一類企業(yè)競爭模型的動力學(xué)分析

勞紅月，葛立茜，張茂云，孫 夢，陳子晗，李 鋒

（臨沂大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 臨沂 276005）

一類企業(yè)競爭模型的動力學(xué)分析

勞紅月，葛立茜，張茂云，孫 夢，陳子晗，李 鋒

（臨沂大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 臨沂 276005）

建立了具有產(chǎn)出水平下臨界點(diǎn)的企業(yè)競爭型模型，研究了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了研究結(jié)果，最后給出了模型的理論解釋。

競爭模型；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性

1 研究背景

經(jīng)過20多年的飛速發(fā)展，中國經(jīng)濟(jì)逐漸進(jìn)入調(diào)整階段，市場競爭激烈而又紊亂。在市場經(jīng)濟(jì)條件下，各類企業(yè)為取得較好的產(chǎn)銷條件、獲得更多的市場資源而不斷競爭，從原來簡單的規(guī)模、實(shí)力、活力競爭逐階上升到核心力的競爭。通過競爭，既實(shí)現(xiàn)了企業(yè)的優(yōu)勝劣汰，又實(shí)現(xiàn)了生產(chǎn)要素的優(yōu)化配置，提高了國家的核心競爭力。在競爭性市場條件下，各個企業(yè)除了通過培育自身資源和能力，還通過競爭獲取外部可利用資源，在為顧客創(chuàng)造價值的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)自身價值的綜合性能力。在競爭性的市場中，一個企業(yè)所具有的能夠比其他企業(yè)更有效地向市場提供產(chǎn)品和服務(wù)并獲得贏利和自身發(fā)展的綜合素質(zhì)的能力，是現(xiàn)代企業(yè)成功的關(guān)鍵。

眾所周知，生物體研究的本質(zhì)與經(jīng)濟(jì)社會企業(yè)研究的本質(zhì)具有相似性。特別地，企業(yè)間的競爭與合作關(guān)系與生物物種種群間的關(guān)系更有諸多類似之處，利用生態(tài)模型研究企業(yè)間的競爭關(guān)系已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]提出具有下臨界的企業(yè)競爭模型，并以2個企業(yè)之間的競爭為例，運(yùn)用微分方程定性知識以及數(shù)值仿真，對該模型所表達(dá)出來的幾種企業(yè)競爭情況及其穩(wěn)定條件進(jìn)行了系統(tǒng)分析。文獻(xiàn)[2]引入生物物種的Lotka-Volterra（LV）種間競爭模型，建立了單一電子商務(wù)平臺企業(yè)、雙電子商務(wù)平臺企業(yè)及多個電子商務(wù)平臺企業(yè)的LV競爭模型。

文獻(xiàn)[3]中指出：自然界中有一條“正反饋循環(huán)”規(guī)律，即一件事情的發(fā)生、發(fā)展受到了另一件事情的刺激，從而促進(jìn)了其正向發(fā)展。比爾·蓋茨在《未來之路》中也提出了類似的“正螺旋效應(yīng)”，這都與生態(tài)系統(tǒng)中種群競爭的一種模型具有相似性，即“好的越好，而糟的越糟”，導(dǎo)致“贏家通吃”。目前，企業(yè)之間也存在這種正反饋效應(yīng)，導(dǎo)致諸多中小企業(yè)在競爭中處于劣勢地位，在與大企業(yè)相互競爭過程中被兼并或者破產(chǎn)。然而，2個實(shí)力相當(dāng)?shù)钠髽I(yè)在競爭過程中其企業(yè)實(shí)力又是如何變化的呢？

已有不少學(xué)者將LV模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題的研究中，但大部分都只是研究宏觀問題，對于微觀問題的研究很少涉及。文獻(xiàn)[4]根據(jù)企業(yè)集群與生物種群的相似性，建立了網(wǎng)狀型企業(yè)集群模式下企業(yè)間競爭關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

