隨機(jī)路面激勵(lì)下車輛垂向振動(dòng)微分幾何解耦控制

鄧 濤，譚海鑫，李志飛，余浩源

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074)

隨機(jī)路面激勵(lì)下車輛垂向振動(dòng)微分幾何解耦控制

鄧 濤，譚海鑫，李志飛，余浩源

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074)

分析車輛懸掛與非懸掛質(zhì)量動(dòng)力學(xué)耦合機(jī)理，建立裝備被動(dòng)懸架的整車7自由度非線性模型，利用微分幾何方法對(duì)該非線性模型受到隨機(jī)路面激勵(lì)時(shí)的垂向振動(dòng)進(jìn)行解耦分析。經(jīng)過(guò)解耦的非線性系統(tǒng)成為獨(dú)立的互不干擾的線性子系統(tǒng)，懸架簧上質(zhì)量的振動(dòng)不受路面激勵(lì)的影響。進(jìn)行解耦前后仿真對(duì)比分析，結(jié)果表明：解耦后的車身垂向加速度、車身俯仰角和側(cè)傾角的振動(dòng)幅值和頻率大幅衰減，驗(yàn)證了解耦算法的有效性。

振動(dòng)與波；車輛；垂向振動(dòng)；微分幾何；解耦；仿真

雖然半主動(dòng)、主動(dòng)懸架具有優(yōu)越的性能，并且逐漸得到廣大汽車制造商的青睞，但由于半主動(dòng)懸架要求執(zhí)行機(jī)構(gòu)的時(shí)滯小，這對(duì)車輛懸架執(zhí)行機(jī)構(gòu)的制造提出了很高的要求；而對(duì)于主動(dòng)懸架的研究和開發(fā)才剛剛起步，制造成本高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、能量消耗大等諸多難題還有待進(jìn)一步解決[1]，所以國(guó)內(nèi)主流車輛目前仍然采用被動(dòng)懸架[2]。

車輛行駛時(shí)，隨機(jī)路面激勵(lì)引起車身垂向振動(dòng)，使得車輛簧上質(zhì)量振動(dòng)耦合了各個(gè)車輪引起的振動(dòng)，即汽車懸掛質(zhì)量和非懸掛質(zhì)量在垂直方向上產(chǎn)生耦合振動(dòng)[3]，不僅降低了車輛行駛平順性，對(duì)于駕乘者的舒適度影響也不容小覷。若將汽車看作成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，則根據(jù)振動(dòng)原理分析可知，懸掛質(zhì)量和非懸掛質(zhì)量分別構(gòu)成了一個(gè)垂直方向的彈性阻尼系統(tǒng)，當(dāng)?shù)孛孑斎氚l(fā)生變化時(shí)，兩系統(tǒng)之間必然產(chǎn)生相互耦合作用，這對(duì)于裝有被動(dòng)懸架的車輛更加明顯。解耦技術(shù)的廣泛應(yīng)用，對(duì)研究車輛運(yùn)動(dòng)、分析復(fù)雜的車輛模型、解決車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)的多干擾、非線性、滯后、不確定性以及強(qiáng)耦合等問(wèn)題具有深遠(yuǎn)的意義。

