一種基于雙界面函數(shù)的界面捕捉方法1)

李 康 劉 娜 何志偉 駱龍山 田保林2)

*(北京應用物理與計算數(shù)學研究所,北京100088)

?(中物院高性能數(shù)值模擬軟件中心,北京100088)

一種基于雙界面函數(shù)的界面捕捉方法1)

李 康*,?劉 娜*,?何志偉*駱龍山*,?田保林*2)

*(北京應用物理與計算數(shù)學研究所,北京100088)

?(中物院高性能數(shù)值模擬軟件中心,北京100088)

基于代數(shù)重構(gòu)思想,發(fā)展了一種新的雙界面函數(shù)重構(gòu)方法,并采用雙正弦函數(shù)構(gòu)造了雙正弦界面重構(gòu)方法(double sine interface capturing,DSINC).為驗證不同界面函數(shù)對界面捕捉效果的影響,用數(shù)值方法求解了可壓縮五方程模型,其中對流項的離散采用五階WENO(weighted essentially non-oscillatory method)格式,時間積分采用三階Runge--Kutta方法,通量計算分別考慮了HLL和HLLC方法,而狀態(tài)方程采用Mie-Grneisen狀態(tài)方程.在數(shù)值計算中,在界面附近,采用DSINC來獲得體積分數(shù)的重構(gòu),而在遠離界面的區(qū)域采用WENO格式來獲得高階插值狀態(tài).相比采用單界面函數(shù)的方法,如雙曲正切界面重構(gòu)方法(tangent of hyperbola for interface capturing,THINC),DSINC方法同樣具有界面重構(gòu)算法簡單,在程序中添加方便等特點,兩者區(qū)別在于,DSINC方法在重構(gòu)過程中未知函數(shù)更易于求解,而無需求解復雜的非線性超越方程,這就使其具有易于向多維擴展的能力.一些典型的兩相流動問題,如圓形水柱對流問題,兩相三波點問題和激波--界面不穩(wěn)定性問題等被用作不同界面函數(shù)對界面捕捉效果的影響對比.對比分析發(fā)現(xiàn),DSINC與THINC在界面捕捉效果上大致保持一致,并在計算中表現(xiàn)出了較好的穩(wěn)定性.雙界面函數(shù)重構(gòu)思想可以為多相流動界面的代數(shù)重構(gòu)提供了一種新的思路.

多相流動,界面捕捉,雙曲正切界面重構(gòu)方法,雙界面函數(shù)重構(gòu),雙正弦界面重構(gòu)方法

引言

界面分割不同流體的研究在許多科學和工程領(lǐng)域都有重要的應用價值,如超燃沖壓發(fā)動機、天體物理Rayleigh-Taylor(RT)不穩(wěn)定性和慣性約束核聚變等[1].在界面問題的數(shù)值模擬過程中,界面的演變問題受到格外的關(guān)注.如何更精確捕捉界面特征,降低數(shù)值方法帶來的界面耗散以及更真實反映流動特征,一直是當前界面研究中重點關(guān)注的問題.

從方法類型上來區(qū)分,界面捕捉方法有兩種,一是界面追蹤方法(interface tracking method,IT),另一個是界面捕捉方法(interface capturing method,IC).在界面追蹤方法中,界面位置可以顯式給出,如陣面追蹤方法 (front-tracking method)[2-5]和標記法 (marker method)[6-7].然而,界面追蹤方法雖可以有效地標識界面的位置,但在處理大變形界面和拓撲變化界面時存在困難.在界面捕捉方法中,界面位置通過隱式方法給出,如水平集方法(level-set method,LS)[8-9]和流體體積分數(shù)方法(volume-of- fl uid method,VOF)[10].LS方法通過引入一個帶符號的距離函數(shù)來確定界面位置,界面位于函數(shù)等于零處,所捕捉的界面十分陡峭,但其不足之處是不滿足離散守恒(體積守恒或質(zhì)量守恒).VOF方法采用體積分數(shù)來分辨界面的位置,該方法最大的優(yōu)點是可以保證體積守恒,但由于耗散性,界面的分辨率不高,即使采用高精度方法也無法完全去除界面耗散[11].Sussman等[12]結(jié)合LS和VOF方法的優(yōu)點,采用耦合的LS-VOF方法研究多相流動界面問題時,界面模擬的可信度明顯提高.So等[13]將反擴散 (anti-di ff usion)方法用于多相流的求解,通過引入反擴散項來降低界面的耗散,隨后將反擴散方法拓展至可壓縮多相流動的數(shù)值模擬中[14].這些數(shù)值模擬技術(shù)的提出在一定程度上能夠有效解決界面問題研究中的一些問題.

