江西 陳國林
解決三角恒等變形問題六種法則
江西 陳國林
三角恒等變換是高考考試中每年必考的內(nèi)容,不僅在考題中有小題出現(xiàn),也會結(jié)合大題進(jìn)行考查,大部分題目以中檔題為主,本文主要提出了六種方法去處理三角恒等變形問題供大家參考.
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故選D.
【評注】三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值“1”)和運算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換,其核心是“角的變換”.
角的變換主要有:已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
【解析】解法1:原式=sin50°(1+tan60°tan10°)
=1.
【評注】名的變化:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù),以便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.基本思路有:(1)化非特殊角為特殊角;(2)化為正負(fù)相消的項,消去后求值;(3)化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù),進(jìn)行約分求值.
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,
即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
得sin(C-A)=sin(B-C),
所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立).
【例6】求cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°的值.
【解析】設(shè)x=cos20°cos40°cos80°,y=sin20°sin40°sin80°,
xy=cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°
【評注】在求值,化簡的三角問題時,靈活運用構(gòu)造對偶式的對偶的數(shù)學(xué)思想,合理地構(gòu)造形如xy的對偶函數(shù),進(jìn)行和、差、積等運算,則問題可得到解決.
【變式6】求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.
【解析】設(shè)x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,
y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,
x+y=sin210°+cos240°+sin10°cos40°+cos210°+sin240°+cos10°sin40°
=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°
=2+cos40°,
因為-cos20°+cos40°+cos80°
=-cos20°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)
=-cos20°+cos60°cos20°+sin60°sin20°+cos60°cos20°-sin60°sin20°
=2cos60°cos20°-cos20°
=cos20°-cos20°
=0.
江西省贛南師范大學(xué)科技學(xué)院)