數(shù)學(xué)思想的含義及基本特征

趙 雁 / 樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

數(shù)學(xué)思想的含義及基本特征

趙 雁 / 樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

近年數(shù)學(xué)教育界議論的熱門話題之一是“數(shù)學(xué)思想”這一術(shù)語，那么，究竟什么是數(shù)學(xué)思想呢？目前還未形成精確的定義，但比較一致的認(rèn)識(shí)是，數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。為了深化數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，有必要對(duì)數(shù)學(xué)思想的基本含義、特征進(jìn)行探討。

含義；特征

一、數(shù)學(xué)思想的基本含義

如何理解數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)“數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)”呢？應(yīng)該從以下兩個(gè)方面來理解。一種是狹義理解，主要是就數(shù)學(xué)知識(shí)體系而言。初等數(shù)學(xué)思想往往是指數(shù)學(xué)思想中最常見、最基本、較淺顯的內(nèi)容。比如函數(shù)思想等。這些最常見、最基本的數(shù)學(xué)思想也是從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提升出來的認(rèn)識(shí)結(jié)果或觀點(diǎn)，并在后繼的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用和證實(shí)其正確性。另一種是廣義理解，即數(shù)學(xué)思想除上所述內(nèi)容外，還應(yīng)包括關(guān)于數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，“數(shù)學(xué)思想的歷史是數(shù)學(xué)基本概念、重要理論產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，也是哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)觀發(fā)展的歷史”。從的概念的形成和發(fā)展，到微積分的產(chǎn)生及現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支的形成，即對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展中所創(chuàng)立的新概念、新理論、新模型和新方法的認(rèn)識(shí)都可以納入數(shù)學(xué)思想范疇，就初等知識(shí)內(nèi)容而言，數(shù)的演變與形成，負(fù)數(shù)產(chǎn)生的背景，數(shù)軸概念的形成直至函數(shù)理論體系的發(fā)展過程等，都體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的思想。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程也是參與者數(shù)學(xué)思想的孕育、發(fā)生過程。因此，數(shù)學(xué)思想既可以“泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果”，又包括對(duì)數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展，數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征，數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支各體系之間對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系及地位作用的認(rèn)識(shí)。

對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。一般來講，數(shù)學(xué)方法是人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段.我們可以作一個(gè)比喻，數(shù)學(xué)思想相當(dāng)于建筑的一張藍(lán)圖，數(shù)學(xué)方法則相當(dāng)于建筑施工的手段，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的；數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在關(guān)系，是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步的概括和提升。如果從狹義角度理解數(shù)學(xué)思想，往往把某一數(shù)學(xué)成果籠統(tǒng)地稱之為數(shù)學(xué)思想方法，而當(dāng)用它去解決某些具體數(shù)學(xué)問題時(shí)，又可具體稱之為數(shù)學(xué)方法。而當(dāng)評(píng)價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時(shí)，又可稱之為數(shù)學(xué)思想。若從廣義角度理解，人們比較注重?cái)?shù)學(xué)發(fā)展中的重大貢獻(xiàn)、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)見和發(fā)明，突出其文化功能、思想價(jià)值，以及對(duì)社會(huì)、科技進(jìn)步、發(fā)展的意義，因而更多稱之為數(shù)學(xué)思想。

二、數(shù)學(xué)思想的基本特征

1.導(dǎo)向性：數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性是研究數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)思維的策略。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性表現(xiàn)在它既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，又是建立數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，還是解決具體問題的“向?qū)А?，正所為：“?shù)學(xué)的精神、思想是創(chuàng)造數(shù)學(xué)著作，發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷地向前發(fā)展的根源”。比如極限思想是微積分理論的基礎(chǔ)，又是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法，而在解決具體問題中，數(shù)學(xué)思想往往起主導(dǎo)的作用，尤其是它對(duì)產(chǎn)生一個(gè)好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供了方向。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想在指示解題的方向時(shí)，還為數(shù)學(xué)方法的具體實(shí)施留有應(yīng)變的余地。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性的重要價(jià)值被愛因斯坦的名言所佐證：“在一切方法的背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具”。

