一個(gè)概率問(wèn)題的解決及其啟示

張紅兵 龔衛(wèi)東

(1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)系 510006； 2.廣東省深圳高級(jí)中學(xué) 518034)

有一道不起眼的概率題，由于一個(gè)不經(jīng)意間的質(zhì)疑，使它成為困擾學(xué)習(xí)者的難題.在嘗試解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，我們找到了不同的解決方案，并深受啟發(fā)，受益良多.

1 問(wèn)題的提出

學(xué)習(xí)了古典概型后，一次測(cè)試中有這樣一道習(xí)題：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面記1分，出現(xiàn)反面記2分.連續(xù)拋擲多次，恰好得3分的概率為多少？

無(wú)奈之下，大家就采納了教師A的意見(jiàn),將問(wèn)題限定在“連續(xù)拋擲3次”，但是要是不限定拋擲次數(shù)，無(wú)疑教師B的做法也是對(duì)的.這究竟是怎么回事呢？

2 問(wèn)題的初步解決——由賽制得到的啟發(fā)

要回答上面的問(wèn)題，我們聯(lián)想到了一個(gè)比賽問(wèn)題：

勢(shì)均力敵的甲、乙兩人進(jìn)行三局二勝制的比賽，求甲獲勝的概率.

解法2甲獲勝有兩種情形：

解法3考慮下表

三局比賽結(jié)果實(shí)際比分結(jié)果(勝,勝,勝)2:0(第3局沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)勝(勝,勝,負(fù))2:0(第3局沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)勝(勝,負(fù),勝)2:1勝(勝,負(fù),負(fù))1:2負(fù)(負(fù),勝,勝)2:1勝(負(fù),勝,負(fù))1:2負(fù)(負(fù),負(fù),勝)0:2(第3局沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)負(fù)(負(fù),負(fù),負(fù))0:2(第3局沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)負(fù)

我們發(fā)現(xiàn)解法2完全類似于教師B的解法，于是考慮把解法3運(yùn)用于開(kāi)頭的問(wèn)題，從而產(chǎn)生下面的虛擬解法(假設(shè)連續(xù)拋擲3次硬幣)：

三次拋擲結(jié)果三次累計(jì)得分結(jié)果(正,正,正)1-2-33(正,正,反)1-2-44(正,反,正)1-3-4(第3次沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)3(正,反,反)1-3-5(第3次沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)3(反,正,正)2-3-4(第3次沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)3(反,正,反)2-3-5(第3次沒(méi)有實(shí)際發(fā)生)3(反,反,正)2-4-55(反,反,反)2-4-66

這樣，我們用虛擬解法解決了樣本空間的數(shù)目問(wèn)題，說(shuō)明了原題目沒(méi)有問(wèn)題.但是，這個(gè)問(wèn)題帶給我們更多深刻的思考與啟示.

3 幾點(diǎn)思考

3.1 關(guān)于樣本空間

根據(jù)古典概型的定義，構(gòu)成樣本空間的各個(gè)基本事件是等可能的，這是構(gòu)成樣本空間的基本事件的必要條件.在最開(kāi)始我們所討論的問(wèn)題中，前4個(gè)事件(拋擲2次)跟后8個(gè)事件(拋擲3次)做的不是同一件事，不是等可能的，它們不能構(gòu)成樣本空間.

進(jìn)一步地，同一個(gè)古典概型問(wèn)題的樣本空間可以是不同的，可以根據(jù)所考慮問(wèn)題的不同視角而確定不同的樣本空間.

例在分別寫(xiě)有2，3，4，5，7，8的六張卡片中任取2張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)的概率.

解法2兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的分?jǐn)?shù)有30個(gè)：

3.2 數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化和翻譯的解題功能

我們嘗試將原問(wèn)題的表述改為“拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面記1分，出現(xiàn)反面記2分.連續(xù)拋擲多次，遇到得3分的概率為多少？”，把這個(gè)題目在實(shí)驗(yàn)班測(cè)試，而選取與這個(gè)班平行的另一個(gè)班級(jí)作為對(duì)照班同時(shí)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下：

班別正確答題人數(shù)錯(cuò)誤答題人數(shù)正答率實(shí)驗(yàn)班(更改后)33978.6%對(duì)照班(更改前)212051.2%

經(jīng)過(guò)抽樣座談?wù){(diào)查后發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生明顯差異的原因在于，將“恰好得3分”改為“遇到得3分”后，就將學(xué)生的注意力由得分結(jié)果轉(zhuǎn)移至實(shí)驗(yàn)過(guò)程，學(xué)生容易畫(huà)出如下得分的樹(shù)形圖學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)化能力，目前尚未得到足夠的重視.從這個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行語(yǔ)言的翻譯，有助于問(wèn)題的解決. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)理論的載體，將深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯成與自己的認(rèn)知實(shí)際相符的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有助于數(shù)學(xué)解題能力的提高[1].中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的還有諸如利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的逆否命題進(jìn)行解決，就涉及到語(yǔ)言的翻譯問(wèn)題.再比如數(shù)學(xué)問(wèn)題中的集合語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言的翻譯，也有助于問(wèn)題的解決.

習(xí)題本身的語(yǔ)言表述也很重要.一個(gè)好的表述應(yīng)該是完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的，做到明確而清晰、準(zhǔn)確而不產(chǎn)生歧義，營(yíng)造輕快、簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言環(huán)境，讓學(xué)生能專注于題目本身，盡情發(fā)揮平時(shí)所學(xué).那些語(yǔ)言表達(dá)含混不清、甚至故設(shè)機(jī)關(guān)的習(xí)題，容易使學(xué)生產(chǎn)生歧義和誤解，人為地造成學(xué)生理解上的困難，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)所適從，會(huì)嚴(yán)重地削弱學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，貽害無(wú)窮.

3.3 “回到定義”具有加深概念理解和解題功能，兼具研究?jī)r(jià)值

在本案例中，在解決有關(guān)“獨(dú)立事件的概率”這一問(wèn)題時(shí)，我們回到了最原始的概率的定義中去，運(yùn)用了虛擬算法、列表法、樹(shù)形圖等數(shù)學(xué)方法和工具，還深化了對(duì)于古典概型以及樣本空間概念的認(rèn)識(shí)，足見(jiàn)“回到定義”的威力.

波利亞在其名著《怎樣解題》中認(rèn)為：回到定義上去是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)[2].他認(rèn)為“回到定義去”是為了掌握那些在專業(yè)術(shù)語(yǔ)后面數(shù)學(xué)對(duì)象間的實(shí)際關(guān)系,是變更問(wèn)題的特殊手段之一.因此,我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),不妨常常“回到定義去”.

“回到定義”還具有引導(dǎo)研究的作用.讀書(shū)、做題是手段，研究學(xué)問(wèn)是目的[3].中學(xué)數(shù)學(xué)教育中“研究性學(xué)習(xí)”、課題研究已深入人心、日益普及.但是如何研究、如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是研究得以真正展開(kāi)的瓶頸和制約.中學(xué)生的所謂“研究”，要么是調(diào)查分析、一題多解、一題多變、解題反思，要么是盲目冒進(jìn)，研究高等數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)建模問(wèn)題.這種“研究”，或流于膚淺，或因其難度之大而給學(xué)生留下“做研究太難”的印象，從而產(chǎn)生畏怯心理.如果我們能引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“回到定義”的習(xí)慣，讓他們從定義出發(fā)研究諸知識(shí)或定義之間的關(guān)系與聯(lián)系，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，做力所能及的研究和“學(xué)問(wèn)”.