工程碩士課程“數值分析”教學改革研究

耿愛成, 史書慧

(沈陽工程學院 基礎教學部, 沈陽 110036)

工程碩士課程“數值分析”教學改革研究

耿愛成, 史書慧

(沈陽工程學院 基礎教學部, 沈陽 110036)

從工程碩士的培養(yǎng)目標出發(fā),對數值分析課程進行教學改革探索。首先,從改革教學理念著手,改變傳統的填鴨式教學模式,要重視算法的思想方法和計算能力的培養(yǎng),多舉一些工程實際應用中的例子,讓學生認識到這門課是非常有用的;其次,在教學手段上采用了多媒體、板書與MATLAB軟件相結合的方式,避免了傳統教學中只用板書的單一模式;另外,在教學內容上做了適當的取舍,在考試題型和成績考核等方面也做了相應的改革。以上教學改革取得了明顯的教學效果,為提高學生的數值計算能力奠定了基礎。

數值分析; 教學改革; 數值計算能力; 工程碩士

0 引 言

隨著計算機技術的快速發(fā)展與普及,科學計算已經成為一種重要的科研方法,與科學計算密切相關的數值分析課程也已經成為高等學校工科專業(yè)研究生的一門重要公共基礎課。數值分析課程的教學目標是使學生系統掌握數值分析的基本思想、基本概念、基本理論和基本算法,教學中以提高學生數值計算能力和解決工程實際問題的能力為重點。它與其他數學類課程的最大不同點在于它強調計算機的應用,它不僅提供了利用計算機進行求解數學問題的數值方法,而且為學生提供了一些解決工程實際問題的近似計算思想,解決了傳統高等數學和線性代數課程中無法解決的計算問題,能夠開拓學生的視野,培養(yǎng)學生使用計算機進行科學與工程計算、解決工程實際問題的能力,這是其他數學課程都無法做到的。然而,目前的教學模式很難達到這一教學目標。

長期以來,國內數值分析課程教學中普遍存在教學理念陳舊,教學內容枯燥,教學方法單一,理論與實踐嚴重脫節(jié)等問題,很多高校將數值分析作為一門純粹的數學理論課程來講授,并沒有使用數學軟件進行程序設計,這使學生很難對數值分析的一些重要特征(如算法的穩(wěn)定性和計算速度,龍格現象等)有深入的理解,造成傳統教學中一般只講算法原理和誤差分析,而不涉及數值實驗。

數值分析是在沈陽工程學院工程碩士研究生的公共基礎必修課,其重要性是毋庸質疑的。工程碩士的培養(yǎng)側重解決工程實際問題,在課程的內容上也應側重于應用性和實踐性。從2012年起,筆者相繼承擔了沈陽工程學院電力工程、熱能工程這兩個工程碩士專業(yè)的數值分析課程。經過幾年的教學積累,數值分析課程于2015年7月被評為沈陽工程學院研究生精品課程。在這2年的精品課程建設過程中,以提高教學質量,培養(yǎng)工程碩士研究生的數值計算能力、解決工程實際問題的能力為目標,全面深入教學改革,在實踐中取得了良好的效果。本文將從以下幾個方面詳細闡述數值分析課程改革的思路和措施。這是筆者在教學過程中的體會,供大家批評指正。

1 數值分析課程教學改革的思路和措施

1.1 教材與教學內容合理取舍

數值分析課程內容多,課時少,只有40學時。在學時非常有限的情況下,考慮到沈陽工程學院培養(yǎng)的對象為工程碩士研究生,因此必須在教材和教學內容上進行合理取舍。目前選用的是由全國工程碩士專業(yè)學位教育指導委員會推薦使用的《數值方法》[1]。在內容上主要選取線性代數方程組直接求解法和迭代解法,非線性方程的數值解法,插值法,曲線擬合,數值積分與數值微分,常微分方程初值問題的數值解法。

