因材施教因教選材

鐘寶山

摘要：“抽屜原理”本是精英課堂里尖子學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，新課標(biāo)把這部分內(nèi)容劃分到了六年級下冊的數(shù)學(xué)廣角里面，無疑對教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都提出了更高的要求。當(dāng)然，這里所呈現(xiàn)的只是比較基本的“抽屜原理”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；抽屜原理；狹利克雷原理；鴿巢原理；鴿舍原理

一、 “抽屜原理”簡介

抽屜原理在外國被稱為“鴿巢原理”，最先是由德國數(shù)學(xué)家狹利克雷提出來的。因此，也稱為“狹利克雷原理”。外國人喜用“鴿子”和“鴿舍”來做例題（舉例），我們則常用“蘋果”和“抽屜”來做例題（舉例）。

原理1：m個元素，按任一方式分成n個集合（m>n且m、n∈N），則至少有一個集合中含有至少2個元素。

（教科書第70頁例題1及若干個變式）

原理2：np+1（n、p∈N）分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元素。

（教科書第71頁例題2及兩個變式）

原理3：無窮多個元素分成n個集合，則至少有一個集合中含有無窮多個元素。

現(xiàn)行的小學(xué)課本中只編排了抽屜原理1、2的教學(xué)，以及對原理2的若干靈活運用。

既然我上的不是精英課堂，面對我的這一班普通學(xué)生，我必須要選擇一種適合這班學(xué)生的教學(xué)方法來傳授新知。

二、 理解抽屜原理要注意的幾點

1. 抽屜原理討論的是“物體”與“抽屜”之間的關(guān)系，必須要弄清楚誰是“物體”，誰是“抽屜”，并要求物體數(shù)要比抽屜數(shù)多，或者比抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，無妨。

2. “不管怎么放”的意思是任意放，不限制放的方式，可以平均放，每個抽屜都有，也可以集中放在一起，不要求每個抽屜都有物體，但是要求每一個物體都必須放進(jìn)抽屜。

3. 抽屜原理只能用來解決一個“存在性”的問題，“至少有一個”就是表示存在滿足這樣條件的一個抽屜，通常滿足條件的抽屜有多個，但不重要，只需要證明有這樣一個達(dá)到要求的抽屜就足夠了。

4. 用假設(shè)法（反證法）進(jìn)行驗證的時候，要做極端最壞的打算。假設(shè)法（反證法）是解決“抽屜原理”的一般方法。

5. 算術(shù)法：物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)那么由抽屜原理2就可以得到，至少有一個抽屜中的物體數(shù)不少于（商+1）個。

三、 分析教材所呈現(xiàn)的教學(xué)素材

按照素材呈現(xiàn)的順序來分析：

1. 第70頁例題1講的是“把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。為什么？”

這里闡述的是“原理1”：m個元素，按任一方式分成n個集合（m>n且m、n∈N），則至少有一個集合中含有至少2個元素。

也就是“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的一倍多1

2. 第70頁下面的“做一做”講的是“7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里，為什么？”

這是對“原理1”的靈活運用，但是這里涉及“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的一倍多2，正是因為多“2”，所以題目才會將結(jié)論直接出示，讓學(xué)生可以用“假設(shè)法”來直接進(jìn)行驗證。

但是我個人認(rèn)為，僅僅通過一個例題，教學(xué)一次假設(shè)法，并且這道例題是余數(shù)正好是1的這么特殊的情況，馬上就讓學(xué)生驗證余數(shù)是“2”的抽屜原理練習(xí)題，有點為時過早，畢竟我們的學(xué)生不是精英學(xué)生，也許還有很多中下生沒有弄明白，就被趕上架了！所以在還沒有完全掌握“假設(shè)法”和“算術(shù)法”的時候，我不出示余數(shù)大于1的練習(xí)題。

3. 第71頁例題2講的是“把5本書放進(jìn)2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進(jìn)3本書。為什么？”

這里闡述的是“原理2”：np+1（n、p∈N）分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元素。

也就是“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的N倍多1

4. 第71頁下面的“做一做”講的是“8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里，為什么？”

也就是“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的N倍多2

隨著例題1、做一做、例題2、做一做。我們發(fā)現(xiàn)，“物體數(shù)”和“抽屜數(shù)”的關(guān)系從一倍多1、一倍多2、N倍多1到N倍多2，教材在例題1中滲透“枚舉法”和“假設(shè)法”的教學(xué)，在例題2中滲透“算術(shù)法”的教學(xué)，其用意是試圖通過多角度，全方位地讓學(xué)生用不同方法驗證結(jié)論，從而達(dá)到獲取新知的目的！

