唐曉琴
[摘 要]“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領(lǐng)域的內(nèi)容,實質(zhì)是格點多邊形面積計算教學(xué)。通過課前思考、實踐探索、課后反思,呈現(xiàn)“釘子板上的多邊形”這一課的設(shè)計思路和教學(xué)過程,打造使學(xué)生經(jīng)歷探索過程、體會歸納思想、感悟發(fā)現(xiàn)和提出問題過程的魅力課堂。
[關(guān)鍵詞]釘子板;多邊形;發(fā)現(xiàn)和提出問題 探索實踐
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2017)29-0018-02
【課前思考】為什么學(xué)習(xí)“釘子板上的多邊形”?
“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領(lǐng)域的內(nèi)容,這節(jié)課的實質(zhì)是格點多邊形面積計算教學(xué)。教材依次呈現(xiàn)多邊形中有一個釘子、兩個釘子的圖形,引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)一數(shù)、算一算、小組合作討論等方式發(fā)現(xiàn)多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,讓學(xué)生進(jìn)一步探索多邊形內(nèi)有3個、4個……釘子的情況,最后得出一般結(jié)論。
從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗來看,學(xué)生已經(jīng)學(xué)過運用公式計算常見平面圖形的面積,知道可以用割補法或數(shù)方格的方法算出不規(guī)則圖形的面積。學(xué)生經(jīng)歷過數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算等領(lǐng)域的規(guī)律探索的一般過程,知道可以從簡單問題入手進(jìn)行研究,只需經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)規(guī)律——驗證規(guī)律——得出結(jié)論”這一過程。
在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“釘子板上的多邊形”會不會是中學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的下放?經(jīng)過了解發(fā)現(xiàn),在八年級數(shù)學(xué)教材中安排的綜合實踐課“格點多邊形的面積計算公式”的教學(xué)內(nèi)容中,教學(xué)目標(biāo)與小學(xué)階段并不完全相同。除了要求學(xué)生掌握求格點多邊形面積的一般方法外,還滲透了函數(shù)思想,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y(多邊形面積)與x (多邊形邊上格點數(shù))具有線性關(guān)系y=ax+b,其中a=1/2是不變的,而b的值等于多邊形內(nèi)點的個數(shù)減去1。 由此可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出多邊形的面積y等于各邊上格點的個數(shù)和的一半加上多邊形內(nèi)點的個數(shù)再減去1,即y=1/2x+(n-1)。可見,小學(xué)生學(xué)習(xí)釘子板上的多邊形正是為了這樣的后續(xù)學(xué)習(xí)積累活動經(jīng)驗。
【課堂實踐】怎樣教學(xué)“釘子板上的多邊形”?
結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗及心理特征,我為本課教學(xué)制訂了教學(xué)目標(biāo):
(1)使學(xué)生探索并初步發(fā)現(xiàn)格點圖上多邊形的面積與多邊形邊上、內(nèi)部格點數(shù)之間的關(guān)系,體會用含有字母的式子表示上述關(guān)系的價值。
(2)使學(xué)生經(jīng)歷探索過程,體會歸納思想,感悟發(fā)現(xiàn)問題、提出問題過程的魅力。
【教學(xué)過程】
一、問題與猜想
1.明確課題
2.提出問題
師:今天我們不用釘子板,用點子圖來代替。(出示點子圖)像這樣的點叫格點,關(guān)于格點圖上的多邊形,我們可以研究什么?
生(齊):周長或者面積。
師:如果要知道這個多邊形的面積,你有哪些策略?(出示不規(guī)則多邊形)
生1:數(shù)方格的方法。
生2:分割成學(xué)過的圖形。
3.嘗試猜想
師(出示喬治·皮克圖片):有一位叫喬治·皮克的數(shù)學(xué)家,他發(fā)現(xiàn)了格點多邊形的奧秘,從而很快算出面積。大家想不想找到這個神奇的方法?讓我們一起來探索其中的奧妙吧!
師(出示前面給出的不規(guī)則圖形):猜想一下,在格點圖上的多邊形的面積可能和什么有關(guān)系?
