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    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

    2017-12-09 16:54:41姜春陽
    考試周刊 2017年29期
    關(guān)鍵詞:方法應(yīng)用高中數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合

    姜春陽

    摘要:當(dāng)前,隨著課程的不斷深入改革,怎樣針對學(xué)生的具體情況,提升教學(xué)的水平,使得學(xué)生的素質(zhì)得到全面發(fā)展,這是每位從事教育工作的工作者需要思考的問題。數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,能夠在一定程度上,調(diào)動學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生的興趣,從而讓學(xué)生自發(fā)性地參與到教學(xué)的活動當(dāng)中,配合教師的工作?;诖耍疚恼撌隽烁咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合;方法應(yīng)用

    在高中數(shù)學(xué)的實際教學(xué)中,很多教師會將傳授學(xué)生一些理論知識以及講解一些基本公式和概念作為教學(xué)工作的重點,因此容易忽視數(shù)學(xué)的教學(xué)方法。但是從某種角度來講,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,這才是教學(xué)的重點工作。因此在教學(xué)的過程中,教師可以應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合方法,使其貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,這樣才能夠化抽象為具象,簡化數(shù)學(xué)問題,才能有助于教師更好地完成教學(xué)目標(biāo),保障高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量。

    一、 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用意義

    (一) 銜接初高中知識

    將數(shù)學(xué)結(jié)合方法應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的課堂上,能夠助于學(xué)生有效銜接初高中的數(shù)學(xué)知識,起到一定的過渡作用。當(dāng)然,相比于高中數(shù)學(xué),初中數(shù)學(xué)比較容易理解,也容易學(xué)習(xí)。高中課本中有非常多的抽象知識,學(xué)生學(xué)習(xí)起來會比較吃力。而且,高中數(shù)學(xué)對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)圖形,理解數(shù)學(xué)語言以及拓展數(shù)學(xué)思維都提出了比較高的要求。因此,作為數(shù)學(xué)教師,要針對學(xué)生的實際情況,結(jié)合學(xué)生的實際需要,應(yīng)用有效的教學(xué)模式和方法。比如,數(shù)形結(jié)合的方法,由于這種方法在應(yīng)用中收到了比較好的效果,因此受到廣大師生的推崇。

    (二) 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣

    將抽象理論和圖形結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合核心的理念。形象化處理抽象的概念,不僅能夠拓展學(xué)生抽象思維,還能在此基礎(chǔ)上,助于學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)知識和內(nèi)容掌握。同時,還能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中,簡化一些理論、概念性的東西,這樣能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因此,在實際的教學(xué)中,教師要應(yīng)用到這種數(shù)形結(jié)合的方法,把“數(shù)”理念與“形”特點結(jié)合在一起,實現(xiàn)兩者的相互促進(jìn)和配合,為學(xué)生提供更廣的思路,啟發(fā)學(xué)生對問題的思考,從而激發(fā)學(xué)生的興趣,調(diào)動學(xué)生的積極性,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

    二、 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用策略

    (一) 教師要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想

    在眾多的思想當(dāng)中,很常見的一種數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合的思想,從實際情況來看,學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)當(dāng)中,就用到了這種數(shù)形的思想。只是在高中的數(shù)學(xué)當(dāng)中,難度加大了,問題也更復(fù)雜了,因此為了保障教學(xué)的質(zhì)量和水平,同時提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,教師更要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。只有這樣,學(xué)生才能夠得到顯著的進(jìn)步,從而自發(fā)性地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中。

    在教學(xué)的過程中,教師要讓學(xué)生將基本的數(shù)學(xué)概念掌握好,因為數(shù)學(xué)概念承載著數(shù)學(xué)的方法和思想,同時數(shù)學(xué)概念也是人們對客觀世界的空間關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系形成的認(rèn)識,而且數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的主要來源。因此,作為高中數(shù)學(xué)教師,一定要讓學(xué)生掌握好一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念和知識,只有這樣才能夠為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想打下堅實的基礎(chǔ),從而助于學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)問題解決。在幾何當(dāng)中,有正弦和余弦等一些基本概念存在,這些概念通過同圖形的結(jié)合,能夠?qū)缀蔚囊饬x充分展示出來。這樣不僅能夠助于學(xué)生加深對基本概念的理解程度,在此基礎(chǔ)上,還能在學(xué)生遇到問題時,助于學(xué)生在腦海中構(gòu)建結(jié)合圖形,有效的將數(shù)學(xué)問題解決。比如在學(xué)正弦定理的教學(xué)內(nèi)容時,有這樣的兩道練習(xí)題:

    1. 在△ABC中,acos(π2-A)=bcos(π2-B),判斷△ABC的形狀。

    解:法一:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B),

    ∴asinA=bsinB.由正弦定理可得:a·a2R=b·b2R,

    ∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC為等腰三角形。

    法二:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B),

    ∴asinA=bsinB.由正弦定理可得:

    2Rsin2A=2Rsin2B,即sinA=sinB,

    ∴A=B.(A+B=π不合題意舍去)

    故△ABC為等腰三角形。

    2. 已知△ABC中,AD是∠BAC的平分線,交對邊BC于D,求證:BD/DC=AB/AC。

    證明:設(shè)∠ADB=θ,

    則∠ADC=π-θ.