本文主要考慮2個企業(yè)間的競爭，用x, y表示企業(yè)的產(chǎn)出水平，其為時間t的函數(shù)； a, b為競爭系數(shù)；N表示最大市場容納量。這里假設(shè)2個企業(yè)實(shí)力相當(dāng)，且內(nèi)稟增長率相同，2個企業(yè)的最大容納量也相同。考慮到實(shí)際情形，引入企業(yè)產(chǎn)出水平的下臨界點(diǎn)L，表示企業(yè)產(chǎn)出水平的最低限度。在企業(yè)產(chǎn)出水平低于此限度時，企業(yè)生產(chǎn)成本將高于收益，因虧損而導(dǎo)致企業(yè)破產(chǎn)。這比現(xiàn)有文獻(xiàn)所建立的企業(yè)競爭生態(tài)模型更符合現(xiàn)實(shí)。

下面引入LV模型來描述這種競爭關(guān)系。假設(shè)有其他企業(yè)競爭的條件下，當(dāng)一個企業(yè)規(guī)模超越另一個企業(yè)時，會對另一個企業(yè)的發(fā)展起到反作用。綜上所述，在LV種間競爭模型改進(jìn)和擴(kuò)展的基礎(chǔ)上建立如下企業(yè)競爭系統(tǒng)：

式中r為企業(yè)自身增長率。

下面主要利用微分方程定性理論[5]，并借助Maple軟件，研究系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)及其分類，進(jìn)而得到系統(tǒng)存在多穩(wěn)的條件。

2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)分析

通過對上述9個平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，可得定理1。

系統(tǒng)（1）有9個平衡點(diǎn)O(0, 0)，A1(L, 0)，A2(0, L)，A3(N, 0)，A4(0, N)，A5(x1, x1)，A6(x2, x2)，A7(x3, y3)，A8(y3, x3)；

定理1證明從略。

通過詳細(xì)計(jì)算可得定理2～5。

定理2 O(0, 0)是系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

證明 系統(tǒng)在O(0, 0)的線性化矩陣為

因此系統(tǒng)有二重特征根，從而O(0, 0)是系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

定理3 A1(L, 0)，A2(0, L )是系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。

證明 系統(tǒng)在A1(L, 0)，A2(0, L)的線性化矩陣分別為

從而系統(tǒng)有2個異號的特征根，A1(L, 0)，A2(0, L)是系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。

定理4 A3(N, 0)，A4(0, N)是系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

證明 系統(tǒng)在A3(N, 0)，A4(0, N)的線性化矩陣分別為

從而系統(tǒng)有2個負(fù)的特征根，A3(N, 0)，A4(0, N)是系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

定理5 A7(x3, y3)，A8(y3, x3)是系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。

證明 對于奇點(diǎn)A7(x3, y3)，A8(y3, x3)，通過復(fù)雜的運(yùn)算可得

從而系統(tǒng)有2個異號的特征根，A7(x3, y3)，A8(y3,x3)是系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。

對于奇點(diǎn)A5(x1, x1)，A6(x2, x2)，通過復(fù)雜的運(yùn)算可得

由于討論過程復(fù)雜，不對A5(x1, x1)，A6(x2, x2)平衡點(diǎn)的類型進(jìn)行詳細(xì)討論，而通過數(shù)值模擬研究其多穩(wěn)現(xiàn)象。

3 數(shù)值模擬

因此，當(dāng)r＞3.934 9時，系統(tǒng)有9個平衡點(diǎn)。例如當(dāng)r = 4時，9個平衡點(diǎn)為(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0, 1)，(1, 0)，(0.625, 0.625)，(0.8, 0.8)，(0.760 483, 0.826 419)，(0.826 419, 0.760 483)。

經(jīng)過分析可以得知，點(diǎn)(0.625, 0.625)是不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，點(diǎn)(0.8, 0.8)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，這兩點(diǎn)鄰域的結(jié)構(gòu)分別如圖1和圖2所示；系統(tǒng)在第一象限的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖1 (0.625, 0.625)鄰域軌線Fig. 1 Trajectory in the neighborhood of (0.625, 0.625)

圖2 (0.8, 0.8)鄰域軌線Fig. 2 Trajectory in the neighborhood of (0.8, 0.8)

圖3 系統(tǒng)第一象限相圖Fig. 3 Phase diagram of the fi rst quadrant of the system

利用Maple軟件，分析系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)后，可得系統(tǒng)的poincare圓盤如圖4所示。

