排列組合問題的學(xué)習(xí)總結(jié)與應(yīng)用

【摘要】排列組合問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，看似簡單的排列組合知識，在平時學(xué)習(xí)解決具體的問題時，有時會容易沒有頭緒或者遺漏細(xì)節(jié)，本文根據(jù)所學(xué)習(xí)排列組合的知識和查閱相關(guān)資料，從排列組合的分組問題、排列組合中分步和分類的問題、排列組合的解題技巧角度總結(jié)和學(xué)習(xí)排列組合的知識，并通過例題說明這些方法的應(yīng)用，加深對排列組合知識的了解和提高解決排列組合問題的能力。

【關(guān)鍵詞】分組分配；排列組合；分步；分類

【中圖分類號】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）11-0291-02

一、排列組合的分組問題

在學(xué)習(xí)排列組合的過程中，經(jīng)常會遇到給人數(shù)分組分配和盒子裝不同球的種類數(shù)問題，此處大致總結(jié)幾種常見得分組分類問題及解題方法。

1.不相同的n個小球，裝進(jìn)r個不相同的盒子里，有的盒子裝n1個小球，有的盒子裝n2個小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：

2.不相同的n個小球，裝進(jìn)r個不相同的盒子里，每個盒子里面裝m，其中mr=n，則分配方案為：

3.不相同的n個小球，裝進(jìn)r個相同的盒子里，每個盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：

4.不相同的n個小球，裝進(jìn)r個相同的盒子里，有的盒子裝n1個小球，有的盒子裝n2個小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：

5.相同的n個小球，裝進(jìn)r個不相同的盒子里，有的盒子裝n1個小球，有的盒子裝n2個小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：r！

6.相同的n個小球，裝進(jìn)r個不相同的盒子里，每個盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：1

7.相同的n個小球，裝進(jìn)r個相同的盒子里，每個盒子里面裝m，其中mr=n、，則分配方案為：1

8.相同的n個小球，裝進(jìn)r個相同的盒子里，有的盒子裝n1個小球，有的盒子裝n2個小球…有的盒子裝，其中n1、n2…nr互不相等并且和為n，則分配方案為：1

其中上述問題中，前四種的判斷容易讓人混淆，而6-8四種情況較為簡單，然而當(dāng)每天都在思考復(fù)雜問題的時候，遇到5-8也會出現(xiàn)腦筋急轉(zhuǎn)彎似的情況，讓人應(yīng)接不暇，下面通過舉例說明球盒分配分組問題簡單應(yīng)用。

Eg1：有13個不同的禮物，需要送給三個人，有一個人有五個禮物、另外兩個人分別有四個禮物。禮物有幾種分法。

答：禮物本身分組的方法有：種分組方法

人禮物件數(shù)分成有：

所以禮物的分配方法有種。

二、排列組合中分步和分類的問題

排列組合中，對問題進(jìn)行“分類”計算還是“分步”計算也是一個易錯的部分。其中“分類”是指對整體分析對象按不同的性質(zhì)分成幾類，每一類都是分析對象獨立的子集，類與類之間沒有絕對的依存關(guān)系，每一類都是事件的一部分，采用分類計數(shù)的方法即不同類采用累加的方法；而“分步”是指完成對被分析對象分析的時候，從前到后依次進(jìn)行，必須把各個步驟都完成以后，才能完成所給的事件，并且步與步之間又互不影響，即前面采用的方法不影響后面的步驟采用什么方法此時采用分步的方法即為不同步之間采用累乘的方法。下面通過幾個例題具體說明分類和分步的應(yīng)用。

Eg2：有七個人排成一排，其中有兩個人不在正中間也不在兩邊，有多少不同的重法？

分析：此題為典型的分步計數(shù)方法：因兩個人比較特殊，所以首先安排兩個人的位置，為A42，則剩下的五個位子分別為五個人任意做，有A51A41A31A21A11=A55，因此分類的發(fā)放義工為：A42A55。

Eg3：有25個人排成5×5的方隊，現(xiàn)從中選擇3個人，這三個人不在同一行并且也不在同一列，則不同的選法有多少種？

分析：此題也為分步計數(shù)方法：首先第一步先選擇一個人有25種，第二部選擇第二個人有25-9=16種，第三步選擇一個人有16-5=9種方法，因為3個人沒有先后順序，所以最后去掉三個人的順序的不同的選法有：25×16×9÷3！=600。

Eg4：在“歡樂今宵”的電視節(jié)目中，有兩個信箱，信箱中放著競猜中的觀眾來信，甲信箱中裝有30封，乙信箱中裝有20封，現(xiàn)在由主持人抽取獎品確定幸運觀眾，如果先確定一個幸運觀眾，然后再從兩個信箱各確定一個幸運觀眾，請問抽取的幸運觀眾有幾種不同的結(jié)果？

分析：此題為分類計數(shù)方法：分成兩類，其中第1類，第一位幸運觀眾在甲箱中抽選，選定幸運之星，然后再在兩箱中各抽取一位，此時幸運觀眾有30×29×20÷2=8700種情況；第2類是第一名幸運觀眾在乙箱中抽選，此時有20×19×30÷2=5700種情況。因此共有不同的抽取結(jié)果數(shù)為：8700+5700=1440。（注：除以二是因為三名幸運關(guān)總沒有先后順序）。

三、排列組合的解題技巧

此處主要總結(jié)學(xué)習(xí)排列組合解題時的集中常見技巧，例如特殊元素優(yōu)先處理、特殊位置優(yōu)先考慮、排除法、擋板法等，下面通過幾個例子說明一下這幾種常用的解題技巧。

Eg5：有六雙不同顏色的手套，從中任意取4只手套，恰好有一雙是同色的取法有多少種？

分析：此題為特殊元素特殊處理的類型，采用前面所講的分步計數(shù)原則，先取一雙同色的手套有C61種，剩下十只手套任選一只C101，剩下的從兩雙手套之外在選一只C81，由于后面兩只手套不考慮先后順序，所以去除它們之間的先后順序可得一共的取法有：種。

Eg6：從10個人中選4人參加會議，其中在甲、乙、丙三個人中至少有1人參加會議，問參加會議人有多少種不同的選擇？

分析：此題為排除法，即求甲、乙、丙三個人中至少有1人參加會議得對立面，即三個人都不參加會議的情況數(shù)，有C74，所以甲、乙、丙三個人中至少有1人參加會議得情況有種。

Eg7：把十個蘋果發(fā)給八個人，每人至少有一個蘋果，請問有幾種不同的分蘋果方案？

分析：此題為擋板法，此問題可以等價為，把十個蘋果排成一排，在十個蘋果的九個空隙處讓七個人“插隊”，第八個人在蘋果最后面，在人前面和該人前面一個人后面的蘋果歸該人所有，所以分配方法為。

四、總結(jié)（下轉(zhuǎn)250頁）

（上接291頁）本文總結(jié)學(xué)習(xí)了排列組合的相關(guān)知識，主要從排列組合的分組問題、排列組合中分步和分類的問題、排列組合的解題技巧角度總結(jié)和學(xué)習(xí)排列組合的知識，并通過例題說明這些方法的簡單應(yīng)用，通過排列組合相關(guān)知識的學(xué)習(xí)總結(jié)，提高了對本部分的內(nèi)容的理解。

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作者簡介：朱文睿（1999年10月29日—），男，漢族，四川省成都市人，成都西北中學(xué)學(xué)生，研究方向：數(shù)學(xué)與教育。endprint