1.2 由實例導入新課

表1 應用實例Tab.1 Application examples

在教學中,每章采用一個工程方面的實際例子來引入新課,通過實例引出相關的基本概念,通過近似計算的思想來介紹一些基本算法的原理,在對算法的分析過程中,進行相關數值穩(wěn)定性、收斂速度等方面的分析。這樣的實例導入教學不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣,讓學生帶著問題學習,將被動式教學轉為與學生互動式教學,而且能提高學生分析問題和解決工程實際問題的能力。下面的表格列舉了數值分析相關問題的應用實例[2]。

1.3 強調算法原理和計算方法

數值分析不能像純數學那樣只研究數學本身的理論,而是要把數學理論與計算機緊密地結合起來。針對數值分析的特點,在講授時既要重視基本思想、概念、方法,又要重視它的實際應用及綜合能力的培養(yǎng)。然而在傳統的教學中,教師只一般重視基本概念和算法的數學公式,通過繁瑣的理論推導來演示算法的來由,這樣學生會覺得數值分析課程太枯燥無味,為了應付考試只能死記硬背一些公式,隨著時間的流逝,學生會逐漸淡忘曾經背過的公式,對算法的基本思想也忘得一干二凈,完全不能體會到這門課的實用性。為了能讓學生掌握這門課程的知識精華,教師一定要重視算法原理的講授,給學生講清數學家是如何運用近似逼近的思想得到一個算法的,該算法的數值穩(wěn)定性如何,精度和收斂速度怎樣,為了改進原有算法的精度和收斂速度,數學家們又是如果把原有算法進行改進,從而得到另外一個算法的。學生只要把這些算法的基本思想、原理理解了,才能將它們牢記。對那些過于繁瑣的算法公式可以不講理論推導,直接給出算法的公式和MATLAB程序,讓學生知道如何用軟件來求解就可以了。比如,在講授3次樣條插值函數時,由于3次樣條函數的理論推導和計算非常繁瑣,所以教師在介紹完3次樣條插值函數的定義和各種邊界條件以后,直接引入MATLAB中的內置函數csape命令,給學生演示用csape命令是如何輕松完成3次樣條插值函數計算的[3]。

1.4 板書、課件與MATLAB軟件有機結合

數值分析課程具有“概念多、算法多、公式多、圖形多、理論推導繁瑣”等特點,所以需要把板書、課件與MATLAB軟件結合使用。對例題、基本概念及算法的推導等內容,若能使用課件教學,不但能提高教學的效率,而且能讓學生對所講知識有深刻理解,例如在講授龍格現象、曲線擬合等問題時,若能使用MATLAB軟件編程,然后通過屏幕來直觀演示必能使學生理解深刻。但是在給學生分析一些重要算法的穩(wěn)定性、收斂速度等問題的時候,為了讓學生能跟上老師的思路,教師應該用板書來推導,這樣有利于學生理解和記憶,達到理想的教學效果。

數值分析中每種數值算法的計算過程通常是非常復雜的,在傳統教學中,教師為了節(jié)省時間,基本上不會給學生演示計算的過程,推導出算法的計算公式后只告訴學生計算的步驟。對傳統的數值分析實驗課是采用計算機高級語言編程實現,但學生卻往往因為一個小的語法錯誤就使得程序無法繼續(xù)下去,既耗費了時間也喪失了數值實驗的趣味性。在學生熟悉了算法的原理和計算公式后,教師應該引入專門的數學軟件(比如MATLAB、mathematica),將學生的注意力從編程過程轉移到問題解決上,不但能提高教學效率,而且能加深學生對課程中所涉及的數學原理、方法實現的理解,為學生快速、準確地完成復雜計算提供有效的教學手段和途徑,從而提高學生應用所學知識、方法解決實際問題的能力。教學中要給學生演示編程的詳細過程,讓學生觀察用MATLAB軟件解題是多么輕松快捷,調動學生學習積極性、主動性。教師在編程時不但要解釋每行語句的含義,更要嘗試用MATLAB軟件自帶的各種命令來編程,讓學生感受到MATLAB軟件功能的強大,學生課后通過反復編程訓練,計算能力一定能得以提高。教師在授課過程中,教師不但要把重要的算法的MATLAB函數文件編好供學生學習參考,而且要給學生講授MATLAB本身所提供的內置函數命令,同時要把數值計算方法與內置函數作比較。例如,在講解拉格朗日插值的時候應該介紹interp1的使用方法;在講樣條插值時應介紹csape,spline等命令;在講解曲線擬合的時應該介紹polyfit,cftool,polytool,lsqcurvefit, lsqnonlin等命令;在講矩陣三角分解應介紹lu命令;在講數值積分時應介紹quad,quadl,trapz等命令;在講微分方程數值解的時應介紹ode23,ode45等命令。這些內置函數用法非常簡單,學生很容易掌握。