除上述數(shù)值模擬技術(shù)外,界面重構(gòu)技術(shù)在界面問題的研究中也占有重要地位.從構(gòu)造過程來看,界面重構(gòu)分為代數(shù)重構(gòu)和幾何重構(gòu).Youngs等[15]提出了分段線性界面重構(gòu)(piecewise linear interface calculation,PLIC)的方法,采用幾何重構(gòu)方法通過分段的線性函數(shù)來重構(gòu)界面.而近年來,代數(shù)重構(gòu)方法在獲得清晰界面方面同樣受到了廣泛關(guān)注.Xiao等[16-17]采用雙曲正切函數(shù)重構(gòu)界面,從而使得數(shù)值模擬中的界面更為陡峭,由于采用的雙曲正切重構(gòu)(tangent of hyperbola interface capturing,THINC)方法不同于 PLIC幾何重構(gòu)方法[15]的復雜過程,THINC過程簡單,在程序中添加方便.從構(gòu)造思路來看,THINC方法的主要針對一維問題,在處理實際的多維問題時需要采用分裂方法或者多次積分的方法.Li等[18]考慮到采用分裂的方法將一維THINC方法拓展至多維情況可能會降低界面模擬的可信度,將THINC方法通過多次積分的方法拓展至多維情況.針對其中的雙曲正切函數(shù)多次積分的困難問題,其采用了高斯積分克服了困難.考慮不同的界面函數(shù)會對界面捕捉效果產(chǎn)生不同的影響,Cassidy等[19]分別采用分段的直線、正弦函數(shù)作為界面函數(shù)來構(gòu)造界面得到分段線性界面方法(piecewise linear interface capturing,PLINC)、分段正弦界面方法(piecewise sine interface capturing,PSINC),結(jié)果表明：不同的界面函數(shù)(線性或正弦)均可以獲得較為陡峭的界面,但針對不同的問題時略有差異.對以上代數(shù)界面重構(gòu)方法的對比發(fā)現(xiàn),這些方法均采用單界面函數(shù)來重構(gòu)界面,因此本文中稱之為單界面函數(shù)代數(shù)重構(gòu)方法.

對于單界面函數(shù)重構(gòu)方法來說,為了保證單元體內(nèi)的質(zhì)量守恒,即使界面重構(gòu)函數(shù)較為簡單,在實際構(gòu)造過程中由于需要對界面函數(shù)進行守恒積分,單界面函數(shù)在守恒積分時的求解過程也甚為復雜.為了進一步研究界面重構(gòu)函數(shù)對數(shù)值模擬結(jié)果的差異以及進一步評估多維界面重構(gòu)時的簡易方法,本文提出一種基于雙界面函數(shù)的重構(gòu)方法,并采用雙界面重構(gòu)思想構(gòu)造了雙正弦界面重構(gòu)方法,對比了不同類型界面重構(gòu)函數(shù)對數(shù)值結(jié)果的影響差別.本文的組織結(jié)構(gòu)如下.第1部分介紹所采用的數(shù)值方法.第2部分詳細給出雙界面重構(gòu)的思想和雙正弦界面函數(shù)構(gòu)造方法.數(shù)值計算結(jié)果在第3部分給出.第4部分介紹研究結(jié)論.

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程：可壓縮多相流五方程模型

對于不可溶、無黏的可壓縮兩相流動來說,流動過程可用五方程來描述

式中,ρ為混合密度,ρi為第i相的密度,u=(u,v)為流動速度,p為壓力,E為總能,αi為第i相的體積分數(shù).五方程模型除了包含質(zhì)量、動量和能量三大守恒方程外,還包括組分質(zhì)量守恒和體積分數(shù)演化方程.界面重構(gòu)后,通過對流場中的密度和總能做相應的修正,保證在界面處的質(zhì)量、動量和能量守恒[11].對流項的數(shù)值離散采用常用的五階WENO格式和HLL或HLLC方法求解[20-21].