圖4 r=4時系統(tǒng)的poincare圓盤Fig. 4 Poincare disc of the system when r=4

所以系統(tǒng)在第一象限不存在周期解。

當(dāng)3.497 06＜r＜3.934 90時，系統(tǒng)有7個平衡點(diǎn)。例如當(dāng)r=3.9時，7個平衡點(diǎn)為：(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0, 1)，(1, 0)，(0.640 901, 0.640 901)，(0.780 151, 0.780 151)。

利用Maple軟件，分析系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)后，可得系統(tǒng)的poincare圓盤如圖5所示。

圖5 r=3.9時系統(tǒng)的poincare圓盤Fig. 5 Poincare disc of the system when r=3.9

當(dāng)r＜3.497 06時，系統(tǒng)有5個平衡點(diǎn)。例如當(dāng)r=3.4時，5個平衡點(diǎn)為：(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0,1)，(1, 0)。

利用Maple程序，分析系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)后，可得系統(tǒng)的poincare圓盤如圖6所示。

圖6 r=3.4時系統(tǒng)的poincare圓盤Fig. 6 Poincare disc of the system when r=3.4

4 結(jié)論分析

本文建立了具有產(chǎn)出水平下臨界點(diǎn)的企業(yè)競爭型模型，以兩個企業(yè)之間的競爭為例分析得到了2個企業(yè)競爭時可能出現(xiàn)的幾種情況及穩(wěn)定條件：

穩(wěn)定點(diǎn)的正平衡點(diǎn)是2個企業(yè)能夠穩(wěn)定共存的條件，也就是模型的穩(wěn)定條件。通過數(shù)值模擬，能夠得到2個企業(yè)可以穩(wěn)定共存的條件。

[1] 張 睿，錢省三，高 臻. 基于生態(tài)學(xué)理論的企業(yè)競爭模型[J]. 系統(tǒng)工程，2008：26(2)：116-119.ZHANG Rui，QIAN Xingsan，GAO Zhen. A Competitive Model of Enterprises Based on Ecology Theory[J]. Systems Engineering，2008：26(2)：116-119.

[2] 葉瓊偉，強(qiáng) 欣，宋光興. 電子商務(wù)平臺間LV競爭模型研究及其解釋[J]. 商業(yè)研究，2014(6)：37-41.YE Qiongwei，QIANG Xin，SONG Guangxing.Research on LV Competition Model Between E-Commerce Platforms and Their Interpretation[J].Commercial Research，2014(6)：37-41.

[3] 周 星，克居正. 男生追女生的數(shù)學(xué)模型[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42(12)：1-8.ZHOU Xing，KE Juzheng. The Boy-After-Girl Mathematical Model[J]. Mathematics in Practice and Theory，2012，42(12)：1-8.

[4] 劉 萍，李永昆. 具脈沖效應(yīng)和反饋控制的企業(yè)集群競爭模型的持久性分析[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28(2)：1-5.LIU Ping，LI Yongkun. Analysis of Permanence of Impulsive Type Competitive Model of Enterprise Cluster with Feedback Control[J]. Journal of Quantitative Economics，2011，28(2)： 1-5.

[5] 丁同仁，李承志. 常微分方程教程[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2005：21-25.DING Tongren，LI Chengzhi. An Ordinary Differential Equation Course[M]. 2nd ed. Beijing：Higher Education Press，2005：21-25.

A Dynamical Analysis of a Competitive Model of Enterprises

LAO Hongyue，GE Liqian，ZHANG Maoyun，SUN Meng，CHEN Zihan，LI Feng
（School of Mathematics and Statistics，Linyi University，Linyi Shandong 276005，China）

A competitive model has been established of enterprises with a low critical point of production,followed by a study on theexistence and stability of the critical points of this system. Furthermore, a numerical simulation test has been carried out to testify the fi nal results, thus providing a theoretical explanation for the validity of this model.

competition model；critical point；stability

F207

A

1673-9833(2017)05-0083-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.05.014

2017-05-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11601212）。

勞紅月（1996-），女，山東濱州人，臨沂大學(xué)學(xué)生，主要研究方向?yàn)槌Ｎ⒎址匠蹋珽-mail：1625169290@qq.com

李 鋒（1981-），男，山東臨沂人，臨沂大學(xué)教授，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)方面的研究，E-mail：lf0539@126.com

（責(zé)任編輯：鄧光輝）