可是，我卻不太愿意這樣去處理，大家有沒有發(fā)現(xiàn)，教材有呈現(xiàn)三種方法，卻沒有告訴學(xué)生這三種分別是什么方法，更沒有對這三種方法進(jìn)行一個定性，這些方法的核心關(guān)鍵是什么？孰優(yōu)孰劣？這全憑老師去定奪啊！

有同學(xué)會認(rèn)為：第二種方法（假設(shè)法）挺好的，分析得很透徹，清清楚楚明明白白，可是他們不知道，當(dāng)我們不知道結(jié)論的時候，用“假設(shè)法”假設(shè)多少好呢？聰明的學(xué)生數(shù)感比較強(qiáng)，可能一眼就能分析出應(yīng)該假設(shè)為多少，其實這部分聰明的學(xué)生無形中還是運用了“算術(shù)法”的知識在里面??！有同學(xué)會認(rèn)為第三種方法（算術(shù)法）更好，簡簡單單兩個算式，頂?shù)蒙涎笱鬄资畟€字，可是如果不用假設(shè)法去加以驗證，很容易跌入“算術(shù)法”的（商+余數(shù)）誤區(qū)！

于是我決定：重組教材，在“因材施教”的同時，更應(yīng)該“因教選材”！

四、 我的《抽屜原理》設(shè)計理念

1. 課前游戲，引入課題

5位同學(xué)坐在4張椅子上，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學(xué)。

這個環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖是，從學(xué)生熟悉的“搶椅子”游戲開始，讓學(xué)生初步體驗不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學(xué)，使學(xué)生明確這是現(xiàn)實生活中存在著的一種現(xiàn)象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后面開展教與學(xué)的活動作了鋪墊。

2. 動手操作，動腦思考

（1）教學(xué)例1endprint

把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。為什么？

分析題目里，什么是“物體”，什么是“抽屜”，誰比較多，多多少；“不管怎么放”“總有一個文具盒”“至少”分別是什么意思？

完全理解透徹之后再動手嘗試，通過操作讓學(xué)生充分體驗感受。

這樣設(shè)計的目的是，讓學(xué)生理解最基本的抽屜原理，并在充分了解其基本原理之后，再進(jìn)行操作，有利于學(xué)生理解新知，化繁為簡。

最后驗證出結(jié)論“總有一個文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆”是成立的。之后告知同學(xué)們，剛才動手操作的這種方法叫做“枚舉法”，枚舉法的關(guān)鍵是要把每一種可能性都要列舉出來。

（2）感受枚舉法的優(yōu)劣

枚舉法的優(yōu)點是：直觀具體，一目了然。

然后我“因教選材”出示若干個變式，將例題1中的“物體”和“抽屜”的數(shù)量逐漸增多，這個時候用“枚舉法”證明“總有一個文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆”結(jié)論顯然很不方便，于是，需要一種新的方法來解決問題。

我的設(shè)計意圖是，通過對例題從量變到質(zhì)變，引發(fā)學(xué)生思維的碰撞，當(dāng)已有的知識里不具備解決問題的方法時，學(xué)生內(nèi)在地渴望學(xué)習(xí)新的知識。

（3）教學(xué)“假設(shè)法”

當(dāng)學(xué)生渴望學(xué)習(xí)新知的時候，我順理成章地教學(xué)“假設(shè)法”。

解決抽屜原理的一般方法是“假設(shè)法”?！凹僭O(shè)法”的核心：要做極端最壞的打算

我示范一次，讓學(xué)生充分和熟練掌握“假設(shè)法”的核心原理之后，嘗試他們自己證明其中一題，并在小組里交流，最后讓學(xué)生回頭用“假設(shè)法”驗證例題1，這樣設(shè)計的目的是，要讓學(xué)生充分感知，“假設(shè)法”是解決《抽屜原理》的一般方法。

（4）教學(xué)例2，變式引出“算術(shù)法”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

例題2和之前課堂上出示的題目不同類，是屬于原理2的一道最基礎(chǔ)的題目，學(xué)生要掌握也比較容易。之后我把例題2進(jìn)行改變，這種改變并不是簡單的像例題2那樣，把“5”改成“7”和“9”，然后找規(guī)律。而是再一次的“因教選材”，我除了把“5”改成“7”和“9”，再把書本上直接給出的結(jié)論改成一個問句。我的目的是通過巧妙的處理，呈現(xiàn)出“假設(shè)法”的“缺點”，當(dāng)題目沒有直接告知“總有一個抽屜至少放進(jìn)幾本書”的時候，用“假設(shè)法”假設(shè)每個抽屜先放進(jìn)幾本書好嗎？原來可以用的假設(shè)法（反證法），在這兩道經(jīng)過處理的特定的題目上，顯得很不方便了，這樣便可以激發(fā)學(xué)生求得新知的欲望。

