再論小學數(shù)學教材中的分段函數(shù)問題

文︳王凱成

再論小學數(shù)學教材中的分段函數(shù)問題

文︳王凱成

筆者在2007年曾研究過小學數(shù)學教材中的分段函數(shù)問題（王凱成.小學數(shù)學教材中的分段函數(shù)問題（J），小學教學研究，2007年第7期）。由于課標教材重新修訂，更加注重滲透數(shù)學思想方法，各版本的小學數(shù)學教材都滲透了分段函數(shù)的內(nèi)容，因此，重新挖掘研究小學數(shù)學教材中的分段函數(shù)問題很有必要。

例1（西南師大版小學數(shù)學教材五年級上冊）藍叔叔選擇的上網(wǎng)收費標準是：每月繳30元可以上網(wǎng)50小時，超過50小時每小時收1.5元。藍叔叔這個月上網(wǎng)78小時，需要繳多少元上網(wǎng)費？

解：藍叔叔這個月上網(wǎng)78小時，78＞50，按規(guī)定藍叔叔上網(wǎng)的78小時中的50小時需繳費30元，剩余的78-50=28（小時）應繳費1.5×28=42（元）。所以，藍叔叔這個月上網(wǎng)78小時應繳30+42=72（元）的上網(wǎng)費。

一般地，設某人這個月上網(wǎng)x（x是正整數(shù)）小時，需要繳 （fx）元的上網(wǎng)費。那么 （fx）是分段函

例2（人教版小學數(shù)學教材五年級上冊）某市自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內(nèi)的每噸2.5元；超過12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個月的用水量為11噸，應繳水費多少元？

（2）小可家上個月的用水量為17噸，應繳水費多少元？

解：（1）小云家上個月的用水量為11噸，由于11＜12，按規(guī)定應繳水費 2.5×11=27.5（元）。

（2）小可家上個月的用水量為17噸，17＞12，按規(guī)定17噸中的12噸每噸繳費2.5元，12噸應繳2.5×12=30（元）；超出的 17-12=5（噸）每噸繳費3.8元，5噸應繳3.8×5=19（元）。所以小可家上個月應繳水費為30+19=49（元）。

一般地，設某家上個月用水量為x噸，應繳水費為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

例3（蘇教版小學數(shù)學教材五年級上冊）為了鼓勵節(jié)約用電，某市電力公司規(guī)定了以下的電費計算方法：每月用電不超過100千瓦時，按每千瓦時0.52元收費；每月用電超過100千瓦時，超過部分按每千瓦時0.6元收費。小明家10月付電費64.6元，用電多少千瓦時？

解：因為64.6＞52，所以小明家10月的用電量超過了100千瓦時。小明家10月用電量為：100+（64.6-52）÷0.6=121（千瓦時）。

設小明家10月的用電量為x千瓦時，那么可以用右圖直觀呈現(xiàn)題設條件。

一般地，設某家10月用電量為x千瓦時，付電費為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

西南師大版小學數(shù)學教材五年級上冊也有電費分段收費問題。請看例4。

例4 （根據(jù)西南師大版小學數(shù)學教材五年級上冊練習題改編）為了鼓勵節(jié)約用電，某市實行“階梯電價”，收費標準如下表所示。

月用電量x（千瓦時）0＜x≤170170＜x≤240240＜x每千瓦時電費（元） 0.52 0.57 0.87

小華：我家這個月用電170千瓦時，應付多少元？

小青：我家這個月用電185千瓦時，應付多少元？

例5 （人教版小學數(shù)學教材四年級上冊第105頁例2，北師大版小學數(shù)學教材四年級下冊第82頁例題）每一次只能烙兩張餅，每個餅的兩面都要烙，每面3分鐘。如果要烙1張餅、2張餅、3張餅、4張餅……10張餅，怎樣烙合理？你發(fā)現(xiàn)了什么？

