聚焦新定義，提升學(xué)科素養(yǎng)

山東 王中華

聚焦新定義，提升學(xué)科素養(yǎng)

山東 王中華

隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育要求不斷提高，以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型脫穎而出.“新定義”型題目是高考命題的一大熱點(diǎn).所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有的知識、能力進(jìn)行理解，并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn)，由于它構(gòu)思巧妙，題意新穎，是考查學(xué)生綜合素質(zhì)和能力、挖掘?qū)W生潛力的較佳題型，因而它受到命題者的青睞.這種類型的問題很多，一般是以新課標(biāo)教材內(nèi)容為背景，給出某種新概念、新運(yùn)算(符號)、新法則(公式)等，學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新運(yùn)算(符號)、新法則(公式)之后，運(yùn)用新課標(biāo)學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等尋求問題解決.縱觀這幾年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)，“新定義”型問題按其命題背景可分為三種類型：以新課標(biāo)內(nèi)容為背景、以高等數(shù)學(xué)為背景、以跨學(xué)科為背景.現(xiàn)就相關(guān)類型作探討.

1.新定義集合

所謂“新定義集合”，給出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力.由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查，特別能夠考查學(xué)生“現(xiàn)場做題”的能力，并且在近幾年高考模擬試題和高考真題中頻繁出現(xiàn).解題時應(yīng)時刻牢記集合中元素的三要素：確定性，互異性，無序性

( )

A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

【答案】B

2.新定義函數(shù)

【例2】如果函數(shù)f(x)對任意兩個不等實(shí)數(shù)x1,x2∈(a,b)，均有x1f(x1)+x2f(x2)gt;x1f(x2)+x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間(a,b)上的“G”函數(shù)，給出下列命題：

①函數(shù)f(x)=2x-sinx是R上的“G”函數(shù);

④若函數(shù)f(x)=ex-ax-2是R上的“G”函數(shù)，則a≤0.

其中正確命題的個數(shù)是

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】本題看似所給不等式復(fù)雜，但稍作變形可得x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]gt;0，所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]gt;0，即(x1-x2)與[f(x1)-f(x2)]同號，得到出新定義實(shí)質(zhì)：f(x)是(a,b)上的增函數(shù).可從單調(diào)性的角度判斷四個命題，①：f′(x)=2-cosxgt;0恒成立，所以f(x)是R上的增函數(shù)；②③：可通過作出函數(shù)的圖象來判斷分段函數(shù)是否在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，通過作圖可知②正確，③不正確；④：若f(x)是“G函數(shù)”，則f(x)是R上的增函數(shù)，所以f′(x)=ex-a≥0，即a≤ex恒成立，因?yàn)閑x∈(0,+∞)，所以可得a≤0，④正確.

綜上所述，①②④正確，共有三個正確命題，故選C.

點(diǎn)評：本題考查新定義問題、函數(shù)的單調(diào)性、學(xué)生對知識的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力，屬難題.

3.新定義數(shù)列

【例3】(2016·江蘇)記U={1,2,…，100}.對數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1,3,66}時，ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2,4}時，ST=30.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)對任意正整數(shù)k(1≤k≤100)，若T?{1,2,…，k}，求證：STlt;ak+1；

(Ⅲ)設(shè)C?U,D?U,SC≥SD,求證：SC+SC∩D≥2SD.

(Ⅲ)下面分三種情況證明.

①若D是C的子集，則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

②若C是D的子集，則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.

③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令E=C∩UD，F(xiàn)=D∩UC，則E≠?，F(xiàn)≠?，E∩F=?.

點(diǎn)評：本題三個難點(diǎn)，一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列首項(xiàng)，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代證，三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.

4. 定義新運(yùn)算型

( )

A.[-1，2] B.(0，3]

C.[0，2] D.[1，3]

【答案】C

5.定義新法則型

思路分析：根據(jù)二元碼及新定義，分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算求得.

【答案】5

【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0，不同數(shù)字運(yùn)算后為1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個數(shù)字出錯；由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個數(shù)字沒錯，即出錯的是第4個或第5個；由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯的是第5個，綜上，第5位發(fā)生碼元錯誤.

點(diǎn)評：本題以二元碼為背景考查新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問題的目的.對于新法則，關(guān)鍵在于找到元素之間的對應(yīng)關(guān)系，我們可以借助圖表等方法尋找它們之間的對應(yīng)關(guān)系，利用對應(yīng)關(guān)系列方程.

6.以高等數(shù)學(xué)為背景

本類型的題目通常是以高等數(shù)學(xué)符號、概念直接出現(xiàn)或以高等數(shù)學(xué)概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識中.此類問題的設(shè)計(jì)雖來源于高等數(shù)學(xué)，但一般是起點(diǎn)高，落點(diǎn)低，它的解決方法還是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能.這要求學(xué)生認(rèn)真閱讀相關(guān)定義或方法，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的知識進(jìn)行解題.

( )

A.8 B.6 C.4 D.1

【答案】A

7.以跨學(xué)科為背景

本類型的題目，主要是介紹數(shù)學(xué)知識在其他學(xué)科或領(lǐng)域的運(yùn)用，一般都會介紹運(yùn)用時的知識背景、數(shù)學(xué)模型，因而題中文字、信息較多.學(xué)生必須準(zhǔn)確地把握題意、理順線索、分析相應(yīng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合學(xué)生已有的知識和能力進(jìn)行推理、運(yùn)算.

【例7】(2016·北京理)設(shè)數(shù)列A：a1，a2,…aN(N≥1).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有aklt;an，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”.記G(A)是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.

(Ⅰ)對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)證明：若數(shù)列A中存在an使得angt;a1，則G(A)≠?；

(Ⅲ)證明：若數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.

思路分析：(Ⅰ)關(guān)鍵是理解G時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出G(A)的所有元素；(Ⅱ)要證G(A)≠?，即證G(A)中含有一元素即可；(Ⅲ)當(dāng)aN≤a1時，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)aNgt;a1時仍然成立即可.

【解析】(Ⅰ)G(A)的元素為2和5.

(Ⅱ)證明：因?yàn)榇嬖赼n使得angt;a1，所以{i∈N*|2≤i≤N,aigt;a1}≠?.

記m=min{i∈N*|2≤i≤N,aigt;a1}，則m≥2，且對任意正整數(shù)klt;m,ak≤a1lt;am.因此m∈G(A)，從而G(A)≠?.

(Ⅲ)證明：當(dāng)aN≤a1時，結(jié)論成立.以下設(shè)aNgt;a1.由(Ⅱ)知G(A)≠?.

設(shè)G(A)={n1,n2,…,np}，n1lt;n2lt;…lt;np，記n0=1.

則an0lt;an1lt;an2lt;…lt;anp.對i=0,1,…,p，記Gi={k∈N*|nilt;k≤N,akgt;ani}.

如果Gi≠?，取mi=minGi，則對任何1≤klt;mi,ak≤anilt;ami.

從而mi∈G(A)且mi=ni+1.又因?yàn)閚p是G(A)中的最大元素，所以Gp=?.從而對任意np≤k≤n，ak≤anp，特別地，aN≤anp.

對i=0,1,…,p-1,ani+1-1≤ani.

因此ani+1=ani+1-1+(ani+1-ani+1-1)≤ani+1.

點(diǎn)評：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型.數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊與一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，q=1或q≠1)等.

山東省棗莊市第二中學(xué))