課堂問題的設計與解決應凸顯知識本質(zhì)①
——一次主題教研活動中“三角函數(shù)的誘導公式”的教學體會

王克亮

(江蘇省射陽縣教育局教研室 224300)

近期，我縣舉行了主題為“課堂問題的設計與解決”的高中數(shù)學教研活動，筆者開設了課題為蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修4第1.2.3節(jié)“三角函數(shù)的誘導公式(第1課時)”的公開課. 期間，筆者的最大體會是課堂教學要凸顯知識本質(zhì).

1 為什么要凸顯知識本質(zhì)

通常，提到一個數(shù)學知識，特別是法則與公式類的知識，老師們的第一反應往往是它們的作用. 正是基于這樣的認知，平常所見的教學設計也大多數(shù)是從知識應用的需要入手的. 比如，對于三角函數(shù)誘導公式的教學，老師們往往會從任意角的三角函數(shù)的求解這一需要入手來進行設計，通常會在課的開始直接提出“如何求390°的正弦、余弦、正切？”或者從學生熟悉的30°，45°，60°這幾個銳角的三角函數(shù)值，引出“390°，225°，-60°的三角函數(shù)值分別是多少？”這樣的問題，進而給出各種類型的誘導公式.

應該說，這樣做很適用，學生會知道怎么去運用這些知識. 但同時也會存在一個常見的缺憾，就是學生對這些知識是只知其然而不知其所以然，更談不上認識的高度. 其表現(xiàn)出來的現(xiàn)象就是學生對這些知識的記憶經(jīng)常會出現(xiàn)偏差，而且是速記速忘. 比如，對于三角函數(shù)的誘導公式，很多學生只知道機械記憶“奇變偶不變，符號看象限”這個口訣，至于它怎么來的不太清楚，所以經(jīng)常出現(xiàn)符號上的錯誤，而且一旦忘了，就不知如何去推導.

反過來，如果我們從知識的本質(zhì)入手，在呈現(xiàn)知識的同時很自然地進行運用，則學生不僅知道了知識的來朧去脈，也掌握了它的用途，可謂一舉兩得. 而且，在這種背景下，即使學生出現(xiàn)了記憶上的暫時斷路，也因為心中有底氣，他們能夠很快地把這些知識自行推導出來. 比如，對于三角函數(shù)誘導公式的知識本質(zhì)，蘇教版普通高中課程標準實驗教材有一句很明確的表述：“誘導公式實質(zhì)是將終邊對稱的圖形關系‘翻譯’成三角函數(shù)之間的代數(shù)關系.” 教學中如果能凸顯這一本質(zhì)，學生在記憶這些公式時，腦海中自然會呈現(xiàn)出相應的圖形，其相互關系就會很直觀地表現(xiàn)出來，既記得扎實，也能夠很快地再現(xiàn)推導過程，而且對誘導公式的認識也會達到一個新的高度，可大大提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

所以筆者認為，課堂教學應該凸顯知識本質(zhì).

2 如何才能凸顯知識本質(zhì)

眾所周知，課堂問題的設計與解決是課堂教學的重中之重.那么，如何進行課堂問題的設計與解決才能凸顯知識本質(zhì)呢？對此，筆者在本次公開課的教學中獲得了如下幾點啟示.

2.1 問題情境要選準角度，便于切入知識本質(zhì)

為了凸顯知識本質(zhì)，宜弄清知識的來朧去脈及前后聯(lián)系，尋找合適的切入角度，以便在提出問題之時，創(chuàng)設貼合知識發(fā)生的情境.

在蘇教版教材中，三角函數(shù)誘導公式的發(fā)生背景是兩個角的終邊具有某些特殊的對稱關系，而這可以追溯到圓的對稱性上，所以教材中運用了點在單位圓上的模型. 這一模型不僅貫穿了《三角函數(shù)》整章內(nèi)容，而且還是本節(jié)課所需鋪墊知識“任意角的三角函數(shù)”與“同角三角函數(shù)關系”的研究背景. 據(jù)于此，在本次公開課中，筆者選擇了圖1作為本節(jié)課的起點，并創(chuàng)設了回顧幾個相關知識的情境. 具體設計如下：

圖1

師：(出示圖1)請同學們看這張圖，相信大家都不陌生，從學習《三角函數(shù)》這一章開始，它就不停地和我們見面，這里我們不妨一起來回看一下它在教材中已經(jīng)出現(xiàn)的幾個身影.

回顧1章頭語片斷(如圖2所示)

圖2

意圖：明確“圓周上一點的運動”這一模型的重要性.