解：烙1張，有2面，每次烙1面，烙2次，需2×3=6（分鐘）；

烙2張，有4面，每次烙2面，烙2次，需2×3=6（分鐘）；

烙3張，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9（分鐘）。

烙4張、5張、……10張餅，怎樣烙合理？

轉(zhuǎn)化：

（1）烙偶數(shù)張餅，不妨設為2n張，那么2張2張地烙，每2張需要6分鐘，共n個2張，所以烙2n 張餅需要 6n=（2n）×3(分鐘)。

（2）烙大于1的奇數(shù)張餅，不妨設為2n+1張，那么先烙3張餅，需要9分鐘，剩下的2n+1-3=2（n-1）張，2 張 2 張地烙，烙 2（n-1）張需要 6（n-1）分鐘。所以烙2n+1（n是正整數(shù)）張餅需要9+6（n-1）=6n+3=（2n+1）×3（分鐘）。

由（1）和（2）可見，烙x（x＞1）張餅，無論x是奇數(shù)還是偶數(shù)，烙這x（x＞1）張餅都需要3x分鐘的時間。

一般地，設烙x張餅，需要的時間為f（x）分鐘，那么f（x）是分段函數(shù)：當x=1時，f（x）=6；當x＞1時，f（x）=3x。

例6（蘇教版小學數(shù)學教材四年級下冊）長陽動物園的門票價格規(guī)定如下表所示。西街小學四年級同學去長陽動物園春游，一班有48人，二班有49人，三班有52人。

購票人數(shù) 1～50 51～100 100以上票價 15元/人 13元/人 10元/人

（1）每個班分別購票，各需要多少元？

（2）三個班合起來購票，一共需要多少元？

解：（1）一班有 48人購票，由于 1＜48＜50，每人15元，一班購票需要15×48=720（元）；二班有49人購票，由于1＜49＜50，每人 15元，二班購票需要15×49=735（元）；三班有52人購票，由于50＜52＜100，按規(guī)定52人中的50人購票每人15元，剩下52-50=2（人）購票每人13元，三班購票需要 15×50+13×2=776（元）。

（2）三個班合起來一共有48+49+52=149（人），149人購票，按規(guī)定149人中的50人購票每人15元，另外50人購票每人13元，剩下的149-50-50=49（人）購票每人10元，三個班合起來購票，一共需要15×50+13×50+10×49=1890（元）。

一般地，設x人在長陽動物園購票，購票費為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

例7 （根據(jù)人教版小學數(shù)學教材五年級上冊練習題改編）出租車收費規(guī)定：3km以內(nèi)7元；超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計算）。小李坐出租車6.3km，要付多少錢？

解：6.3＞3，6.3-3=3.3，3.3 千米應按 4 千米收費，收費 y=7+1.5×4=13（元）。

一般地，設行車里程為x千米，收費為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：當0＜x≤3時，f（x）=7；當x是大于3的整數(shù)時，f（x）=7+1.5（x-3）；當x大于3且不是整數(shù)時，f（x）=7+1.5（［x］-2），其中[x]表示x的整數(shù)部分。

例8（人教版小學數(shù)學教材五年級上冊）某地打固定電話每次前3分鐘內(nèi)收費0.22元，超過3分鐘每分鐘收費0.11元（不足1分鐘按1分鐘收費）。媽媽一次通話時間是8分29秒，她這一次通話的費用是多少？

解：媽媽這次通話的時間是8分29秒，超過3分鐘，按照收費規(guī)定，8分29秒中的前3分鐘收費0.22元，剩下的5分29秒應按6分鐘付費，且這6分鐘每分鐘付費0.11元。

所以，媽媽這一次的通話費用是：0.22+0.11×6=0.88（元）。

一般地，設某人的通話時間為x分鐘，應付費為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

數(shù)學教育家李秉彝提出，數(shù)學教師應當上通數(shù)學，下達課堂。上通數(shù)學就是要了解數(shù)學內(nèi)容所滲透的數(shù)學思想方法，把具體的數(shù)學知識上升到更高的層次，用高觀點來理解。下達課堂就是要熟悉學生的知識水平與能力，在高觀點的指導下，在學生現(xiàn)有知識水平上進行有效教學，而不是機械地照搬高觀點。上通數(shù)學，下達課堂應該成為每一位數(shù)學教師的自覺行動。

（作者單位：陜西省小學教師培訓中心）