在等壓假設(shè)下,方程(2)可以導出

在式 (2)和式 (3)中,ek為分相k的內(nèi)能,Γk(ρk)=(1/ρk)(?pk/?ek)|ρk,p∞,k和e∞,k定義壓力和內(nèi)能的參考狀態(tài).

1.2 原始的THINC界面重構(gòu)方法

以一維情況為例,先介紹THINC的構(gòu)造思想[16],然后以此為基礎(chǔ),進一步介紹采用雙界面函數(shù)的界面重構(gòu)方法的構(gòu)造思想.設(shè)為t時刻單元體i的平均體積分數(shù),αi(x,t)為t時刻體積分數(shù)在單元體i中的分布.因此,對于單元體i來說,即x∈ [xi?1/2,xi+1/2],有

式中,?xi=xi+1/2?xi?1/2為單元體的網(wǎng)格尺寸.根據(jù)體積分數(shù)的定義,有

在實際計算中,需要定義界面單元,這時體積分數(shù)的取值范圍滿足

式中,ε為一個小量,可取為10?3.條件(a)定義了界面處體積分數(shù)的取值區(qū)間,條件(b)定義了界面的單調(diào)性.

在界面處體積分數(shù)從0變化到1,THINC方法選用雙曲正切函數(shù)來模擬界面的變化趨勢,如圖1所示.對于固定的時間t和空間單元x∈[xi?1/2,xi+1/2],有從0到1的曲線

圖1 雙曲函數(shù)的變化規(guī)律Fig.1 Hyperbolic tangent function with x

求解方程(8)可得

于是可知,包括體積分數(shù)重構(gòu)在內(nèi),任何物理量的重構(gòu)過程如下

式中

2 基于雙界面函數(shù)的界面重構(gòu)方法

由上述可知,THINC方法的構(gòu)造過程保證了重構(gòu)后體積分數(shù)的守恒性,但一次積分后雙曲正切函數(shù)變得較為復雜.本文的研究在考察不同界面函數(shù)對界面重構(gòu)效果的同時,也提供一種向多維擴展的可能性.與單界面函數(shù)不同,雙界面函數(shù)在一個子網(wǎng)格內(nèi)采用兩個函數(shù)來重構(gòu)界面.對于雙界面重構(gòu)方法,多種界面函數(shù)可供選擇,本文以雙正弦界面函數(shù)的界面重構(gòu)方法DSINC為例來詳細介紹雙界面函數(shù)的構(gòu)造過程.如圖2所示,DSINC方法采用兩條連續(xù)的正弦函數(shù)來重構(gòu)界面,兩個函數(shù)可以存在一階間斷,間斷點位于單元體的中心.圖2中,HL(x)定義為左正弦函數(shù),HR(x)定義為右正弦函數(shù),Cj為一階間斷點.下面給出界面重構(gòu)后左右狀態(tài)的推導過程.

圖2 DSINC界面重構(gòu)示意圖Fig.2 The illustration of interface functions used by DSINC

由于HL(x)和HR(x)連結(jié)了0和1,易知其函數(shù)形式為

若設(shè)定i為單元體的中心索引,在保證界面函數(shù)連續(xù)的情況下,對于上升界面,即當時,則

重構(gòu)后的界面需保證體積分數(shù)守恒,即有

將方程(12)和方程(13)代入方程(14)可以求得連結(jié)點Ci的位置.經(jīng)求解可得,上升界面(σi>0)與下降界面(σi<0)具有相同的積分結(jié)果

于是可知,采用DSINC方法重構(gòu)界面后,左右狀態(tài)分別為：

當σi>0時,有

需要指出的是,由Cj的意義可知,0

此時,界面重構(gòu)后的左右狀態(tài)分別為

此時,界面重構(gòu)后的左右狀態(tài)分別為

此時,界面重構(gòu)后的左右狀態(tài)分別為

此時,界面重構(gòu)后的左右狀態(tài)分別為

基于以上重構(gòu)思想,同樣可以得到雙線性界面重構(gòu)方法 (double linear interface capturing,DLINC).對于單界面函數(shù)重構(gòu)方法和雙界面函數(shù)重構(gòu)方法,圖 3給出了單界面函數(shù)以及雙界面函數(shù)在不同單元體中心體積分數(shù)值時的分布規(guī)律,其中ξ=(x?xi?1/2)/(xi+1/2?xi?1/2),而αcell為計算所得單元體中心值.對于THINC方法來說,反映界面斜率的參數(shù)β取2.3.從界面函數(shù)的分布規(guī)律來看,PSINC方法的界面最為陡峭,PLINC次之,THINC最為平緩,而DSINC的界面函數(shù)平緩度位于PLINC和THINC之間,界面函數(shù)的特性在一定程度上決定了界面捕捉的效果.