為了更好地研究車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)耦合機(jī)理并尋求恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q耦合問(wèn)題，學(xué)者們做了大量的工作。Chen用準(zhǔn)線性化方式保持縱向加速度和制動(dòng)力之間以及轉(zhuǎn)向角和車輛狀態(tài)之間的耦合效應(yīng)，建立3自由度非線性車輛模型，根據(jù)模型設(shè)計(jì)輸入輸出解耦控制器，解決車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)的耦合問(wèn)題[4]。陳無(wú)畏建立車輛橫向和垂向運(yùn)動(dòng)時(shí)的非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行解耦，以消除各控制通道耦合的影響以及路面不平度輸入的干擾[5]。Tan研究了安裝有輪轂電機(jī)（IWM）獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的電動(dòng)汽車，由于路面的振動(dòng)和輪轂電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩波動(dòng)雙重影響所導(dǎo)致的車輛振動(dòng)，建立11自由度電動(dòng)車行駛動(dòng)力學(xué)模型來(lái)研究磁力對(duì)車輛縱向和橫向耦合動(dòng)力學(xué)的影響[6]。Marino建立四輪轉(zhuǎn)向車輛運(yùn)動(dòng)模型，設(shè)計(jì)2階動(dòng)態(tài)解耦控制器，通過(guò)對(duì)比分析該解耦控制器應(yīng)用于不同單軌線性化車輛模型時(shí)反饋前后的橫擺角速度、縱向速度和側(cè)向加速度的變化，驗(yàn)證了其有效性[7]。Tsay提出了一種非線性解耦技術(shù)，設(shè)計(jì)并分析了一個(gè)嚴(yán)重耦合的氣動(dòng)導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)[8]。張海龍建立了4自由度半車懸架系統(tǒng)模型，定量地求得半車懸架系統(tǒng)前、后懸架系統(tǒng)之間存在的耦合力[9]。陳建國(guó)建立1/2車輛非線性模型，運(yùn)用微分幾何理論對(duì)建立的系統(tǒng)模型解耦，使懸掛質(zhì)量與非懸掛質(zhì)量之間的振動(dòng)相互獨(dú)立[2]。

以上文獻(xiàn)有的只是建立了簡(jiǎn)單的車輛模型來(lái)分析振動(dòng)耦合，與實(shí)際車輛的振動(dòng)耦合規(guī)律相差較遠(yuǎn)；有的雖然以比較高的自由度建立了車輛模型，但實(shí)際考慮的影響因素卻有限，所以最終車輛運(yùn)動(dòng)模型耦合分析也受到較大限制。

本文首先分析了車輛懸掛與非懸掛質(zhì)量動(dòng)力學(xué)耦合機(jī)理，為了更接近車輛運(yùn)動(dòng)實(shí)際工況，提高模型精度，建立了整車7自由度非線性模型，運(yùn)用微分幾何方法對(duì)車輛垂向振動(dòng)進(jìn)行解耦控制，使車輪所受隨機(jī)路面激勵(lì)與簧上質(zhì)量之間的振動(dòng)相互獨(dú)立，仿真對(duì)比解耦前后車身垂向、俯仰和側(cè)傾加速度，驗(yàn)證解耦的有效性。

1 整車行駛動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)實(shí)際研究目標(biāo)，建立整車7自由度行駛動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，做如下假設(shè)：

(1)整車車身質(zhì)心位置不隨車身質(zhì)量變化；

(2)隨機(jī)路面輸入作用下，車輛在系統(tǒng)平衡位置作小幅振動(dòng)；

(3)汽車?yán)@y軸的俯仰角、繞x軸的側(cè)傾角很小。

基于以上假設(shè)，建立被動(dòng)懸架車輛整車7自由度行駛動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖中ms為整車懸掛質(zhì)量，mωf1、mωf2、mωr1、mωr2分別為等效在4個(gè)車輪處的非懸掛質(zhì)量；Isx為懸掛質(zhì)量繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Isy為懸掛質(zhì)量繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；zs為車身質(zhì)心處的垂向位移，?為車身繞x軸的側(cè)傾角，θ為車身繞y軸的俯仰角，zsf1、zsf2、zsr1、zsr2分別為4個(gè)車輪上方懸掛質(zhì)量的垂直位移；zωf1、zωf2、zωr1、zωr2分別為4個(gè)車輪軸（車輪質(zhì)心）的垂直位移，Ksf1、Ksf2、Ksr1、Ksr2分別為4個(gè)懸架的剛度，Csf1、Csf2、Csr1、Csr2分別為4個(gè)懸架的阻尼系數(shù)；Kωf1、Kωf2、Kωr1、Kωr2分別為4個(gè)輪胎的剛度；qf1、qf2、qr1、qr2分別為4個(gè)車輪路面不平度的位移；a、b分別為車輛質(zhì)心至前、后軸距離；lr、ll分別為質(zhì)心至左、右側(cè)車輪的距離。

