實(shí)施驗(yàn)證教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)通過(guò)課前問(wèn)卷、課堂練習(xí)或課后檢測(cè)等途徑，考查和了解不同學(xué)生的思維特點(diǎn)和驗(yàn)證水平。認(rèn)清學(xué)生的能力水平，教師才能做出準(zhǔn)確的教學(xué)判斷，形成有效的驗(yàn)證活動(dòng)過(guò)程設(shè)計(jì)。一方面，有利于教師對(duì)課堂中可能出現(xiàn)的驗(yàn)證方法情況做出有效的預(yù)設(shè)，并據(jù)此優(yōu)化和完善驗(yàn)證教學(xué)的流程；另一方面，有利于教師把握驗(yàn)證教學(xué)的起點(diǎn)，有針對(duì)性地選擇教學(xué)方式，以此強(qiáng)化學(xué)生在驗(yàn)證活動(dòng)中的自主性，促進(jìn)個(gè)體的驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)。

3.找準(zhǔn)課堂教學(xué)的驗(yàn)證起點(diǎn)

教師要找準(zhǔn)驗(yàn)證教學(xué)的起點(diǎn)，以保證驗(yàn)證活動(dòng)的實(shí)施更順利。驗(yàn)證教學(xué)的起點(diǎn)主要包括如下幾種：（1）思維起點(diǎn)——一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。催生學(xué)生內(nèi)在驗(yàn)證需求的可能是一個(gè)猜想問(wèn)題、一個(gè)操作問(wèn)題或一個(gè)檢驗(yàn)要求等。教師應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，將上述數(shù)學(xué)問(wèn)題作為學(xué)生認(rèn)知思考的發(fā)起點(diǎn)，以此誘發(fā)個(gè)體內(nèi)在的驗(yàn)證需求；（2）行動(dòng)起點(diǎn)——一個(gè)組織形式。驗(yàn)證教學(xué)實(shí)施的組織形式，可以包括獨(dú)立思考、小組合作，交流討論等。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的行為特點(diǎn)，用一個(gè)合適的組織形式展開(kāi)驗(yàn)證活動(dòng)。（3）策略起點(diǎn)——一個(gè)驗(yàn)證方法。驗(yàn)證的方法豐富多樣，按形態(tài)分，包括直觀驗(yàn)證和抽象驗(yàn)證；按性質(zhì)分，包括正向驗(yàn)證和反向驗(yàn)證；按類型分，有計(jì)算、操作、舉例和統(tǒng)計(jì)等方法。因此，可以從一個(gè)有效的驗(yàn)證方法入手，保證學(xué)生驗(yàn)證活動(dòng)的有效推進(jìn)。

二、有效驗(yàn)證教學(xué)的多元方法

有效的驗(yàn)證教學(xué)要注意創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的空間，引發(fā)學(xué)生有深度、有內(nèi)涵、有創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證方法、經(jīng)驗(yàn)和思想上的突破。驗(yàn)證方法可以借助于舉例、估算、操作和筆算等多種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)積極拓展的發(fā)展性教學(xué)效益。

1.舉例驗(yàn)證：既要判斷命題，也要學(xué)會(huì)對(duì)比思考

舉例驗(yàn)證就是通過(guò)舉出有代表性、具體化的例子幫助分析說(shuō)明的方法。例子一般包括“正例”和“反例”兩種。因此，舉例驗(yàn)證的過(guò)程，應(yīng)使學(xué)生學(xué)會(huì)從正反兩方面展開(kāi)思考，舉出對(duì)比性強(qiáng)的例子，對(duì)數(shù)學(xué)命題做出辯證性的對(duì)比思考。例如：教學(xué)蘇教版五上《三角形的面積》一課，教學(xué)出示“兩個(gè)面積相等的三角形，一定能拼成一個(gè)平行四邊形”的判斷題。一般化的驗(yàn)證過(guò)程，教師會(huì)將分析點(diǎn)鎖定在判斷“是否一定能拼成平行四邊形”上，要求學(xué)生舉出“面積相等、形狀不同的兩個(gè)三角形”的反例，由前提不充分推知該判斷是假命題。按照這一驗(yàn)證思路教學(xué)，學(xué)生應(yīng)能說(shuō)出“不一定”，但想達(dá)到“有可能”的認(rèn)知層面則顯得困難。有深度的驗(yàn)證教學(xué)不但要借助反例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，還要讓學(xué)生舉出“面積相等、形狀相同的兩個(gè)三角形”的例子，從正面加以佐證。通過(guò)橫向?qū)Ρ炔煌再|(zhì)的例子，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有形狀相同的等面積三角形，才能拼成平行四邊形，也促使他們產(chǎn)生“有的能拼成，有的不能拼成，應(yīng)該是屬于存在著可能”的辯證性思考。

