非自治Fitzhugh-Nagumo方程在周期邊界下的整體解

張 珊， 柴玉珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

非自治Fitzhugh-Nagumo方程在周期邊界下的整體解

張 珊， 柴玉珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

Hodgkin-Huxley方程是描述神經(jīng)纖維膜電流、 膜電壓關(guān)系的微分方程， Fitzhugh-Nagumo方程是Hodgkin-Huxley方程的簡(jiǎn)化模型.討論了具有周期邊界的非自治FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)在外刺激下的初邊值問(wèn)題， 首先利用Galerkin方法及常微分方程理論證明了具有周期邊界的非自治Fitzhugh-Nagumo方程存在局部解; 其次利用了一種新的方法對(duì)局部解作一致先驗(yàn)估計(jì)證明了整體解的存在性; 最后利用Gronwall不等式證明了非自治Fitzhugh-Nagumo系統(tǒng)整體解的唯一性.

Fitzhugh-Nagumo系統(tǒng)； 非自治方程； 外刺激項(xiàng)； Galerkin方法； Gronwall不等式

FitzHugh-Nagumo方程是一類(lèi)描述了在高于閾值的常電流刺激下神經(jīng)元?jiǎng)幼麟娢坏闹芷谛哉袷幍姆蔷€性演化方程， 同時(shí)也是一個(gè)著名的反應(yīng)擴(kuò)散模型， 這類(lèi)模型在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用， 因此是近年來(lái)很多學(xué)者研究的熱點(diǎn)方程之一.這類(lèi)方程是由Richard FitzHugh和南云仁一于1961年由H-H模型[1]簡(jiǎn)化得到的一個(gè)二維系統(tǒng)， 亦即F-N模型[2]

ut=uxx+f(u)-v,vt=δu-γv.

近年來(lái)人們對(duì)神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)的F-N方程做了很多研究[3-5]， 如M.Osman Gani和Toshiyuki Ogawa分析了廣義F-N模型的不穩(wěn)定周期行波解[6], Gianni Arioli和 Hans Kochb研究了F-N方程的旅游脈沖解的存在性和穩(wěn)定性[7]， 吳永輝等研究較為廣義F-N方程組的整體吸引子及慣性流形[8], 簡(jiǎn)化了P.Constantin等人的工作， 王慕潔等討論了F-N模型以2D為周期的初值問(wèn)題[9-10]， 但是對(duì)外刺激下的非自治神經(jīng)元傳導(dǎo)模型研究得甚少.

本文研究非自治F-N系統(tǒng)在周期邊界條件下的初邊值問(wèn)題

邊界條件和初值條件為

式中：u表示跨膜電壓的特性;v描述鉀激活和鈉失活的慢變過(guò)程;I1(x,t,u),I2(x,t,u)為外加刺激電流項(xiàng)(外刺激項(xiàng)依賴(lài)于時(shí)間變量、 空間變量以及它們的函數(shù))， 且x∈Ω，Ω為R上的有界區(qū)間，a,λ,b是非負(fù)常數(shù)，f∈L2(Ω),g∈L2(Ω).

1 預(yù)備知識(shí)

P2)h是一個(gè)非線性光滑函數(shù), 且滿足

h(s)s≥0,h(0)=0,h′(s)≥-c,s∈R,

|h′(s)|≤c(1+|s|r),s∈R,

其中,n≤2,r≥0, 當(dāng)n≥3時(shí),

P4)I1(x,t,u),I2(x,t,u)關(guān)于x,t可測(cè), 對(duì)u連續(xù)， 且?t>0, ?0≤hi(x,t)∈L2(0,t,L2(Ω)),i=(0,2), ?0≤hj(x,t)∈L2(0,t,L∞(Ω)),j=(1,3), 使得

I1(x,t,u)≤h0+h1|u|,

|fg|dx≤‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω).

引理3[12-15]已知Φ(t) (t∈R+)是絕對(duì)連續(xù)的正值函數(shù)， 且存在ε>0使得微分不等式

成立. 其中存在α≥0和a∈[0,1]， 使得g(t)滿足

存在β≥0， 使得h(t)滿足

|h(y)|dt≤β,

α,β是與t無(wú)關(guān)的常數(shù).則存在γ(γ是與α和ε有關(guān)的常數(shù))使得

成立.

2 主要結(jié)果及其證明

式中：αjm,βjm為未知函數(shù). 那么由Galerkin方法可知，um,vm應(yīng)滿足下面的常微分方程組

(umt-aΔum+λum+h(um)+vm-f(x)-

(vmt-ε(t)(um-bum+g(x)+

再由peano定理, 方程(8)～(9)滿足初始條件

的解在[0,tN]上存在. 其中, 初值ajm,bjm的選取滿足

由常微分方程理論, 方程(8)～(10)存在唯一局部解um,vm.

