大數(shù)定律和中心極限定理的思考與應(yīng)用

陳常琦

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科，而統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是通過重復(fù)觀測(cè)來體現(xiàn)，研究極限是對(duì)大量的重復(fù)觀測(cè)作數(shù)學(xué)處理的常用方法。本文將對(duì)大數(shù)定律與中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下的結(jié)論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)——平均結(jié)果的穩(wěn)定性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才能呈現(xiàn)出隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

關(guān)鍵詞：大數(shù)定律；中心極限定理；概率論

概率論中一個(gè)非常重要的課題就是大數(shù)定律，這還是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間一個(gè)承前啟后的紐帶。大數(shù)定律闡明了隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算數(shù)平均值法則”的基本理論。比如說，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下后哪一面朝上本來是偶然的，但當(dāng)我們向上拋硬幣的次數(shù)足夠多時(shí)，達(dá)到上萬次甚至幾十萬次之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣向上的次數(shù)約占總次數(shù)的二分之一，偶然中包含著必然。

一、 大數(shù)定律和中心極限定理的概念與關(guān)系

（一） 大數(shù)定律

大數(shù)定律就是在大量的隨機(jī)試驗(yàn)中，由于各次的隨機(jī)性（偶然性）相互抵消又相互補(bǔ)償，因而其平均結(jié)果趨于穩(wěn)定，而闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理。

利用大數(shù)定律使用極限方法研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。人們?cè)陂L期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，頻率以及大量測(cè)量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性，而大數(shù)定律要解決的問題也就是這種穩(wěn)定性問題如何從理論上給出解釋？

不難看出大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用。

（二） 中心極限定理

自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。例如：炮彈的彈落點(diǎn)、人的身高、體重等都服從正態(tài)分布。中心極限定理的客觀背景：如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成的，而其中每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用微小，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。

中心極限定理回答了大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的近似分布問題，其表明了當(dāng)一個(gè)（主導(dǎo)因素除外的）量受許多隨機(jī)因素的共同影響而隨機(jī)取值，則它的分布就近似服從正態(tài)分布。

（三） 大數(shù)定律與中心極限定理的關(guān)系

大數(shù)定律和中心極限定理統(tǒng)稱為極限定理，兩者均揭示的是大量隨機(jī)現(xiàn)象。

關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的平均結(jié)果的極限，大數(shù)定律給出了取平均值的理論依據(jù)；中心極限定理則導(dǎo)出了大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布。

二、 大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用

（一） 在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

定積分作為新教材中的一大亮點(diǎn)，有著明顯的幾何意義所在。定積分計(jì)算問題一般都可以借助原函數(shù)或者利用其幾何意義來求解。但是，有些復(fù)雜的定積分其幾何意義不明顯且被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。那么這時(shí)候就可以用到大數(shù)定律和中心極限定理了。應(yīng)用恰當(dāng)?shù)脑掃@些復(fù)雜的定積分就不會(huì)再是那么困難了。

在求解無窮級(jí)數(shù)上大數(shù)定律也有很大的作用，它可以提供另一種有趣而且也有用的辦法。

伯努利是著名的數(shù)學(xué)家之一，但是他也曾經(jīng)被一個(gè)在現(xiàn)在已經(jīng)解決的問題難住了：求自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和。于是伯努利公開征求這個(gè)問題的求解方法。

三十年過后，這個(gè)問題才得到解決。先是歐拉利用猜度術(shù)找出了結(jié)果，他是第一個(gè)找出答案的，但是自己卻不能證明，只能用數(shù)據(jù)驗(yàn)證。當(dāng)然，現(xiàn)在有了很多種證明的方法，其中一個(gè)就是用大數(shù)定律的原理來完成的。

（二） 在近代計(jì)算中的應(yīng)用

中心極限定理反映的是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列的和的極限分布是正態(tài)分布的問題。在近代計(jì)算中有著舉足輕重的地位。

（三） 在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用

中心極限定理可以估算和預(yù)測(cè)一個(gè)保險(xiǎn)公司的虧盈和是否破產(chǎn)。這是一般計(jì)算類的定理所不能做到的。大數(shù)定律是建立近代保險(xiǎn)業(yè)的基礎(chǔ)。解釋了承保的危險(xiǎn)單位越多，損失概率的偏差越小。同樣的，承保的危險(xiǎn)單位越少，那么它的損失概率的偏差越大。因此，運(yùn)用大數(shù)法則，不但可以估算一個(gè)公司的財(cái)務(wù)，還可以比較精確地預(yù)測(cè)危險(xiǎn)以及合理地?cái)M定保險(xiǎn)費(fèi)率。不難發(fā)現(xiàn)在保險(xiǎn)業(yè)中中心極限定理也充當(dāng)著重要的角色。

（四） 在企業(yè)管理方面的應(yīng)用

企業(yè)管理是一個(gè)很麻煩的事。但是大數(shù)定律與中心極限定理，企業(yè)管理中也有著廣泛的應(yīng)用，它涉及商品訂購、電力供應(yīng)等方面，又為人們解決了一個(gè)很頭疼的事。

（五） 在數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用

生活中我們不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用一些定理可使計(jì)算變得簡(jiǎn)單，減少了計(jì)算量。在一些概率數(shù)據(jù)處理中也常常采用大數(shù)定律和中心極限定理。所以說生活中其實(shí)我們時(shí)不時(shí)的在應(yīng)用這些很能省掉麻煩的程序的定理。大數(shù)定律和中心極限定理顯然就是一種。

三、 結(jié)論

從兩者在現(xiàn)實(shí)生活中的各方面的應(yīng)用，我們可以看到大數(shù)定律與中心極限定理為促進(jìn)人類社會(huì)和諧又好又快發(fā)展有著不可估量的價(jià)值。

大數(shù)定律與中心極限定理的概論，在如今這個(gè)概率論迅速發(fā)展的社會(huì)下，由它們思想所延伸出的大數(shù)定律，無論是我們?nèi)粘Ｉ钪羞€是工作學(xué)習(xí)中都多多少少的會(huì)應(yīng)用到。不過什么事物都有兩面性，也就是說如果不能很好地利用這些定理，那么就算再簡(jiǎn)單的計(jì)算你也有可能反反復(fù)復(fù)地計(jì)算，而且還可能于事無補(bǔ)，所以要合理恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用。只有這樣才能更好地發(fā)揮出這些高級(jí)定理的偉大作用，而且它們的影響應(yīng)該還遠(yuǎn)不止于這些。隨著社會(huì)計(jì)算量的需求，它們?cè)絹碓蕉嗟淖饔枚紩?huì)被挖掘出來并加以應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]于進(jìn)偉，趙舜仁.大數(shù)定律與中心極限定理之關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001，4（1）：15-17.

[2]拉窮.論獨(dú)立隨機(jī)序列的大數(shù)定律與中心極限定理及其應(yīng)用[D].西南交通大學(xué)，2007.