2.統(tǒng)攝性：數(shù)學(xué)思想對(duì)于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法具有巨大的凝聚力，它是聯(lián)系知識(shí)的紐帶，具有舉一綱而萬目張的作用。數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面.一是優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，雖然數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量的不同是影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)方面，但是，即使有同樣數(shù)量的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生，由于知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系結(jié)構(gòu)的差異，也是造成學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展不平衡的主要因素。正像金剛石和石墨都是由六個(gè)碳原子組成，但由于碳原子的結(jié)構(gòu)方式不同，前者十分堅(jiān)硬，后者非常松軟。用映射思想可以將縱橫兩方面的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)起來，起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化不可能為可能的作用。二是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思想在知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過程中起重要的中介作用.如果說能力是知識(shí)的結(jié)晶，那么思想往往起著結(jié)晶核的作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的定義、定理、公式等外顯知識(shí)時(shí)，若未能了解這些知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，則他們很難真正理解知識(shí)，深刻認(rèn)識(shí)知識(shí)。就會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)了不少，但由于缺乏數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)，知識(shí)沒有活性，能力就不可能得到發(fā)展的現(xiàn)象。另外，數(shù)學(xué)思想將分散的知識(shí)吸附起來，組成一個(gè)整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。因而就會(huì)把這種思想用于解其他問題中去，這就推動(dòng)著學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展。

3.概括性：人們的理性認(rèn)識(shí)之所以高于感性認(rèn)識(shí)，是因?yàn)槔硇哉J(rèn)識(shí)能反映、揭示事物的普遍的必然的本質(zhì)屬性和聯(lián)系，這就是理性認(rèn)識(shí)的一大特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想在這方面具有突出的表現(xiàn)，即數(shù)學(xué)思想具有較高的概括性，概括性程度的高低決定了數(shù)學(xué)思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性揭示得越深刻，對(duì)問題的理解也就愈透徹。例如，幾何中研究各種各樣的角，兩直線相交所成的角，兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，這些角的度量方法最終可由概括性統(tǒng)一為兩相交直線的角來度量。數(shù)學(xué)思想的概括性還表現(xiàn)在它能反映數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系和內(nèi)部規(guī)律上，例如有關(guān)二次三項(xiàng)式、一元二次方程、一元二次不等式等問題往往都可以歸結(jié)為一元二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間問題的探究，同時(shí)也反映了函數(shù)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括。再如數(shù)學(xué)中一些基本方法：配方法、換元法、構(gòu)造法、參數(shù)法等，進(jìn)一步上升概括為映射思想。

4.遷移性：高度的概括性導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，這是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的基礎(chǔ)和源泉，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石。例如，對(duì)幾何中有關(guān)角的度量的概括性認(rèn)識(shí)可以指導(dǎo)我們對(duì)二面角的研究，導(dǎo)致二面角平面角概念的建立，又如由圓內(nèi)接正多邊形邊倍增而趨于圓來求圓面積的極限思想可以進(jìn)一步發(fā)展為分割求和的微積分思想。希爾伯特的巨著《幾何基礎(chǔ)》是迄今為止用公理化思想建立數(shù)學(xué)體系的最典型的著作。另一方面，這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外部：它還能溝通數(shù)學(xué)與其他科學(xué)，與社會(huì)的聯(lián)系，產(chǎn)生更加廣泛的遷移.如公理化思想已超越數(shù)學(xué)理論范圍，滲透到其他學(xué)科領(lǐng)域.17世紀(jì)的唯心主義者斯賓莎仿效《幾何原本》的公理化思想，把人的思想、情感和欲望等當(dāng)作幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、面來研究，寫出了名著《倫理學(xué)》；20世紀(jì)50年代波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫完成了理論力學(xué)的公理化。

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