1.5 編寫數值分析實驗輔導書、開設數值實驗課

很多高校因為學時有限而沒有開設數值分析實驗課,學生會因為用手動計算太麻煩而根本不參與直接計算。久而久之,學生會覺得數值分析課程不實用,產生厭煩情緒。因此,開設數值分析實驗課,并編寫一本數值分析實驗輔導書是非常必要的?？梢詫嶒烆}分為兩類:必做題與選做題。從實驗類型上又可以分:基本題型和綜合題型。綜合題型要選用具體工程實際問題,讓學生從實際問題→建立數學模型→選擇數值計算方法→程序設計→計算出結果并分析→撰寫論文,這樣的訓練過程對學生將來參加數學建模競賽和撰寫學術論文、畢業(yè)論文都有很大幫助。通過在計算機上進行數值實驗,加深了學生對數值分析的基本概念、基本方法、基本思想的理解,提高了學生的學習興趣,提高了學生編制程序能力、數值計算能力及使用數學解決實際問題的綜合能力。

1.6 同一題目,采用不同數值計算算法和MATLAB內置函數

數值分析中每個實際問題都涉及多種不同的算法,在教學過程中教師應該把各種算法的適用條件、優(yōu)缺點、數值穩(wěn)定性、收斂速度等方面給學生講清楚,然后針對一個具體的實際問題,采用不同的算法進行編程,然后對結果進行比較和分析,這是培養(yǎng)學生數值計算能力的很好方式。例如在講授非線性方程求根的時候,對同一個題目可以采用二分法、不動點迭代法、牛頓迭代法、斯蒂芬森迭代法、弦截法,以及MATLAB軟件中的內置函數fzero,fsolve,roots等來實現。

1.7 編寫課后習題全解、豐富習題課

目前選用的教材[1]課后習題沒有詳細的答案,有的題有些難度,學生在自學的過程中存在諸多困難。為了解決這個問題,編寫了課后習題的詳細答案供學生學習參考。由于課后習題數目有限,教師可以補充一些題目供學生課后練習。同時要多收集日常生活中常見的,學生比較感興趣的實際問題或者工程案例,留給學生課后自己獨立完成或者小組完成,學生通過自己的努力將問題解決后會感覺到數值分析課程的實用性,從而激發(fā)學生學習的興趣。

1.8 建立輔導答疑制度

由于數值分析課時(40學時)非常有限,如果全靠教師上課來講授,同時還要在課上給學生介紹MATLAB軟件,那么要想完成教學任務是非常難的。因此,引導學生通過自學來擴展知識面、了解一些新的數值方法及其相關理論是非常有益的。比如教師在講授非線性方程求根這一章時,二分法、不動點迭代法、埃特金加速法、斯蒂芬森迭代法、牛頓迭代法可以由教師來講授,至于牛頓下山法、弦截法、拋物線法及非線性方程組求根的牛頓迭代法可以安排學生自學,把學生分成小組進行討論。然后,利用課后時間跟學生進行互動討論,把學生們不懂的地方講解一下。同時,每兩周安排一次固定的輔導答疑時間,及時解決學生不懂的問題。通過這種方式不但增加了師生的友誼,而且能提高學生的學習成績。

1.9 積極參與數學建模競賽

數學建模就是用數學方法解決實際問題,數學建模過程的一般步驟為:(1)形成問題(2)模型假設(3)模型的建立(4)模型求解(5)模型分析(6)模型檢驗與修正(7)模型的應用。在模型求解這個步驟中,經常涉及到數值分析中的各種算法,因此數值分析課程對解決實際問題至關重要。在教學過程中,若能通過實際案例將數學建模的思想融入到教學中,這對培養(yǎng)學生解決實際問題的能力是非常有幫助的。沈陽工程學院的研究生每年在參加全國研究生數學建模競賽和東三省數學建模競賽中都取得了優(yōu)異的成績。