回顧2任意角的三角函數(shù)片斷(如圖3所示)

圖3

意圖：感受上述模型的重要性，并反過來明確一個結論：若角α的終邊與單位圓的交點為P，則點P的坐標為P(cosα，sinα).

回顧3同角三角函數(shù)關系片斷(如圖4所示)

圖4

意圖：進一步感受上述模型的重要性，并回顧同角三角函數(shù)關系.

師：看來，這張圖的作用真的不小. 所以，今天這節(jié)課我們再次回到這張圖中，看能否有什么新的發(fā)現(xiàn)？在這張圖中，單位圓格外引人注目，因為它非常優(yōu)美！ 那么，你認為圓它美在哪兒？

意圖：感悟圓既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，而且圓有無數(shù)條對稱軸.

師：既然圓有這么好的對稱性，那么下面我們就從圓的對稱性出發(fā)，看能得到哪些有用的結論？

意圖：激發(fā)學生學習動機.

2.2 問題設計要自然遞進，始終緊扣知識本質(zhì)

問題是思維的載體，問題決定了思維的方向. 為了凸顯相關的知識本質(zhì)，課堂問題的設計應始終圍繞知識本質(zhì)，層層遞進，將學生的思維逐步引向深入.

剛才提到，三角函數(shù)誘導公式的本質(zhì)是圖形的對稱性，而這最終可歸結為圓的對稱性. 在本次公開課中，筆者就是基于這樣的認識來設計課堂問題的. 首先將圓的對稱性化歸為圓上兩點的對稱性，并拎出圓上兩點重合這一特殊的對稱情形作為問題1的背景；然后啟發(fā)學生自己提出問題，并以圓上兩點關于x軸、y軸、坐標原點這三種對稱情形作為問題2的背景，并將問題2細分為兩個子問題，以降低其探究難度. 具體設計如下：

圖5

師：如圖5所示，圓O關于它的一條直徑AB對稱，其本質(zhì)是這樣的：在圓O上任一點P，則點P關于直徑AB的對稱點P′也一定在圓O上. 所以圖形的對稱性可歸結為點與點之間的對稱性.

追問如果點P恰好在點A處，那么它的對稱點P′在哪兒呢？

意圖：讓學生感悟到圓上兩點重合在任意位置上，它們都關于一條直徑對稱，為下面的問題1作鋪墊.

師：下面回到三角函數(shù)這個主題.現(xiàn)在給點P與點P′賦上角的位置，如圖6所示，設點P與點P′分別是角α、β的終邊與單位圓的交點，那么它們的坐標分別為P(cosα，sinα)，P′(cosβ，sinβ).

圖6

圖7

問題1若點P′與點P恰好重合(如圖7所示)，你能得到什么結論？

意圖：生成誘導公式一(問題解決過程見后).

師：課上到這兒，在前面研究的基礎上，你打算提出什么樣的問題？

(見學生沒有反應，老師作了如下引導)

師：我們不妨把前面的研究思路再理一理：我們是從圓的對稱性出發(fā)來研究問題的，而圓的對稱性可歸結為圓上兩點間的對稱性，剛才的問題1研究了圓上兩點重合這一特殊的對稱情形. 那么這個時候，你打算提出什么樣的問題呢？

意圖：讓學生提到研究其它的對稱情形，順勢給出問題2.

問題2如圖6所示，在平面直角坐標系xOy中，你還想到了點P′與點P之間的哪幾種特殊的對稱關系？在這些對稱的條件下，又能得到哪些結論呢？(兩個問題逐一示出)

意圖：引出關于x軸、y軸、坐標原點對稱這幾種情形.

師：這個問題比較復雜，我們先看其中的一種情況.

問題2.1若點P′與點P關于y軸對稱，能得到什么樣的結論？

意圖：生成公式三(問題解決過程見后).

問題2.2若點P′與點P關于x軸對稱，或關于坐標原點對稱，又能得到什么樣的結論？

意圖：生成公式二與公式四(問題解決過程見后).

2.3 問題解決要循序漸進，充分揭示知識本質(zhì)

有了好的課堂問題還遠遠不夠，問題價值的體現(xiàn)還要看問題解決的過程能否將其價值充分發(fā)揮出來，所以問題的解決也是課堂教學的重要一環(huán). 在問題解決的過程中我們要不斷追問，充分暴露思維過程，并將知識的本質(zhì)盡可能用醒目的形式展示出來. 在本次公開課的問題解決中，筆者設計了以下幾個步驟，具體如下：

(1)初次探究 側重追問

給出問題1(見前，此略. 讓學生自行探究2—3分鐘后，請學生回答.)