二、探索與發(fā)現(xiàn)
1.探索內(nèi)部格點數(shù)為1的多邊形
師(出示四個圖形):我們先來看一組簡單的圖形。認(rèn)真觀察這些圖形,想一想它們的面積和哪里的格點數(shù)有關(guān)系?你會算它們的面積嗎?請大家算一算。
(學(xué)生計算填表)
師:認(rèn)真觀察表格里的數(shù)據(jù),你發(fā)現(xiàn)了什么?你是怎么比較的?這個規(guī)律可以表達(dá)得更簡潔嗎?如果用n表示多邊形邊上的格點數(shù),用S表示多邊形的面積,那么這個規(guī)律如何表示?
生1:S=n÷2。(師板書:S=n÷2)
師:真厲害,這么快就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。讓我們試一試這個規(guī)律,看這一組圖形。(出示的圖形分別是內(nèi)部一個格點、兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形)我們先數(shù)出邊上的格點數(shù),你能直接算出面積嗎?
【課堂花絮:學(xué)生由快速口答漸漸變?yōu)楠q豫不決,因為發(fā)現(xiàn)S=n÷2并不適用于內(nèi)部兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形,所以開始懷疑S=n÷2的正確性。由此形成的沖突為找出規(guī)律埋下伏筆?!?/p>
師:為什么這個規(guī)律有時靈有時不靈呢?認(rèn)真觀察這些圖形,同桌之間討論你的發(fā)現(xiàn)。
生2:多邊形里面只有一個格點時就可以用S=n÷2。
師:你能從不同的圖形中發(fā)現(xiàn)共同點,真不錯?!癝=n÷2”這個規(guī)律在什么情況才成立呢?
生3:內(nèi)部格點數(shù)是1時。
師:如果用a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù),即a=1時,S=n÷2。
師:看來我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,更要主動地去驗證規(guī)律,這樣才能得出正確的結(jié)論。
師:多邊形的面積不僅與多邊形邊上的格點數(shù)有關(guān)系,與內(nèi)部的格點數(shù)也有關(guān)系。(出示:內(nèi)部的格點數(shù))
2.探索多邊形內(nèi)部有兩個格點時面積與邊上格點數(shù)的關(guān)系
師: 接下來我們就好好研究內(nèi)部格點數(shù)是2的多邊形。屏幕上已經(jīng)出現(xiàn)了一個圖形,為了研究的有效性,建議再畫出一個或者兩個不一樣的多邊形(里面有2個格點的多邊形),分別算出它們的面積,再觀察它們的面積和邊上的格點數(shù)之間究竟有什么關(guān)系。
師(出示研究單):①每人再畫出一個或兩個內(nèi)部格點數(shù)是2的多邊形。②算出每個圖形的面積,比較面積與邊上的格點數(shù)之間的關(guān)系。③同桌互相說一說發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。endprint
生4:當(dāng)a=2時,S=n÷2+1。
師:回憶剛才探索規(guī)律的過程,你有什么想法?
生5:首先要認(rèn)真觀察圖形,有了猜想,就要大膽表達(dá)出來,光有猜想還不行,還要進(jìn)一步驗證,最后把得出的結(jié)論表達(dá)出來。
【說明:引導(dǎo)學(xué)生在研究問題的過程中不斷感悟和總結(jié)研究問題的一般方法,能讓學(xué)生對問題的本質(zhì)有進(jìn)一步的認(rèn)識?!?/p>
3.進(jìn)一步探索多邊形內(nèi)有3個格點的情形
師:大家還想研究什么樣的圖形?
生6:內(nèi)部有3個格點的多邊形。
師:如果多邊形內(nèi)有3個格點,它的面積與邊上格點數(shù)又有什么關(guān)系?
生7:當(dāng)a=3時,S=n÷2+2。
師:光有猜想還不行,我們?nèi)绾蝸眚炞C這個規(guī)律呢?我們在驗證時首先做什么?
生8:畫圖,認(rèn)真觀察圖形。
師:其次呢?
