二面角求解的七種方法

河北 陳寶友

二面角求解的七種方法

河北 陳寶友

立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考命題的熱點(diǎn)，在每年全國(guó)各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn). 而這類問題又是很多學(xué)生感到困惑的，表現(xiàn)為求解困難，失分較為嚴(yán)重.究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時(shí)存在計(jì)算障礙.常見基本題型包括：(1)求二面角的大小；(2)已知二面角的大小，求其它量；(3)求二面角的取值范圍.其實(shí)求二面角的方法很多，本文討論七種二面角的求解方法.

一、定義法求二面角

我們知道，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角.

本定義實(shí)際上為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律，通過添加必要的輔助線，形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理即可方便的解題. 定義法做二面角的平面角，要注意題設(shè)的特殊性，合理選擇棱上的點(diǎn)，且過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是平面角.

【例1】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四邊形ABCD為梯形，AD∥BC,且AD=2BC.過A1,C,D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q.

(Ⅰ)證明：Q為BB1的中點(diǎn)；

(Ⅱ)若A1A=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角大小.

【解析】本題以直四棱柱為背景，考查考生的空間意識(shí)、運(yùn)算和推演能力，考查空間整合思想的運(yùn)用.

(Ⅰ)因?yàn)锽Q∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ=B，

AD∩AA1=A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

從而平面A1QCD與這兩個(gè)平面的交線相互平行，

即QC∥A1D.

故△QBC與△A1AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行，

于是這兩個(gè)三角形相似，

即Q為BB1的中點(diǎn).

(Ⅱ)如圖所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E，

故∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

因?yàn)锽C∥AD，AD=2BC，

所以S△ADC=2S△BCA.

又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6，DC=2，

所以S△ADC=4，AE=4.

二、三垂線法求二面角

對(duì)于三垂線定理的內(nèi)容我們非常清楚：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小，三垂線定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律.

【例2】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PB∥平面AEC；

(Ⅱ)求二面角E-AC-B的大?。?/p>

【解析】本題考查三垂線定理及直線與平面平行的判定．

(Ⅰ)欲證PB∥平面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只需證PB與平面AEC內(nèi)任一直線平行即可，

由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，

又AB⊥AC，

所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB.

連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，

則EO是△PDB的中位線，

所以EO∥PB,所以PB∥平面AEC.

(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)O，

則EF是△PAD的中位線，

所以EF∥PA，

又PA⊥平面ABCD，

所以EF⊥平面ABCD.

同理FO是△ADB的中位線，

所以FO∥AB，F(xiàn)O⊥AC，

由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．

所以∠EOF=45°，

而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ)，

故所求二面角E-AC-B的大小為135°．

三、棱的垂面法求二面角

所謂棱的垂面法，即空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角，其中面面垂直的性質(zhì)定理和三垂線定理的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵.

【例3】如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．若∠CBA=60°，則二面角C1-OB1-D的余弦值為________．

【解析】如圖，因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為矩形，

所以CC1⊥AC.

同理DD1⊥BD.

因?yàn)镃C1∥DD1，

所以CC1⊥BD.

而AC∩BD=O，

因此CC1⊥底面ABCD.

由題設(shè)知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.

過O1作O1H⊥OB1于H，連接HC1，

由O1O⊥底面ABCD，知O1O⊥底面A1B1C1D1，

于是O1O⊥A1C1.

又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，

所以四邊形A1B1C1D1是菱形，

因此A1C1⊥B1D1，從而A1C1⊥平面BDD1B1，

所以A1C1⊥OB1，

于是OB1⊥平面O1HC1，進(jìn)而OB1⊥C1H，

故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨設(shè)AB=2，

因?yàn)椤螩BA=60°，

在Rt△OO1B1中，

四、射影面積法求二面角

斜面面積和射影面積的關(guān)系公式為S′=S·cosθ，其中S為原斜面面積，S′為射影面積，θ為斜面與射影所成二面角的平面角，這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形、任意多邊形都成立.

【例4】如圖，在正方體ABCD-A1BC1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，則平面B1DE與底面ABCD所成的二面角的余弦值為________.

【解析】在正方體ABCD-A1BC1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以A為點(diǎn)E在底面ABCD上的射影，

△ABD是△EB1D在底面ABCD上的射影三角形.

在△EB1D中，過E作EG⊥B1D于G，

設(shè)平面B1DE與底面ABCD所成的二面角為θ，

五、補(bǔ)棱法求二面角

補(bǔ)棱法是針對(duì)解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線，此即稱為補(bǔ)棱，然后借助前述的定義法與三垂線法解題.

【例5】如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2.

(Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)正弦值的大小.

【解析】本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整(延長(zhǎng)AD，BE相交于點(diǎn)F，連接PF)，再在完整圖形中找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之.

(Ⅰ)證明：連接BD，因?yàn)锳BCD是菱形，且∠BCD=60°，所以△BCD是等邊三角形．

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB∥CD，

所以BE⊥AB．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

BE?平面ABCD，所以PA⊥BE．

而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．

又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

(Ⅱ)延長(zhǎng)AD，BE相交于點(diǎn)F，連接PF.

過點(diǎn)A作AH⊥PB于H，

由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB，

所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF=60°，

所以AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，

連接AG，則AG⊥PF.

連接HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角).

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

六、補(bǔ)形法求二面角

某些特殊幾何體通過補(bǔ)形法，構(gòu)造常見的長(zhǎng)方體、正方體、正四面體等模型，使抽象問題簡(jiǎn)單化，易找到二面角的平面角.互相垂直的兩兩長(zhǎng)(正)方形補(bǔ)成長(zhǎng)(正)方體易求二面角和體積.

【解析】因?yàn)锳B=BC=1，SD=1，故可把原四棱錐補(bǔ)成正方體ABCD-A1B1C1S，連接A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.

因?yàn)锳1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD為所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角為45°.

七、向量法求二面角

向量法解立體幾何是一種十分簡(jiǎn)捷且常見的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題.

【例7】如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，PA=AB=a，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求BP與DM所成的角的大??；

(Ⅱ)求二面角M—DA—C的大?。?/p>

設(shè)直線BP與DM所成的角為θ，

所以BP與DM所成的角的大小為90°.

所以所求的二面角M—DA—C的大小為45°.

利用向量法解決空間角的求解問題，首先需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立合理的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)是解決此類問題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確求解直線的方向向量與平面的法向量是關(guān)鍵，最后只需利用這些向量表示所求角即可.解題時(shí)，要注意向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化.如求解二面角時(shí)，要注意根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征準(zhǔn)確判斷二面角的取值范圍；求解線面角時(shí)，要注意三角函數(shù)名稱的變化.

河北省衡水市鄭口中學(xué))