結(jié)合研究目標(biāo)，建立的車輛行駛動(dòng)力學(xué)整車模型包括7個(gè)自由度，即懸掛質(zhì)量的垂直、俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)及4個(gè)非懸掛質(zhì)量的垂向運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)側(cè)傾角和俯仰角在小角度范圍內(nèi)變化時(shí)，車輪上方4個(gè)懸掛質(zhì)量端點(diǎn)的位移分別為

車身質(zhì)心處的垂直運(yùn)動(dòng)方程為

車身俯仰運(yùn)動(dòng)方程為

車身的側(cè)傾運(yùn)動(dòng)方程為

非懸掛質(zhì)量垂向運(yùn)動(dòng)方程分別為

選取車身垂直位移、俯仰角、側(cè)傾角、4個(gè)非懸掛質(zhì)量垂直位移、車身垂直振動(dòng)速度、俯仰角速度、側(cè)傾角速度、4個(gè)非懸掛質(zhì)量垂直速度作為系統(tǒng)的狀態(tài)矢量，即

選擇懸掛質(zhì)量垂直位移、俯仰角、側(cè)傾角，車輛左前非懸掛質(zhì)量的垂直位移為系統(tǒng)的輸出變量，即

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

考慮車身垂向、俯仰和側(cè)傾振動(dòng)，在隨機(jī)路面激勵(lì)下得到車輛運(yùn)動(dòng)模型系統(tǒng)方程。為了減小車身垂直位移、俯仰角、側(cè)傾角，提高車輛行駛平順性和乘坐舒適性，同時(shí)減小車輛各個(gè)方向的振動(dòng)加速度，模型中綜合考慮了較多影響因素，運(yùn)用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法求解難度大，計(jì)算繁瑣。所以必須對(duì)模型解耦才能得到預(yù)期結(jié)果。對(duì)比各個(gè)解耦算法的特點(diǎn)與運(yùn)用[10–13]，結(jié)合線性系統(tǒng)理論相關(guān)知識(shí)[14]，本文利用微分幾何理論對(duì)建立的車輛系統(tǒng)狀態(tài)方程解耦。

2 微分幾何解耦控制方法

泰勒級(jí)數(shù)展開法在系統(tǒng)模型的線性化中得到廣泛應(yīng)用，但這種方法很容易忽略系統(tǒng)的高階非線性項(xiàng)，導(dǎo)致誤差增大。微分幾何法近年來(lái)逐漸成為研究非線性控制的主流方法，其突出優(yōu)點(diǎn)在于能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化，且可以將多變量系統(tǒng)解耦[16]，這種精確線性化方法不僅使模型線性化更加精確，而且更具有全局性，即不再局限于系統(tǒng)的部分非線性項(xiàng)。

2.1 微分幾何的基本理論

根據(jù)微分幾何理論[2，15]，把式(6)作為一般的MIMO非線性系統(tǒng)表達(dá)形式，其中狀態(tài)x是n維的，輸入u是m維的。

定義：如果以下條件(1)和條件(2)成立，則MIMO非線性系統(tǒng)表達(dá)式(6)在x0處具有關(guān)于輸入u的向量相對(duì)階

(1)對(duì)所有i,j=1,…m，k＜γi-1，在x0的領(lǐng)域內(nèi)的所有x都有

其中

在x0處非奇異。

命題1對(duì)于式(6)表示的非線性系統(tǒng)，如果在x0點(diǎn)具有相對(duì)階，即矩陣A(x)在x0處非奇異，那么系統(tǒng)輸入輸出解耦在x0附近可以通過(guò)一個(gè)靜態(tài)狀態(tài)反饋來(lái)解決，該反饋形式為

