一類具有交叉擴(kuò)散的捕食-食餌模型的共存性

王晶晶，賈云鋒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062)

一類具有交叉擴(kuò)散的捕食-食餌模型的共存性

王晶晶，賈云鋒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062)

討論了一類新型的具有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食-食餌模型非常數(shù)正解的存在性。首先，給出了正解的先驗(yàn)估計(jì)；其次，利用度理論得到非常數(shù)正解的存在性。結(jié)果表明：對(duì)于給定的交叉擴(kuò)散系數(shù)，當(dāng)捕食者與食餌的增長(zhǎng)率控制在一定范圍內(nèi)時(shí)，兩物種可以共存。

捕食-食餌模型；交叉擴(kuò)散；先驗(yàn)估計(jì)；度理論；共存性

在經(jīng)典的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中，種群的擴(kuò)散行為僅與種群自身的隨機(jī)移動(dòng)有關(guān)，即擴(kuò)散行為僅依賴于種群的自我擴(kuò)散。事實(shí)上，在實(shí)際的生態(tài)系統(tǒng)中，種群的擴(kuò)散過(guò)程還依賴于種群間的相互滲透，也就是依賴于種群間的交叉擴(kuò)散行為。帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型能更加準(zhǔn)確地反映捕食者和食餌之間的相互關(guān)系[1-3]。近年來(lái)，帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型受到了人們的關(guān)注。例如，文獻(xiàn)[4]研究了三種群的交叉擴(kuò)散捕食模型，證明了交叉擴(kuò)散能夠?qū)е孪到y(tǒng)產(chǎn)生空間斑圖；文獻(xiàn)[5-7]研究了帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型正常數(shù)解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[8-11]研究了帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型非常數(shù)正解的不存在與存在性。

在一些帶有Neumann邊界條件的捕食模型中，如果只考慮含一個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)的情形，那么模型在一定條件下不會(huì)產(chǎn)生非常數(shù)正解。例如，文獻(xiàn)[9]中討論了含一個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型， 證明了在一定條件下模型沒有非常數(shù)正解。但是，如果考慮兩個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)，那么情形就不同了，在同樣的條件下模型可能產(chǎn)生非常數(shù)正解。同時(shí)，從生態(tài)學(xué)實(shí)際來(lái)看，當(dāng)捕食者進(jìn)行捕食時(shí)，食餌會(huì)向著遠(yuǎn)離捕食者的方向移動(dòng)以免被捕食，這就需要再引入一個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)來(lái)模擬更加符合實(shí)際現(xiàn)象的捕食-食餌關(guān)系?；谶@些考慮，本文引入如下含兩個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)的捕食模型

(1)

其中Ω為Rn(n≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域，ν為邊界?Ω上的單位外法向量；u,v分別表示食餌和捕食者的種群密度；a,b分別為u,v的固有增長(zhǎng)率；m1為v的捕食率，m2為v的轉(zhuǎn)化率；邊界條件表示u和v生活在同一個(gè)封閉的環(huán)境內(nèi)；di>0(i=1,2)表示u和v的自我擴(kuò)散系數(shù)；d1d3和d2d4為交叉擴(kuò)散系數(shù)，其中d3,d4>0，

-d1Δ[(1+d3v)u]=-div{▽(d1u+d1d3uv)},

-d2Δ[(1+d4u)v]=-div{▽(d2v+d2d4uv)},

-▽(d1u+d1d3uv)=-d1d3u▽v-(d1+d1d3v)▽u,

-▽(d2v+d2d4uv)=-d2d4v▽u-(d2+d2d4u)▽v

當(dāng)d3>0時(shí)，-d1d3u▽v反應(yīng)了食餌逃離捕食者，即食餌向著捕食者密度小的方向移動(dòng)。當(dāng)d4>0時(shí)，-d2d4v▽u反應(yīng)了食餌形成一個(gè)團(tuán)結(jié)互助、共同抵御捕食者的群體。在現(xiàn)實(shí)生態(tài)環(huán)境中，捕食與自我防御行為是經(jīng)常發(fā)生的。

本文主要研究模型(1)的共存性。首先，給出正解的先驗(yàn)估計(jì)；其次，利用拓?fù)涠壤碚摰玫椒浅?shù)正解的存在性。需要說(shuō)明的是，本文中給出的非常數(shù)正解的存在性條件(見定理3)恰好為文獻(xiàn)[9]中給出的非常數(shù)正解的不存在性條件。之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的情形，正是因?yàn)槲覀冊(cè)谖墨I(xiàn)[9]模型的基礎(chǔ)上引入了一個(gè)新的交叉擴(kuò)散項(xiàng)。

Δ1(a+b)2+4am2-4m1b-4m1m2

在本文中，將沿用文獻(xiàn)[9]中的記號(hào)：

a2(b)

1 解的先驗(yàn)估計(jì)

本節(jié)主要給出模型(1)的非常數(shù)正解的上界和下界。為了方便，記Λ=Λ(a,b,m1,m2)。

其中D1,D2為給定的正常數(shù)。

(2)