這里，對于“點P′與點P坐標相同，角β與α的終邊相同，2kπ+α(k∈Z)與α的正、余弦值相等，2kπ+α(k∈Z)與α的正切值相等”這四點，通常要經(jīng)過3次“追問：你還能得到什么結論”才能解決完備.

(2)及時提煉 形成思想

在解決問題1的同時，筆者作如下同步板書：

師：你能用一句話來概括一下這三個關系式嗎？

意圖：揭示公式一的實質(zhì)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”.

師：這些關系式用嗎？請舉例說明.

意圖：讓學生體驗其用途(舉例略).

師：所以，這組公式具有一種功能，它可以把一個角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為另一個角的三角函數(shù)值，進而能化難為易，化繁為簡，化生為熟，所以我們稱之為“三角函數(shù)的誘導公式”.(板書課題)通常，我們把這組公式稱為公式一(在公式后板書“公式一”三個字).

師：現(xiàn)在回頭反思一下，我們是怎樣得到公式一的？

(在學生回答的同時，筆者在上述板書的上面再用彩筆對應板書)

(3)再度體驗 強化思想

給出問題2.1(見前，此略).

(師生共同完成，繼續(xù)板書)

師：公式三又有什么用途？請舉例說明.

意圖：明確公式三常用的應用方向(舉例略).

(4)獨立體驗 運用思想

給出問題2.2(見前，此略).

(讓學生自己探究，并由學生上黑板完成后續(xù)板書，具體如下)

師：公式二與公式四又有什么用途？

意圖：明確公式二與公式四常用的應用方向.

2.4 問題解后要反思貫通，深度挖掘知識本質(zhì)

在問題解決的過程中，學生已初步體會了知識本質(zhì)，但認識尚不清晰，還不能理解到位. 所以問題解決之后，特別是在課堂回顧階段，還要和學生一起進一步挖掘知識的本質(zhì)內(nèi)涵. 本節(jié)公開課中，在課的結尾，筆者引導學生從誘導公式的內(nèi)涵理解、相互聯(lián)系、后繼學習等幾個方面進行了反思貫通. 具體設計如下：

師：今天我們學習了三角函數(shù)的誘導公式，通過學習，我們知道了誘導公式是由多組公式構成的.

提升1請結合誘導公式的作用及其形成過程，談談你是怎樣理解誘導公式的?

意圖：再度明確誘導公式的作用及其形成過程.

師：事實上，反過來誘導公式反映的也正是圓的對稱性. 比如，若點P(cosα，sinα)是單位圓上任一點，則它關于x軸的對稱點坐標為P′(cosα，-sinα)，而由公式二知，點P′的坐標還可以寫成P′(cos(-α)，sin(-α))，所以點P′就是角-α的終邊與單位圓的交點，即點P′也在單位圓上，從而由點P的任意性知單位圓是關于x軸對稱的，即公式二與單位圓關于x軸對稱相對應；同理，公式三與公式四也與單位圓的其它對稱性相對應. 所以圓的對稱性與誘導公式是等價的，只不過一個是形的表現(xiàn)形式，而另一個是數(shù)的表現(xiàn)形式(如圖8所示).從而，誘導公式的實質(zhì)是將圖形的對稱關系“翻譯”成了三角函數(shù)之間的代數(shù)關系.

圖8

師：大家有沒有從中獲得啟發(fā)，這么多的誘導公式該如何記憶呢？

意圖：引導學生按“兩角關系，對稱關系，坐標關系，誘導公式”的順序來記憶.

提升2公式二、三、四之間有聯(lián)系嗎？

師：因為公式二、三、四與圓的三種對稱性是等價的，所以我們不妨先從形的角度來找一下靈感.

形的結論單位圓關于x軸、y軸、坐標原點這三種對稱關系，其中任意兩種進行組合可以推出第三種.

師：類比到數(shù)上，你能得到什么樣的結論?

意圖：得到如下結論：

數(shù)的結論將公式二、三、四中的任意兩組進行組合，能推導另一組公式.

師：類比得到的結論不一定正確，但我告訴大家該結論是正確的，這里我們隨便選擇一種來驗證一下(驗證略).

師：課上到這兒，你又打算提出什么樣新的問題呢？

意圖：引導學生提出其它的對稱情形，順勢給出如下問題.

新的問題如果點P′與點P滿足其它的特殊對稱關系，比如，關于第一、三象限平分線或第二、四象限平分線對稱，我們還能得到相應的誘導公式嗎？

意圖：承上啟下，引出下節(jié)課將要研究的問題. 同時激勵有興趣的學生課后先行探究.

總之，筆者認為，凸顯知識本質(zhì)，并沒有弱化知識的應用；相反，是強化了知識的應用. 因為只有真正的理解與掌握，才能將知識用得更主動、更靈活、更到位.