下面對(duì)um,vm作一致先驗(yàn)估計(jì).

引理4 假設(shè)式(5)～(7)成立， 則對(duì)方程(8)和(9)的近似解um,vm有如下估計(jì)

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤γ[ε(0)‖um(0)‖2+‖vm(0)‖2]eη1t+ρ, ?t>0,

證明在式(8)中令ωs=ε(t)um, 在式(9)中令ωs=vm， 兩式相加有

(umt-aΔum+λum+h(um)+vm-f(x)-I1m(x,t,u),ε(t)um)+

對(duì)式(12)利用分部積分及格林函數(shù)有

對(duì)式(13)右邊各項(xiàng)利用引理1和引理2， 可得

以及

將上述估計(jì)代入式(13)有

2aε(t)‖

式(14)兩邊同時(shí)加上

karctan(t+t0)[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2].

其中

karctant0≥

t0為大于零的常數(shù)， 令Φ(t)=ε(t)‖um‖2+‖vm‖2，

則有

(?t∈R+),

其中

由ε(t)的假設(shè)

由引理3知

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤

γ[ε(0)‖um(0)‖2+‖vm(0)‖2]eη1t+ρ.

再對(duì)式(14)從[0,2D]積分即完成引理的證明.

引理5 若滿足引理4的條件， 則有

ε(t)‖um‖2+‖vm‖2≤M1,

式中：Mi(i=1～3)及以下諸引理中的Mi均為與N無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明用-ε(t)Δum與式(8)作內(nèi)積， 用-Δvm與式(9)作內(nèi)積, 兩式相加得

2bε(t)‖vm‖2=2ε(t)(h(um),Δum)-2ε(t)[(f,Δum)+(g,Δvm)+

利用Sobolev不等式、 引理1和引理2對(duì)式(15)估計(jì)有

2ε(t)(h(um),Δum)=-2ε(t)(h(um),um)=-2ε(t)(h′(um)um,um)≤2cε(t)‖um‖2·

(I1(x,t,um),Δum)≤‖h0‖2‖Δum‖+‖h1‖∞‖um‖‖um‖≤

同理

(I2(x,t,vm),Δvm)≤‖h2‖2‖Δvm‖+‖h3‖∞‖vm‖‖vm‖≤

3ε(t)‖Δvm‖2≤Q1(t)[ε(t)‖um‖2+

將式(17)從0～2D積分， 得

[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2]+

記

Wm(t)=[ε(t)‖um‖2+‖vm‖2]+

則

Wm(t)≤

其中 0≤Qi(t)∈L1(0,t),i=1,2.

由前述假設(shè)知，Wm(0)對(duì)N一致有界， 從而

由Gronwall不等式， 并利用引理4的結(jié)論即得本引理的證明.

注意到上面估計(jì)式中各常數(shù)M均為與N無(wú)關(guān)， 因此由緊致性原理即有下面的結(jié)論.

推論在定理1的假設(shè)下， 有

‖u‖∞+‖v‖∞≤C, ?t≥0,

其中,C是與‖u0‖1, ‖v0‖1有關(guān)與t無(wú)關(guān)的常數(shù).

定理2 在定理1的條件下， 方程(8)～(10)的整體解是唯一的.

利用微分中值定理得

由Gronwall不等式和式(20)有

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IntegralSolutionofNon-AutonomousFitzhugh-NagumoEquationUnderthePeriodicBoundary

ZHANG Shan, CHAI Yu-zhen

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Hodgkin-Huxley is a kind of differential equation describes the relations of nerve fiber membrane electric current and the membrane voltage and it is a simplified model of Hodgkin-Huxley. The initial-boundary value problem of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo system with periodic boundary under the external stimulation is discussed. Firstly, using the Galerkin method and theory of ordinary differential equations the existence of local solution of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo equations with periodic boundary; Secondly, with a new method of local solution for consistent prior estimate proves the existence of global solution; Finally, using Gronwall inequality proves the uniqueness of global solutions of non-autonomous Fitzhugh-Nagumo system as a whole.

Fitzhugh-Nagumo systems; non-autonomous equation; outside stimulus items; Galerkin method; Gronwall inequality

1673-3193(2017)05-0531-05

2016-07-06

張 珊(1991-)， 女， 碩士， 主要從事偏微分方程及應(yīng)用研究.

O241.8

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.005