因此，

[1+d3v(x0)]u(x0)≤(1+d3M)aC1

首先證存在C*=C*(n,Ω,Λ,D1,D2,d3,d4)，使得

(3)

由模型(2)和φ=(1+d3v)u，ψ=(1+d4u)v知，問(wèn)題(1)也可化為

(4)

由上面討論知

則d1≥D1時(shí)，有

(5)

2 非常數(shù)正解的存在性

先給出模型(1)非常數(shù)正解不存在的充分條件。

該定理的證明完全類似于文獻(xiàn)[15]中的定理4.1的證明，在這里我們從略。

下面運(yùn)用拓?fù)涠壤碚撟C明模型(1)非常數(shù)正解的存在性。

設(shè)0=μ0<μ1<…是-Δ在齊次Neumann邊界條件下的特征值，記

v>0,x∈Ω;?νu=?νv=0,x∈?Ω}

Φ(w)=(d1(1+d3v)u,d2(1+d4u)v)，

w=(u,v)

則系統(tǒng)(1)化為

F(w)w-(I-Δ)-1·

的正解，其中(I-Δ)-1是I-Δ在X+上的逆。由于F(·)是單位算子I的緊擾動(dòng)，那么對(duì)于S，如果對(duì)任意w∈?S，F(xiàn)(w)≠0，則拓?fù)涠萪eg(F(·),S,0)有意義。計(jì)算可得

注意到，當(dāng)B>0時(shí)，對(duì)應(yīng)的μ1(d)和μ2(d)為負(fù)根。因此，如果μ1(d)和μ2(d)非負(fù)且不相等，則A,B,C應(yīng)滿足：B2-4AC>0且B<0，從而有下面引理成立。

引理2 假設(shè)B2-4AC>0且B<0。對(duì)于給定的μi，i≥0，如果μ1(d)<μi<μ2(d)，那么H(μi)<0，而當(dāng)μi<μ1(d)或μi>μ2(d)時(shí)，H(μi)>0。

下面討論問(wèn)題(1)非常數(shù)正解的存在性，并假設(shè)B<0。

證明因?yàn)锽<0，所以μ2(d)>μ1(d)>0，且當(dāng)d2充分大時(shí)，

因此存在D2(d1,d3,d4)，當(dāng)d2>D2(d1,d3,d4)時(shí)，有0<μ1(d)<μ1，μ2(d)∈(μn,μn+1)。

Φ(t;w)=(d1(t)(1+d3(t)v)u，

d2(t)(1+d4(t)u)v)

考慮問(wèn)題

(6)

顯然，w是問(wèn)題(1)的非常數(shù)正解等價(jià)于w是問(wèn)題(6)當(dāng)t=1時(shí)的非常數(shù)正解。同時(shí)，對(duì)任意的t∈[0,1]，問(wèn)題(6)的非常數(shù)正解又等價(jià)于下面問(wèn)題的非常數(shù)正解

F(t;w)

[G(w)+▽wΦww(t;w)▽w]+w}=0，w∈X+

(7)

(8)

由定理2知，當(dāng)t=0時(shí)，問(wèn)題(7)沒有非常數(shù)正解，且對(duì)任意的i≥0，H(μi)>0，因此

(9)

令

則對(duì)任意的w=(u,v)∈?Σ且t∈[0,1]，F(xiàn)(t;w)≠0。由度的同倫不變性知，

deg(F(1;·),Σ,0)=deg(F(0;·),Σ,0)

(10)

與式(10)矛盾，因此問(wèn)題(1)存在非常數(shù)正解。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文主要運(yùn)用拓?fù)涠壤碚撗芯苛艘活愋滦偷木哂薪徊鏀U(kuò)散項(xiàng)的捕食-食餌模型，分析了模型非常數(shù)正解的存在性。研究結(jié)果表明，當(dāng)捕食者與食餌的增長(zhǎng)率控制在一定范圍內(nèi)時(shí)，兩物種可以共存。文中所采用的相關(guān)研究方法是偏微分方程理論及工具在種群生態(tài)學(xué)中的具體應(yīng)用，所得結(jié)論對(duì)研究具體的生物種群動(dòng)力學(xué)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

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Coexistenceforapredator-preymodelwithcross-diffusion

WANGJingjing,JIAYunfeng

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China)

The existence of non-constant positive solutions for a new predator-prey model with cross-diffusion is studied. Firstly, a priori estimate of positive solutions is given. Then, the existence of non-constant positive solutions is given by using degree theory. The result shows that for fixed cross-diffusion coefficients, the predator and prey can coexist when the growth rates of them are controlled in a certain range.

predator-prey model; cross-diffusion; a priori estimate; degree theory; coexistence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.007

2017-04-02

國(guó)家自然科學(xué)基金(61672021)；陜西師范大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金(GK201701001)

王晶晶(1993年生)，女；研究方向偏微分方程理論及應(yīng)用；E-mail: w785413@snnu.edu.cn

賈云鋒(1972年生)，男；研究方向偏微分方程理論及應(yīng)用；E-mail：jiayf@snnu.edu.cn

O175.26

A

0529-6579(2017)06-0055-05