圖3 界面重構(gòu)后界面函數(shù)α隨空間位置的變化Fig.3 The distribution of interface function in a cell under di ff erent cell value

方法測試的數(shù)值計算基于作者所在課題組開發(fā)的可壓縮流體有限差分程序(code of fi nite di ff erence forcompressible fl uiddynamics,CFD2)開展.CFD2程序包含多種高階方法,如WENO,MP和MUSCL等,通量的求解可選用Steger-Warming(SW),Lax-Friedrichs(LF)或者HLL黎曼求解器.考慮到本文所研究的主要內(nèi)容為數(shù)值方法的對比,選用五階WENO方法來求解左、右特征狀態(tài),用HLL方法來求解通量.在界面方法的驗證中,在界面位置,WENO方法用THINC或DSINC方法來代替,流場中其他位置的求解保持不變.

3 數(shù)值結(jié)果與分析

3.1 圓形水柱對流問題

為了研究所構(gòu)造的界面方法對界面的捕捉效果,首先模擬了典型的圓形水柱的對流問題.計算區(qū)域(x,y)∈[0,2]m×[0,2]m,圓形水柱的初始位置為(0.5,0.5)m,水柱的半徑R為0.25m,對流速度設(shè)為常數(shù)(ux,uy)=(100,100)m/s.此問題中,水的密度為ρ1=1000kg/m3,周圍空氣的密度為ρ2=1kg/m3.對于狀態(tài)方程,參數(shù)選取為：對于水相,γ1=4.4,c01=1624.8m/s,ρ01=1000kg/m3；對于氣相,γ2=1.4,c02=0,ρ02=1kg/m3.邊界條件設(shè)為周期邊界.在計算中,x,y方向的網(wǎng)格數(shù)均為100,計算CFL數(shù)取為0.2.

圖4～圖6分別給出了計算300時間步后無界面重構(gòu)方法、THINC方法和DSINC方法所得水柱界面體積分數(shù)分布.在不采用界面重構(gòu)方法時,界面隨著計算時間的延長而逐漸變寬,即使采用高階格式,界面依然在逐漸耗散,如圖4所示.對于THINC格式來說,無論是低階還是高階格式,界面均可以保持一種銳利(sharp)的效果.圖6所給出的DSINC的計算結(jié)果,在低階時,界面可以保持銳利,而高階時界面捕捉效果更好.

圖4 無界面重構(gòu)時圓柱對流數(shù)值模擬結(jié)果Fig.4 Numerical results of water column problems without interface reconstruction

圖5 THINC界面重構(gòu)下圓柱對流數(shù)值模擬結(jié)果Fig.5 Numerical results of water column problems with THINC

圖6 DSINC界面重構(gòu)下界面重構(gòu)數(shù)值結(jié)果Fig.6 Numerical results of water column problems with DSINC