2.估算驗(yàn)證：既要檢驗(yàn)得數(shù)，也要深化算法理解

利用估算進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，教師不僅要通過(guò)估算檢驗(yàn)得數(shù)是否準(zhǔn)確，還應(yīng)注意發(fā)揮估算本身“算”的功能，使學(xué)生通過(guò)估算鞏固口算、筆算，強(qiáng)化個(gè)體對(duì)算法的理解。例如：教學(xué)蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課，教材呈現(xiàn)了“一輛載重3000千克的卡車(chē)，裝了47桶豆油，每桶豆油連桶重58千克。這輛卡車(chē)超載了嗎？”的練習(xí)題，題目要求學(xué)生先估算卡車(chē)是否超載，再列豎式計(jì)算。教材的意圖是讓學(xué)生用估算的得數(shù)來(lái)檢驗(yàn)筆算的結(jié)果。按常理，學(xué)生會(huì)用“取近似數(shù)”的估算方法得出“47×58”的結(jié)果大約是3000，并據(jù)此推斷卡車(chē)沒(méi)有超載。深度的估算不僅僅要能“取近似數(shù)”估算那么簡(jiǎn)單，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“取準(zhǔn)確數(shù)”估算的驗(yàn)證方法，即算出個(gè)位上的“7×8”和十位上的“4×5”的得數(shù)，將“取準(zhǔn)確數(shù)”與“取近似數(shù)”估算的結(jié)果進(jìn)行綜合，推算出“47×58”的得數(shù)最低位是“6”；最高位是“2”，而不可能是“3”。一旦學(xué)生經(jīng)歷了“取準(zhǔn)確數(shù)”估算驗(yàn)證的過(guò)程，其對(duì)“從個(gè)位算起”“筆算過(guò)程注意進(jìn)位”這樣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算法，就會(huì)有更為深刻的理解。

3.操作驗(yàn)證：既要說(shuō)明事實(shí)，也要促成方法創(chuàng)新

教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象產(chǎn)生了疑問(wèn)，或在認(rèn)知上存在不確定時(shí)，使用操作能進(jìn)一步證明學(xué)生先前認(rèn)知的正確性，并誘發(fā)個(gè)體的創(chuàng)新思考。例如，教學(xué)《圖形放大與縮小》一課，課堂教學(xué)呈現(xiàn)“按2∶1的比例畫(huà)出直角三角形放大后的圖形”的練習(xí)題。畫(huà)圖時(shí)，學(xué)生基本會(huì)按照“先行放大直角三角形的兩條直角邊；接著，在放大后的兩條直角邊的端點(diǎn)處連線，形成放大后的斜邊”的步驟操作畫(huà)圖。因?yàn)樾边吺沁B線所得，其長(zhǎng)度未經(jīng)測(cè)算，因此，學(xué)生會(huì)對(duì)斜邊長(zhǎng)度是否符合放大要求心存懷疑，進(jìn)而產(chǎn)生驗(yàn)證的心理需求。學(xué)生驗(yàn)證斜邊是不是也按2∶1放大時(shí)，一般會(huì)測(cè)量出兩條斜邊長(zhǎng)度，再算出長(zhǎng)度比是不是2∶1。如此的驗(yàn)證過(guò)程，可能存在數(shù)據(jù)誤差的干擾，在操作方法上顯得機(jī)械、呆板。對(duì)此，驗(yàn)證教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，探求能否不用量的方法來(lái)驗(yàn)證斜邊確實(shí)也是以2∶1放大。這可以使得學(xué)生生成在直角三角形里數(shù)方格、平均分出小三角形等有一定創(chuàng)造性的多種驗(yàn)證方法，從而加深他們對(duì)圖形放大與縮小的理解。

4.筆算驗(yàn)證：既要檢驗(yàn)筆算，也要啟發(fā)多樣算法

運(yùn)用筆算驗(yàn)證筆算時(shí)，教師應(yīng)盡量避免將教學(xué)只聚焦于檢驗(yàn)計(jì)算得數(shù)是否正確上，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從算法上尋求突破口，追求檢驗(yàn)算法的多樣化，以此鍛煉學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維。例如：教學(xué)蘇教版六下《解決問(wèn)題的策略》一課，教材呈現(xiàn)了“星河小學(xué)美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的2/5。已知女生有21人，男生有多少人”的教學(xué)例題。解題過(guò)程中，教學(xué)提出“根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計(jì)算，并進(jìn)行檢驗(yàn)”的要求。嘗試檢驗(yàn)教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成正向檢驗(yàn)，用算出的計(jì)算得數(shù)檢驗(yàn)?zāi)猩欠裾?/3，用算出的計(jì)算得數(shù)，檢驗(yàn)?zāi)猩团藬?shù)的比是不是2∶3等；還可以引導(dǎo)學(xué)生做出逆向檢驗(yàn)，將算出的計(jì)算得數(shù)代入方程式中進(jìn)行檢驗(yàn)。通過(guò)嘗試多種檢驗(yàn)算法，學(xué)生不僅更加明確此題的數(shù)量關(guān)系，審視解題過(guò)程，還對(duì)解決問(wèn)題需要合理選擇策略加深了認(rèn)知理解。

在教學(xué)中，教師絕不能看淡學(xué)生的驗(yàn)證活動(dòng)，認(rèn)為其是無(wú)足輕重、可有可無(wú)的，而應(yīng)將驗(yàn)證教學(xué)作為一個(gè)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑和不可忽略的發(fā)展契機(jī)，以發(fā)揮其獨(dú)特的思維培養(yǎng)功能和作用，使學(xué)生的舉例、操作、計(jì)算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到長(zhǎng)足的提升。endprint