    在△ABD中,由正弦定理得:

    BD/sin A2=AB/sin θ,即BD/AB=sinA2/sin θ;①

    在△ACD中,CD/sinA2=AC/sin(π-θ),

    ∴CD/AC=sinA2sinθ。②

    由①②得BD/AB=CD/AC,

    ∴BD/DC=AB/AC。

    教師可借助數(shù)形結(jié)合的方法,來幫助學(xué)生理解這兩道題目,這樣學(xué)生才能夠用最有效的方式以及最快的速度將問題解決,從而培養(yǎng)自己的數(shù)形結(jié)合思想。

    (二) 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解決集合問題

    高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)就是集合,與此同時,能夠利用圖形進(jìn)行生動展示的一個很好的例子就是集合。簡單的來講,數(shù)形結(jié)合方法就是簡化比較抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系,利用圖形來直觀的展示的一種方法。利用韋恩圖能夠形象的將問題展現(xiàn)出來,同時適時的構(gòu)建坐標(biāo)系也能夠更形象生動的展示圖形當(dāng)中的各個要素。比如,以下兩道集合的練習(xí)題,就可應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的方法。

    1. 已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1

    瘙 綂 RP)∩Q等于()

    A. [0,1)B. (0,2]

    C. (1,2)D. [1,2]

    解析∵P={x|x≥2或x≤0},

    瘙 綂 RP={x|0

    ∴(

    瘙 綂 RP)∩Q={x|1

    2. 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0≤ax+1≤3},若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍。

    解∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

    又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2},

    ∵A∪B=B,∴AB。

    ①當(dāng)a=0時,B=R,滿足題意。

    ②當(dāng)a>0時,B={x|-1a≤x≤2a},

    ∵AB,∴2a≥2,解得0

    ③當(dāng)a<0時,B={x|2a≤x≤-1a},

    ∵AB,∴-1a≥2,解得-12≤a<0。

    應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法,能夠快速的助于找到解決問題的途徑,提高學(xué)生解題的速度,同時才能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓他們掌握更多的數(shù)學(xué)解題方法。

    (三) 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解決方程問題

    在高中數(shù)學(xué)中,一般方程類的問題都是通過代數(shù)式以及文字結(jié)合的方式進(jìn)行展示,當(dāng)學(xué)生在接觸這類的題目時,即便讀懂了文字的含義,也不能將這類的問題成功解答,因此,很難提升解題的速度。所以在實際的教學(xué)過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將用幾何圖形的形式來替代文字的含義,這樣能夠更生動且形象的將問題展示出來。而學(xué)生通過對幾何圖形進(jìn)行觀察、分析以及探究,能夠快速找到解題的途徑和方式。比如有這樣一道題目:已知方程式|x2-1|=k+1,此時對于k在不同的取值范圍而求解此方程解的情況。

    首先對題目進(jìn)行分析:在這道題目中很明顯可以把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這樣方程可以變?yōu)榫唧w的函數(shù)圖像,然和根據(jù)函數(shù)圖形來解答問題就比較容易;此時可把方程分為兩個函數(shù),一個是y1=|x2-1|,而另一個函數(shù)是y2=k+1,由此可以劃出對應(yīng)的函數(shù)圖像,如下圖所示:

    此時通過觀察函數(shù)圖形就比較容易進(jìn)行分類討論。

    情況一:k<-1時,y1和y2無交點,此時方程無解;

    情況二:k=-1時,y1和y2存在兩個交點,方程有兩個不同解;

    情況三:-1

    情況四:k=0時,y1和y2存在三個交點,方程有三個解;

    情況五:k>0時,y1和y2存在兩個不同交點,此時的方程有兩個解。

    比如還有這樣一道題目:

    設(shè)x,y滿足約束條件4x-5y=62x-y=6x-2y=3,則z=x+y的最大值與最小值分別為()

    A. 6,-3B. 1,-3

    C. 6,-2D. 1,-2

    可以先作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最值。

    由z=x+y得y=-x+z,

    平移直線y=-x+z,

    由圖像可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A時,

    直線y=-x+z的截距最大,

    此時z最大。

    解得,A(4,2),

    代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=4+2=6。

    即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為6。

    當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點C(-1,-2)時,

    直線y=-x+z的截距最小,

    此時z最小。代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=-1-2=-3。

    即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為-3。

    通過“數(shù)”理念與“形”特點結(jié)合在一起,實現(xiàn)兩者的相互促進(jìn)和配合,能夠為學(xué)生提供更廣的思路,啟發(fā)學(xué)生對問題的思考,從而助于學(xué)生快速的將問題解決。

    三、 結(jié)束語

    總而言之,在新的形勢下,作為數(shù)學(xué)教師,要在高中數(shù)學(xué)課堂上積極應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法,這樣才能有效提升教學(xué)水平,保障教學(xué)質(zhì)量。需要注意的是,教師要針對具體問題,合理應(yīng)用,才能夠?qū)?shù)形結(jié)合方法的最大價值充分發(fā)揮出來,從而調(diào)動學(xué)生的積極性,讓他們自發(fā)性的參與到教學(xué)活動中,配合教師的教學(xué)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]賴弋新,楊慧娟,朱黎生等.新中國成立以來高中數(shù)學(xué)教科書的歷史沿革與啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2013,22(2):23-26.

    [2]楊慧娟,孟夢.微積分初步在新中國高中數(shù)學(xué)課程中的歷史變遷[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2016,25(1):25-27.

    [3]曹一鳴,王立東,PAUL COBB等.美國統(tǒng)一州核心課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)部分述評[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010,19(5):8-11.

    [4]王建磐,鮑建生.高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望,2014,43(8):101-110.

    [5]寧連華,顧鋒,何曉敏等.高中數(shù)學(xué)新課程變化內(nèi)容對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2014,23(4):16-20.

    [6]劉云,楊慧娟,朱維宗等.教師對新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教科書的認(rèn)可情況調(diào)查——新舊教科書對比的視角[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2014,23(3):87-91.

    [7]苗瓊,代欽.中日高中數(shù)學(xué)教科書數(shù)列內(nèi)容的比較[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(教育科學(xué)版),2016,29(7):142-146.

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