1.10 改革考試考核方法

考核采用期末考試與平時考核相結合的方法。期末考試采用閉卷考核方式,滿分100分,考試時間150分鐘。試題主要考查學生對數值分析基本概念、理論、方法及其應用的掌握程度,題型分為填空題、選擇題、計算題、分析題、程序設計題,期末考試成績占總評成績80%;平時考核成績占總評成績20%,平時考核內容有出勤情況、自學討論表現、作業(yè)完成情況和上機實驗情況。

1.11 參與導師的科研項目

電力工程與動力工程這兩個專業(yè)中的許多研究問題都涉及到數值計算方法,鼓勵學生積極參與到導師的科研項目中去,讓學生承擔題目科研項目中有關數值計算方面的工作,用數值分析課上所學到的知識解決自己研究方向中存在的問題,使學生能學以致用,體會到學習的樂趣。

2 結 語

本文提出了數值分析課程教學改革的思路與措施,采用板書、多媒體課件與MATLAB軟件結合的教學手段。數值分析課程的教學改革需要教師不斷探索,在數值分析的教學中要樹立如下教學指導思想:以學生為中心,以科學計算方法為主線,以數學軟件為工具,培養(yǎng)學生應用數學方法求解實際問題能力,同時在教學中加深學生對計算方法基礎、理論、應用的直觀理解,加強數值分析課程建設、努力培養(yǎng)學生科學計算能力。在課程教學中既要教會學生掌握成熟的有效的計算方法,又要教會學生如何建立逼近論的思想、如何靈活地構造新的數值算法,采取精講多練、案例式、啟發(fā)式等教學方法,培養(yǎng)學生的學習興趣和數值計算能力。

[1]關冶,陸金甫. 數值方法[M]. 北京:清華大學出版社, 2011.

[2]陸建芳,謝聰聰,練曉鵬. 數值計算基礎[M]. 北京:科學出版社, 2013.

[3]耿愛成. MATLAB在三次樣條函數教學中的應用[J]. 價值工程, 2016,35(422):181-182.

[4]向華,李大美. 數值計算及其工程應用[M]. 北京:清華大學出版社, 2015.

[5]邱啟榮. 矩陣論與數值分析:理論及其工程應用[M]. 北京:清華大學出版社, 2013.

[6]萬中,韓旭里. 《數值分析》課程教學的新認識及改革實踐[J]. 數學教育學報, 2008,17(2):65-67.

[7]杜延松. 關于《數值分析》課程教學改革研究的綜述和思考[J]. 大學數學, 2007,23(2),8-15.

[8]桂曙光. 基于MATLAB平臺工科碩士研究生數值分析教學實踐[J]. 安徽理工大學學報(社會科學版), 2010,12(3):90-92.

Teachingreformsof“NumericalAnalysis”forengineeringmaster

GENGAicheng,SHIShuhui

(Department of Preparatory, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110036, China)

Starting from the training objective of Master of Engineering, the teaching reform of numerical analysis course is explored. First of all, starting from the reform of teaching philosophy, changing the traditional cramming teaching mode, we should pay attention to the method of thinking and calculating ability of the algorithm, give some examples of engineering practice to make students realize that this course is very useful; Secondly, the combination of multimedia, blackboard and MATLAB software in teaching methods avoids the single mode of using only the blackboard in the traditional teaching. In addition, we have made appropriate choices in the teaching content, and have also done some reforms in exam questions type and performance evaluation. The above teaching reform has made obvious teaching effect, which lays the foundation for improving students’ numerical calculation ability.

numerical analysis; teaching reform; numeral calculation capability; master of engineering

2016-08-26。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014525)。

耿愛成(1979-),男(滿族),遼寧開原人,沈陽工程學院講師,碩士。

1673-5862(2017)04-0494-04

G642.0

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.022