論數(shù)學(xué)美的特征

楊正蓮 / 四川中醫(yī)藥高等專(zhuān)科學(xué)校

論數(shù)學(xué)美的特征

楊正蓮 / 四川中醫(yī)藥高等專(zhuān)科學(xué)校

從簡(jiǎn)潔性、和諧性、奇異性3個(gè)方面論述數(shù)學(xué)美的特征，從哲學(xué)角度加以分析。

數(shù)學(xué)美；簡(jiǎn)潔美；和諧美；奇異美；嚴(yán)謹(jǐn)美；科學(xué)美

在科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一種，但數(shù)學(xué)美又有其獨(dú)特個(gè)性，它又一直是科學(xué)美研究的重要課題。那么數(shù)學(xué)美的特征是什么呢？數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)美蘊(yùn)藏于它所特有的抽象概念、公式符號(hào)、命題、推理論證、思維方法……之中的簡(jiǎn)單、和諧、嚴(yán)謹(jǐn)、奇異等，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美。數(shù)學(xué)美的因素有很多方面，具體的、意義深刻的，其主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

一、數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美具有形式簡(jiǎn)潔、秩序規(guī)整和高度統(tǒng)一的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言（數(shù)學(xué)圖形）不僅能描述世界上的萬(wàn)物，還能為世界上所有文明社會(huì)所接受和理解。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性指其抽象性、概括性和統(tǒng)一性，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)具有抽象性和統(tǒng)一性，因而其形式是簡(jiǎn)單的，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單性的重要手段是使用了數(shù)學(xué)符號(hào)。

1、符號(hào)美。數(shù)學(xué)符號(hào)是探索數(shù)學(xué)奧妙，交流、傳播數(shù)學(xué)思想的工具。簡(jiǎn)潔、方便的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算、推理都是很方便的。數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)去表示，才能更加確切和明了。比如全世界通用的阿拉伯?dāng)?shù)字（0、1、2、3、……），就是在人類(lèi)歷史發(fā)展過(guò)程中發(fā)揮著巨大作用的數(shù)學(xué)符號(hào)，還有圓周率π、等無(wú)限且不循環(huán)的數(shù)，要具體寫(xiě)出來(lái)根本辦不到，然而用數(shù)學(xué)符號(hào)可精確地表示它們。數(shù)學(xué)符號(hào)除了簡(jiǎn)潔之外，還有另外的意義：形象美。比如，關(guān)系符號(hào)（=,＜,∈等），運(yùn)算符號(hào)，函數(shù)符號(hào)約定符號(hào)。如果以上這些符號(hào)在數(shù)學(xué)上不過(guò)是一個(gè)符號(hào)，那么行列式和矩陣記號(hào)的出現(xiàn)，則是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的大膽創(chuàng)新，行列式簡(jiǎn)潔、整齊、便于記憶，這些特點(diǎn)往往使某些數(shù)學(xué)方程變得漂亮，簡(jiǎn)化了復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，且通過(guò)它可以把遠(yuǎn)離的數(shù)學(xué)理論巧妙地聯(lián)系起來(lái)。

2、數(shù)學(xué)美的抽象性。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性在很大程度上是源自數(shù)學(xué)的抽象性，也就是說(shuō)：數(shù)學(xué)概念、公理、定理正是從眾多事物共同屬性中抽象出來(lái)的。而對(duì)日益擴(kuò)展的數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行簡(jiǎn)化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象更是不可少的。抽象是數(shù)學(xué)美感中的一個(gè)重要部分，還因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象可以把人們置于脫開(kāi)周?chē)挛锛姅_的“純潔”的氣氛中。

3、數(shù)學(xué)美的多樣統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)是一門(mén)范圍廣、分支多、系統(tǒng)龐大的基礎(chǔ)學(xué)科。各分支間既相聯(lián)系，又相區(qū)別；既豐富多彩，又有統(tǒng)一規(guī)律。比如一個(gè)梯形的面積公式為上底，b為下底，h為高]中，當(dāng)a=0時(shí)演變成三角形的面積公式；當(dāng)a=b時(shí)演變成平行四邊形的面積公式，這種既有區(qū)別又有聯(lián)系，既對(duì)立又統(tǒng)一。笛卡兒通過(guò)解析幾何把幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)統(tǒng)一起來(lái)了；高斯從曲率的觀點(diǎn)把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾何統(tǒng)一起來(lái)了等等，這一切都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。

從哲學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性是同客觀世界中物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起的。一切物質(zhì)都由簡(jiǎn)單的基本粒子構(gòu)成，而基本粒子及其組合體的運(yùn)動(dòng)都取最簡(jiǎn)單的路徑。而數(shù)學(xué)的多樣統(tǒng)一性是客觀世界萬(wàn)事萬(wàn)物多樣統(tǒng)一性的抽象。一個(gè)數(shù)學(xué)方程，一條定理，反映了一類(lèi)事物間質(zhì)的共同性，不同的數(shù)學(xué)方程、定理，反映了不同事物之間質(zhì)的差異性。