命題2 MIMO非線性系統(tǒng)表達(dá)式(6)在x0處具有關(guān)于輸入u的向量相對(duì)階，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有 0≤k≤γi-1，1≤i≤m成立，則存在式(12)的一個(gè)反饋，使得輸出y(t)獨(dú)立于干擾w(t)。

2.2 微分幾何解耦整車模型

針對(duì)式(6)，有m=4 ，則有

由上式可知，對(duì)應(yīng)于輸出zs的k等于1，，易知γ1=γ2=γ3=γ4=2。則系統(tǒng)的解耦矩陣為

顯然，A(X)非奇異，則可得其逆矩陣。

計(jì)算控制量u，由式(12)得

根據(jù)前邊計(jì)算可知

為了減小簧上質(zhì)量振動(dòng)的位移項(xiàng)（包括垂向位移、俯仰角及側(cè)傾角）和加速度項(xiàng)（包括垂向加速度、俯仰角加速度及側(cè)傾角加速度），令參考輸入為

將式(13)、式(14)、式(15)代入式(6)，可得

顯然，模型的簧上質(zhì)量振動(dòng)速度和加速度分別由v1、v2、v3、v4決定，而v1、v2、v3、v4都是文中擬定的參考輸入，與路面激勵(lì)無(wú)關(guān)。即v1、v2、v3、v4的取值直接決定了車輛簧上質(zhì)量垂直振動(dòng)、俯仰和側(cè)傾的加速度大小。同時(shí)簧下質(zhì)量的振動(dòng)也成為各自獨(dú)立的線性子系統(tǒng)，即通過(guò)微分幾何理論對(duì)系統(tǒng)模型實(shí)現(xiàn)了解耦控制。

根據(jù)本文研究的對(duì)象，只考慮車身的垂直位移、俯仰角、側(cè)傾角的變化，結(jié)合上述推導(dǎo)，則由式(15)、式(16)可得關(guān)于三者的線性2階系統(tǒng)表達(dá)式分別為

根據(jù)線性控制理論，結(jié)合得到的線性方程可知，只要2階系統(tǒng)的系數(shù)大于零，系統(tǒng)就能穩(wěn)定。為得到的2階線性系統(tǒng)表達(dá)式選擇適當(dāng)?shù)募訖?quán)系數(shù)，可以使車身垂向加速度、俯仰加速度和側(cè)傾加速度的振幅明顯衰減。通過(guò)仿真驗(yàn)證，定性地得到了解耦前和解耦后的振動(dòng)對(duì)比圖。

3 仿真分析

為驗(yàn)證以上解耦的有效性，在Matlab/simulink中對(duì)其進(jìn)行了仿真，并與解耦前仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。

仿真采用的數(shù)據(jù)如表1所示。

[16–17]，根據(jù)GB 7031《車輛振動(dòng)輸入——路面平度表示》規(guī)定[18]，選取行駛路面不平度8級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)中的B級(jí)路面作為參照，仿真車速取為60 km/h，根據(jù)車輛系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)理論[19]，代入路面水平位移與車速間的微分關(guān)系，把空間頻率函數(shù)換算為時(shí)間頻率函數(shù)[19]，可得路面不平度位移時(shí)域表達(dá)式如下

表1 仿真參數(shù)表

其中Gq(n0)為路面不平度系數(shù)，根據(jù)路面等級(jí)的不同取不同的值，B級(jí)路面時(shí)為6.4×10-5，nc=0.01(m-1)為路面空間下截止頻率；v為車速；n0為參考空間頻率，通常n0=0.1(m-1)；ω(t)為白噪聲。