生9:要算出相關(guān)的數(shù)據(jù)。
師:最后想一想你發(fā)現(xiàn)了什么,把結(jié)論表達(dá)出來。
師(出示小組合作小貼士):①畫出一個內(nèi)部格點數(shù)是3的多邊形。②填寫表格。③小組交流討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
【課堂花絮:每組成員畫好圖形后通過合作完成表格,他們在討論的過程中發(fā)現(xiàn)問題,并及時改正和調(diào)整。各小組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律以及表達(dá)形式各不相同?!?/p>
生10:我們小組發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)部格點數(shù)是3時,其面積是邊上格點數(shù)除以2再加2。
師:這位同學(xué)觀察得很仔細(xì),我們研究問題時就要像這位同學(xué)那樣按照一定順序有條理地進(jìn)行。
師:內(nèi)部格點數(shù)是4時可能有什么規(guī)律?
生11:a=4時,S=n÷2+3。
師:可以寫成“a=1,S=n÷2”嗎?
生12:a=1時,S=n÷2+0。
師:這么多規(guī)律我們能不能用一個字母式子來表示?
生13:S=n÷2+(a-1)。
師:a=0時是什么情況?
生14:S=n÷2-1。
師(出示不規(guī)則多邊形):還記得這個圖形嗎?你能用我們今天探索的方法求出它的面積嗎?
三、回顧與鏈接
師:釘子板上的多邊形的面積其實就是一個有名的數(shù)學(xué)問題——面積與格點(出示面積與格點),發(fā)現(xiàn)格點與面積規(guī)律的就是剛才老師介紹的奧地利數(shù)學(xué)家喬治·皮克。下面請一位同學(xué)來讀讀數(shù)學(xué)史。
生15:1889年,他發(fā)現(xiàn)了關(guān)于多邊形的面積、邊上的格點數(shù)以及內(nèi)部格點數(shù)之間關(guān)系的皮克公式,并進(jìn)行了證明,得到了皮克定理?!捌た硕ɡ怼北蛔u為“有史以來最重要100個數(shù)學(xué)定理”之一。
師:我們今天探究得出的S=n÷2+(a-1)就類似于皮克公式??磥頂?shù)學(xué)家能發(fā)現(xiàn)的規(guī)律我們也能發(fā)現(xiàn),大家是不是覺得自己很厲害。如果大家對我們今天研究的話題感興趣,還可以去看看《格點和面積》這本書,作者是我國數(shù)學(xué)家閔嗣鶴。
【課后反思】課堂教學(xué)是否能再開放一些?
首先,研究的過程可以放手一些。課堂中按照多邊形內(nèi)部格點數(shù)的依次增加,循序漸進(jìn)地研究了格點多邊形的面積與外部、內(nèi)部格點數(shù)之間的關(guān)系,看起來課堂教學(xué)流程很順暢,但是這種順暢也束縛了學(xué)生的思維。在研究完內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形之后,學(xué)生似乎已經(jīng)猜到了答案,在之后的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中,部分學(xué)生研究的興趣和好奇心逐漸減弱,因此,在以后的教學(xué)中可以嘗試充分放手讓學(xué)生自己先討論研究本課問題的方法和步驟,再放手讓學(xué)生獨立進(jìn)行研究。
其次,課堂教學(xué)的環(huán)節(jié)可以開放一些。例如在探究內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形時,本課是直接讓學(xué)生通過計算面積和觀察比較來發(fā)現(xiàn)多邊形的面積和邊上格點數(shù)之間的關(guān)系,這樣的課堂教學(xué)人為地向?qū)W生暗示了研究的方向和方法,雖然這樣能讓學(xué)生更快地接近成功,但也過多地代替了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。這個環(huán)節(jié)其實可以讓學(xué)生先在格點圖上畫出不同形狀的格點多邊形,再討論如何給這些多邊形進(jìn)行分類,在分類的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步討論內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形的面積和什么有關(guān)系,由此展開學(xué)習(xí)研究或許更有效。
數(shù)學(xué)世界是奇妙的,數(shù)學(xué)課堂更是充滿了無限生機,只要教師能從學(xué)生的角度出發(fā),充分發(fā)揚課堂教學(xué)民主,學(xué)生就會有奇妙的發(fā)現(xiàn)。
(責(zé)編 金 鈴)endprint