二、數(shù)學(xué)美的和諧性

畢達(dá)哥拉斯提出：“美是和諧與比例”。向上生長(zhǎng)的植物，進(jìn)退自如的動(dòng)物以及人類(lèi)的許多造物形態(tài)，都蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)關(guān)系，有豐富的對(duì)稱(chēng)美、和諧美、形式美。

1、嚴(yán)謹(jǐn)美。嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的獨(dú)特之美。它表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義準(zhǔn)確地揭示了事物的本質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)結(jié)論存在且唯一，對(duì)錯(cuò)分明；數(shù)學(xué)的邏輯推理嚴(yán)密，從它的公理開(kāi)始到演繹的最后一個(gè)環(huán)節(jié)不允許有一句假話，即使錯(cuò)一個(gè)符號(hào)也不行。此外，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)調(diào)完整、數(shù)學(xué)圖形美麗和諧、數(shù)學(xué)語(yǔ)言生動(dòng)嚴(yán)密等等都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2、對(duì)稱(chēng)美。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中給對(duì)稱(chēng)下的定義是：“一個(gè)整體若有可互換的諸部分稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)”。在數(shù)學(xué)上對(duì)稱(chēng)的內(nèi)容很多。例如：在幾何上橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；在代數(shù)學(xué)上：對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式；在高數(shù)中，如過(guò)點(diǎn)的直線方程，這樣寫(xiě)不僅美觀，同時(shí)也便于記憶與書(shū)寫(xiě)。數(shù)學(xué)中不少概念與運(yùn)算，都是由人們對(duì)于“對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題的探討派生出來(lái)的。

3、形式美。審美實(shí)踐告訴我們，人們對(duì)美的感受都是直接由形式引起的。和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美的享受。和諧的比例中最負(fù)盛名的是開(kāi)普勒稱(chēng)為歐氏幾何學(xué)兩顆明珠之一的黃金分割。成為人們普遍喜愛(ài)的美的比例，廣泛應(yīng)用。藝術(shù)家利用它塑造了令人驚嘆的藝術(shù)品，科學(xué)家利用它創(chuàng)造了豐碩的科技成果。人體最優(yōu)美的身段也遵循著這個(gè)黃金分割比；令人心曠神怡的花憑借的也是這個(gè)美的密碼。真是：哪里有黃金數(shù)，哪里就有美的閃光。優(yōu)美的曲線同樣帶給人們美的享受。如得之于自然界的四葉玫瑰線、對(duì)數(shù)螺線及應(yīng)用于建筑中人為設(shè)計(jì)的超橢圓曲線等。

從哲學(xué)角度看，數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)性是物質(zhì)世界矛盾雙方處于平衡狀態(tài)的一種描述，對(duì)稱(chēng)意味著秩序、規(guī)律、守恒，不對(duì)稱(chēng)意味著多變、多樣、發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)美的奇異性

1、奇異美。哲學(xué)家培根說(shuō)：“美在于奇特而令人驚異”。數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論，出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)了一種獨(dú)特的令人驚異的美。例如歐拉公式：.把實(shí)數(shù)域中看不出有任何聯(lián)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起；又如，愛(ài)因斯坦把茫茫宇宙中的質(zhì)能關(guān)系，用E＝MC2簡(jiǎn)單地表達(dá)出來(lái)，簡(jiǎn)單得令人拍案叫絕。數(shù)學(xué)中常量與變量，直線與曲線，間斷與連續(xù)，特殊與一般等等。常常出現(xiàn)矛盾，相互對(duì)立，又相互補(bǔ)充，從而編織成一個(gè)奇峭和諧的數(shù)學(xué)世界。

2、有限美。無(wú)限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)涵著神奇和不可思議——也許正因?yàn)椤坝邢蕖辈棚@得它更美。平面上有無(wú)限個(gè)點(diǎn)，而確定一個(gè)平面只需要不共線的三點(diǎn)；幾何中的多面體千姿百態(tài)，種類(lèi)無(wú)窮無(wú)盡，但歐拉對(duì)于簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F間建立了一個(gè)普遍適用的等式：V-E+F=2；美國(guó)著名的廣告學(xué)家克魯曼（H.Kluman）曾給予明白的解釋?zhuān)簭V告刊播次數(shù)以6次左右為最佳;電子郵件的“六階現(xiàn)象”：電子郵件平均輾轉(zhuǎn)6個(gè)人之后均到達(dá)陌生收件人手中：中國(guó)“七巧板”游戲：“迷宮”（道路有限，走法無(wú)窮）等等這些問(wèn)題都反映了“無(wú)限”中的有限。

從哲學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)的奇峭美是同客觀事物的矛盾法則聯(lián)系在一起的。產(chǎn)生矛盾，激化矛盾，呈現(xiàn)出奇峭美。

羅丹說(shuō)：自然總是美的。伽利略則宣稱(chēng)道：自然這本書(shū)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的。哪里有數(shù)，哪里就有美。數(shù)學(xué)總是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué)。