在Matlab/simulink中建立左前輪隨機(jī)路面輸入模型，圖2是仿真得到的隨機(jī)路面激勵(lì)不平度曲線。

設(shè)定2階線性系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，首先參考線性控制理論知識(shí)：2階系統(tǒng)的系數(shù)大于零，系統(tǒng)就能穩(wěn)定，即kij≠0；再根據(jù)實(shí)際線性系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)振幅的影響，通過(guò)仿真軟件反復(fù)調(diào)適，最終得出一個(gè)比較理想的、能夠定性表達(dá)解耦前后振動(dòng)幅值變化的系數(shù)值。即：仿真時(shí)間為10s，仿真步長(zhǎng)為0.01 s，采用4階龍格庫(kù)塔算法解微分方程組。仿真結(jié)果如圖3至圖5所示。

顯然，解耦后的懸掛質(zhì)量垂向加速度、俯仰角加速度和側(cè)身側(cè)傾角加速度的振動(dòng)幅值和頻率都明顯減小，即整車系統(tǒng)耦合方程實(shí)現(xiàn)了線性化，達(dá)到了解耦的目的。理論上講，解耦后的懸掛質(zhì)量垂向加速度、俯仰角加速度和側(cè)傾角加速度都應(yīng)不再受路面激勵(lì)作用，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，解耦后設(shè)定2階線性系統(tǒng)的系數(shù)不為零，但與解耦前相比較其振幅都有較大衰減，這已充分說(shuō)明文中所采用的解耦算法的有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）針對(duì)目前研究大多忽略車輛4個(gè)輪胎受到的不同的路面隨機(jī)激勵(lì)的情況，考慮簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量所受力，以車身垂向加速度、車身俯仰角加速度和車身側(cè)傾角加速度為最終控制目標(biāo)，建立了裝備被動(dòng)懸架的整車7自由度模型。

（2）利用微分幾何法線性化整車在隨機(jī)路面輸入下垂向振動(dòng)模型，設(shè)計(jì)了解耦控制規(guī)律，解耦后的車輛簧上質(zhì)量振動(dòng)不受路面激勵(lì)影響。仿真結(jié)果表明解耦后車身懸掛質(zhì)量垂向、俯仰和側(cè)傾振動(dòng)加速度明顯減弱，從而提高了整車行駛平順性及乘坐舒適性，達(dá)到減振的目的。

(3)適當(dāng)選擇解耦后的2階線性系統(tǒng)的加權(quán)系數(shù)，獲得了解耦前后車身垂向、俯仰和側(cè)傾振動(dòng)加速度的仿真對(duì)比結(jié)果，驗(yàn)證了解耦控制方法的有效性。

圖2 路面不平度曲線

圖3 垂向加速度對(duì)比圖

圖4 俯仰加速度對(duì)比圖

圖5 側(cè)傾加速度對(duì)比圖

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Differential Geometry Decoupling Control of Vehicle’s Vertical Vibration under Random Road Excitations

DENG Tao,TAN Hai-xin,LI Zhi-fei,YU Hao-yuan
（School of Mechanotronics&Vehicle Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074,China）

The dynamic coupling mechanism between vehicle’s suspension mass and non-suspension mass is analyzed.The 7-DOF nonlinear model of vehicles with passive suspension is established.The vertical vibration of the nonlinear model under random road excitations is analyzed by means of the method of differential geometry.After the decoupling,the nonlinear system becomes several independent linear subsystems,and the vibration of the suspension spring mass is not affected by the excitations of road surface any more.The simulation results before and after decoupling are compared mutually.It is shown that after the decoupling,the amplitude and frequency of the vertical vibration,pitch vibration and roll vibration of the vehicle’s body are greatly attenuated.And the effectiveness of the decoupling algorithm is verified.

vibration and wave;vehicle;vertical vibration;differential geometry;decoupling;simulation

U463.33

A DOI編碼10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.001

1006-1355(2017)06-0001-06+11

2017-04-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51305473）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014M552317）；重慶市博士后研究人員科研特別資助項(xiàng)目（xm2014032）

鄧濤(1982-)，男，江西省新干縣人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡妱?dòng)汽車、智能汽車。E-mail:d82t722@cqjtu.edu.cn