3.2 兩相三波點問題

兩相三波點問題的計算區(qū)域為(x,y)∈[0,7]×[0,3],計算網(wǎng)格數(shù)為210×90,其他計算參數(shù)依照文獻[11]來設(shè)置.圖7給出了一階精度下流場中的密度和體積分數(shù)分布.結(jié)果顯示,在無界面重構(gòu)方法時,流場中密度和體積分數(shù)分布逐漸變寬,以至于界面變得十分模糊.在采用界面重構(gòu)方法時,對于體積分數(shù)來說,DSINC和THINC方法均能獲得較為清晰的界面.同時,對比密度和體積分數(shù)的分布表明,體積分數(shù)的耗散來源于非守恒方程,而密度的耗散來自于連續(xù)方程,即使計算中采用體積分數(shù)去修正了流場中的狀態(tài)分布,密度的耗散依然十分嚴重.在高階格式下,所得密度和體積分數(shù)分布如圖8(a)和圖8(b)所示.而對于體積分數(shù)分布來說,采用高階格式可以獲得較為清晰的界面,但界面依然在逐漸耗散.這一結(jié)論與圓形水柱對流的計算結(jié)果較為一致.HLL通量方法本身具有一定的耗散性,為了分析這種特性,圖8(c)和圖8(d)給出了采用HLLC方法模擬三波點問題的數(shù)值結(jié)果.結(jié)果顯示,對于所模擬的問題來說,結(jié)果僅在半圓形的界面處存在有限的改善.這表明,在兩相流問題的數(shù)值模擬中,獲得清晰的界面捕捉效果仍需對界面采用界面捕捉格式進行處理.

采用五階精度數(shù)值格式和THINC/DSINC界面方法來模擬的兩相三波點問題如圖9所示.在高階格式下,對比圖7發(fā)現(xiàn),采用DSINC和THINC依然均可以使得界面保持銳利的捕捉效果.進一步分析發(fā)現(xiàn),相比THINC方法,DSINC方法略帶耗散.Xiao等[16]分析了界面函數(shù)變化趨勢以及在界面函數(shù)下所產(chǎn)生的耗散性,依據(jù)其分析結(jié)果可知,DSINC所產(chǎn)生的略大的界面耗散性是由界面函數(shù)的特點所引起.

圖7 一階精度下兩相三波點問題密度和體積分數(shù)分布Fig.7 Density and volume fraction distributions for two-phase triple point problems using 1st order scheme

圖8 兩相三波問題五階精度下采用HLL和HLLC所得密度和體積分數(shù)分布的對比((a)和(b)采用HLL格式計算,(c)和(d)采用HLLC格式計算)Fig.8 Density and volume fraction distributions using 5th WENO+HLL/HLLC methods(HLL is used in(a)and(b),HLLC is used in(c)and(d))

圖8 兩相三波問題五階精度下采用HLL和HLLC所得密度和體積分數(shù)分布的對比((a)和(b)采用HLL格式計算,(c)和(d)采用HLLC格式計算)(續(xù))Fig.8 Density and volume fraction distributions using 5th WENO+HLL/HLLC methods(HLL is used in(a)and(b),HLLC is used in(c)and(d))(continued)

圖9 五階精度下兩相三波問題DSINC和THINC所得密度和體積分數(shù)分布的對比((a)和(b)采用HLL格式計算,(c)和(d)采用HLLC格式計算)Fig.9 Density and volume fraction distributions using 5th WENO and DSINC/THINC methods(HLL is used in(a)and(b),HLLC is used in(c)and(d))

3.3 激波與氣泡相互作用問題

激波界面相互作用問題是兩相流數(shù)值模擬中另一個典型的問題[22],其中激波氣泡相互作用問題經(jīng)常用作數(shù)值驗證和實驗對比分析[23-24].在本文的數(shù)值模擬中,氣泡內(nèi)的氣體為R22,周圍為空氣.在初始時刻,馬赫數(shù)為1.22的左行激波位于x=275mm處,而氣泡的半徑R=25mm,位于(x,y)=(225,44.5)mm之處.R22氣體采用理想氣體模型：γ1=1.249,ρ01=3.863kg/m3；空氣的相應參數(shù)為：γ2=1.4,ρ02=1.225kg/m3.在氣泡內(nèi),流場初始變量設(shè)為

激波后區(qū)域

其他區(qū)域

在此問題的模擬中,計算區(qū)域的大小為(x,y)∈[0,445]×[0,89]mm,計算網(wǎng)格數(shù)為1780×178.數(shù)值模擬結(jié)果如圖10所示.計算中除所采用的界面方法不同外,其他條件均相同.從圖中可以看出,對于相同的時間(t=0.3ms)的計算結(jié)果,DSINC和THINC方法所得結(jié)果略有差異.從計算結(jié)果來看,較長時間的數(shù)值模擬之后,密度所表示的界面依然可以清晰分辨出來,兩種方法所計算的體積分數(shù)等值線較為相似,界面較為清晰.由此可知,對于本文所構(gòu)造的雙正弦界面重構(gòu)方法來說,可以獲得與THINC相當?shù)挠嬎阈Ч?