（5）教學(xué)“算術(shù)法”

這時候進(jìn)行“算術(shù)法”的教學(xué)自然是水到渠成了。

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察這三道題中，誰是物體，誰是抽屜，物體比抽屜多多少，這其實就是對原理2的知識點教學(xué)，三道題的共同點都是物體數(shù)比抽屜數(shù)的N倍多1，所得的結(jié)論就是（N+1）。

算術(shù)法：物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)的核心是“總有一個抽屜至少放進(jìn)（商+1）本書”。

由于例題2及兩道變式的余數(shù)恰好是“1”，學(xué)生在通過觀察、比較和驗證之后，似乎覺得一切都是合情合理，于是也許會有學(xué)生推斷出“物體÷抽屜=商……余數(shù)總有一個抽屜至少放進(jìn)（商+余數(shù)）本書”，這時候老師在此處賣一個關(guān)子，不加以評論，只是讓他們猜測這個“商+余數(shù)”的結(jié)論是否正確。

（6）感悟算術(shù)法的核心所在

在大家都沒有結(jié)論的時候，我繼續(xù)“因教選材”。我先讓學(xué)生區(qū)分“商+1”和“商+余數(shù)”的區(qū)別，然后再呈現(xiàn)兩個“做一做”，但是都把結(jié)論去掉，改成一個問句：“7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里，為什么？”；“8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里，為什么？”

這樣的選材既來源于課本，又和課本有所不同，我把兩個做一做進(jìn)行巧妙的變化，并結(jié)合課件的直觀演示和“假設(shè)法”間接推理，使學(xué)生充分感受到算術(shù)法的核心關(guān)鍵是：不管余數(shù)是多少，結(jié)論都必須是（商+1），而不是（商+余數(shù)）。最后，學(xué)生都學(xué)得了真理。

（7）鞏固練習(xí)，觸類旁通

教科書第73頁的練習(xí)題中

第1題：“從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張是同花色。請說明理由。”

第2題：“張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？”

教材的用意和例題出示的順序一樣，第1題是“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的1倍多1；第2題是“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”的N倍多1?？墒俏í毴狈α恕拔矬w數(shù)”比“抽屜數(shù)”的N倍多幾的情況。所以我再次對教材做了“因教選材”的處理，這次的處理是因為他們的“變式”而決定了它們出現(xiàn)的順序。

①我先呈現(xiàn)第2題：“張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？”讓學(xué)生用已學(xué)的方法“假設(shè)法”和“算術(shù)法”進(jìn)行驗證。起到“承上”的作用。

然后出變式：張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是42環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于幾環(huán)。為什么？

讓學(xué)生先用“算術(shù)法”得出結(jié)論，再用“假設(shè)法”進(jìn)行驗證，既復(fù)習(xí)了“N倍多1”的驗證方法，也復(fù)習(xí)了“N倍多幾”的算術(shù)求證和假設(shè)驗證方法?？芍^一舉多得！

②我再呈現(xiàn)第1題：“從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張是同花色。請說明理由。”

然后出變式：“從兩副撲克牌中取出4張王牌，在剩下的104張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色。請說明理由。”

這個變式的價值在于，讓學(xué)生感悟“52”和“104”都只是原來的撲克數(shù)，只起到“足夠多”的作用，真正起作用的是抽出來的“5張”撲克牌。這個“足夠多”的條件和下一節(jié)課的例題3里面的“4”有著異曲同工之妙，所以這道拓展題是為下一節(jié)課作鋪墊，起到“啟下”的作用！

最后，我設(shè)計了一個還文具盒給老師的游戲來結(jié)束這節(jié)課。

“任意五位同學(xué)還文具盒給鐘老師，不管怎樣還，總有2個文具盒同顏色。為什么？猜一猜，老師帶來的文具盒有什么數(shù)學(xué)奧秘在里面？”

我這樣設(shè)計的意圖是：把課前發(fā)下去的文具盒還給老師，教學(xué)情景源于課堂，貼近學(xué)生的實際，并前后呼應(yīng)。此題的設(shè)計是不知道抽屜數(shù)是多少，通過學(xué)生實際操作，讓學(xué)生猜測，從而感悟出“物體數(shù)-1=抽屜數(shù)”，為下一節(jié)課將要學(xué)習(xí)的“抽屜數(shù)+1=物體數(shù)”作好鋪墊。

這就是我對《抽屜原理》教材的點滴理解，以及對教材進(jìn)行的若干處理，在研究教材的過程中，我還存在很多認(rèn)知困惑以及處理得不恰當(dāng)?shù)牡胤剑Ｍ蠹夷軌蚨嗵釋氋F意見！謝謝！endprint