圖10 采用DSINC和THINC界面方法所得密度、體積分數(shù)和壓力等值線圖對比Fig.10 Density,volume fraction and pressure distributions using DSINC and THINC interface methods

圖10 采用DSINC和THINC界面方法所得密度、體積分數(shù)和壓力等值線圖對比(續(xù))Fig.10 Density,volume fraction and pressure distributions using DSINC and THINC interface methods(continued)

4 結(jié)論

本文的研究發(fā)展了一種新的雙界面函數(shù)重構(gòu)方法,并基于此思想采用雙正弦函數(shù)構(gòu)造了雙正弦界面重構(gòu)方法DSINC.隨后在數(shù)值方法的驗證中,采用作者所在課題組發(fā)展的CFD2程序,分別對比了一階、五階精度數(shù)值模擬中無界面重構(gòu)、DSINC界面重構(gòu)和THINC界面重構(gòu)計算結(jié)果的不同.從圓柱對流問題、兩相三波點問題和激波與界面相互作用問題的對比發(fā)現(xiàn),DSINC與THINC出現(xiàn)了基本一致的界面重構(gòu)效果.另外,雙界面函數(shù)重構(gòu)時,由于函數(shù)的易于積分的特性,左、右特征變量并沒有出現(xiàn)復雜的表達式,這一特點使其更易于向多維擴展.

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22 蔣華,董剛,陳霄.小擾動界面形態(tài)對RM不穩(wěn)定性影響的數(shù)值分析.力學學報,2014,46(4):544-552(Jiang Hua,Dong Gang,Chen Xiao.Numerical study on the e ff ects of small-amplitude initial perturbations on RM instability.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2014,46(4):544-552(in Chinese))

23 王革,關(guān)奔.激波作用下R22氣泡射流現(xiàn)象研究.力學學報,2013,45(5):707-715(Wang Ge,Guan Ben.A study on jet phenomenon of R22 gas cylinder under the impact of shock wave.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2013,45(5):707-715(in Chinese))

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A NEW INTERFACE CAPTURING METHOD BASED ON DOUBLE INTERFACE FUNCTIONS1)

Li Kang*,?Liu Na*,?He Zhiwei*Luo Longshan*,?Tian Baolin*,2)
*(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing100088,China)
?(CAEP Software Center for High Performance Numerical Simulation,Beijing100088,China)

Wedescribeanoveldouble-interface-function(DIF)reconstructionmethodforefficientnumericalresolutionof a compressible two-phase fl ow.Based on the new method,double sine interface capturing scheme(DSINC)is obtained.Five-equation model is solved to analyze the e ff ect of di ff erent interface functions such as DIF and Single Interface function(SIF)on the interfaces captured numerically.Near the interfaces,the algorithm uses the DIF or SIF as a basis for the reconstruction of a sub-grid discontinuity of volume fractions.In regions away from the interfaces,WENO is used to reconstruct the convective term,and time integration of the algorithm is done by employing the TVD Runge-Kutta method.Comparing with tangent of hyperbola for interface capturing(THINC)using SIF method,the left and right states reconstructed by DSINC is simpler and we need not solve a transcendental equation.Numerical results are shown with the Mie-Grneisen equation of state(EOS)for sample problems such as discontinuous advection,two-phase triple problem and shock-bubble interaction problem with THINC and DSINC.It can be found that DSINC is able to get as efficient resolution interface as THINC and shows to be more stable in the simulation.

multi-phase fl ow,interface capturing,THINC,double interface functions reconstruction,DSINC

O359+.1

A doi：10.6052/0459-1879-17-210

2017–09–04 收稿，2017–09–12 錄用,2017–09–13 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學基金資助項目(11472059,U1630247,1730111).

2)田保林,研究員,主要研究方向:計算流體力學數(shù)值方法.E-mail：tian_baolin@iapcm.ac.cn

李康,劉娜,何志偉,駱龍山,田保林.一種基于雙界面函數(shù)的界面捕捉方法.力學學報,2017,49(6):1290-1300

Li Kang,Liu Na,He Zhiwei,Luo Longshan,Tian Baolin.A new interface capturing method based on double interface functions.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1290-1300