平面向量與其它學(xué)科的相關(guān)性

趙金榮

摘 要：數(shù)學(xué)概念-向量與其他學(xué)科的相關(guān)性在本文中進(jìn)行了探討。主要從平面向量的加減法，數(shù)量積與物理學(xué)的關(guān)系，以及平面向量在飛機(jī)導(dǎo)航上的應(yīng)用進(jìn)行了討論。

關(guān)鍵詞：平面向量；向量的運(yùn)算；數(shù)量積；導(dǎo)航

作為數(shù)學(xué)教師，都知道在給學(xué)生講授數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是較為抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，使用一些學(xué)生較為熟悉的問題，或者與其他科目相關(guān)的知識(shí)引入，學(xué)生更容易對(duì)即將要學(xué)習(xí)的知識(shí)產(chǎn)生興趣，從而降低對(duì)新知識(shí)接受時(shí)的畏難情緒，從而提高學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)并沒有一般人想象中的抽象和晦澀，日常生活和我們所熟知的一些學(xué)科中都能夠找到恰當(dāng)?shù)恼n題與數(shù)學(xué)相關(guān)，比如說向量與物理學(xué)就有著息息相關(guān)的聯(lián)系。在本文中，我們將會(huì)從很一般地角度探索一下數(shù)學(xué)概念-向量與其他學(xué)科的相關(guān)性。

1 從概念上，向量就是物理學(xué)中的矢量

從數(shù)學(xué)角度，向量是與我們?nèi)粘Ｋ熘闹挥写笮〉臄?shù)量相對(duì)應(yīng)的量，這類量只用大小無法充分說明其特質(zhì)，要充分描述這些量，必須使用既有大小，又有方向的量，比如說物體運(yùn)動(dòng)的速度，受到的力，產(chǎn)生的位移，都必須使用既有大小又有方向的量來描述，這類量在物理上叫矢量，與這類量相應(yīng)的是標(biāo)量，通常情況下，物體的溫度、面積、體積、密度等，只需要大小就可以用標(biāo)量來描述。在數(shù)學(xué)上，與標(biāo)量對(duì)應(yīng)的就是數(shù)量。使用這些分析引入向量的概念，既能夠充分說明向量的特性：既有大小又有方向，又能通過對(duì)比告訴學(xué)生向量與數(shù)量的區(qū)別，同時(shí)也給出了這類量引入的物理意義之所在，從而說明了數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，高于生活，又被用來指導(dǎo)生活，讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)概念與其所熟悉的知識(shí)的相互聯(lián)系。

2 向量的運(yùn)算與物理的關(guān)系

在向量的學(xué)習(xí)中，我們要學(xué)習(xí)平面向量的加減、數(shù)乘以及向量的數(shù)量積，在這類問題的講授過程中，充分利用平面向量與物理的關(guān)系，更容易讓學(xué)生學(xué)會(huì)向量的運(yùn)算，同時(shí)，也能更順利地讓學(xué)生看到使用數(shù)學(xué)概念解決其他學(xué)科的問題需要的一般地思路。要說明這個(gè)問題，我們從幾個(gè)方面進(jìn)行說明。

（一）向量的加減法 從數(shù)學(xué)上，研究平面向量時(shí)，一般只需要考慮向量的大小和方向，不需要考慮其起點(diǎn)位置，所以數(shù)學(xué)上研究的平面向量可以在保證方向和大小不變的情況下在平面上自由地進(jìn)行平移，因此又稱為自由向量。所以，在把兩個(gè)向量相加時(shí)，可以才取兩種方法進(jìn)行，方法一就是，把相加的兩個(gè)向量進(jìn)行平移，使得二者的起點(diǎn)一致，然后以這兩個(gè)向量為平行四邊形的兩條邊作出一個(gè)平行四邊形，那么以這兩個(gè)向量的共有起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以與這個(gè)點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)為終點(diǎn)的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量就是這兩個(gè)向量的和向量，而這個(gè)平行四邊形的另一條對(duì)角線則是這兩個(gè)向量的差。另一個(gè)方法是，把相加的兩個(gè)向量首位相連，然后以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)決定的向量就是這兩個(gè)向量的和向量。向量的加法最適合用力的合成進(jìn)行解釋。因?yàn)椋?jīng)過試驗(yàn)證明如果兩個(gè)力，F(xiàn)和G作用在用一個(gè)物體上，二者的凈作用力與F+G的合力作用在這物體上的效果相同.再比如說，靜止在一斜面上的物體，受到的合力為零，所以保持靜止不動(dòng)。物體之所以能夠保持靜止，是因?yàn)檫@個(gè)物體受到的力相互抵消，處于平衡狀態(tài)，所以在分析這個(gè)物體的受力時(shí)，用到的就是力的差，而力是典型的向量。在數(shù)學(xué)上，研究的平面向量是自由向量，可以在平面內(nèi)自由移動(dòng)，但物理上的概念力，除了方向和大小之外，還需要有作用點(diǎn)，所以，盡管力在進(jìn)行加法或減法時(shí)允許平移，但最終得到的結(jié)果還需要平移到與加和的向量相同的起點(diǎn)，才能夠說明問題。利用力的合成與分解，說明向量的加法和減法，更能說明這類量的實(shí)際應(yīng)用。讓學(xué)生體會(huì)到向量這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在解決問題中的應(yīng)用.

（二）向量的數(shù)量積 實(shí)際上，在有些數(shù)學(xué)教材中，平面向量的數(shù)量積這個(gè)定義的引入就是使用物理中功的概念引入的。物理上，力和位移都是向量，一個(gè)恒定的力對(duì)物體所做的功等于這個(gè)力在位移的方向上的分量與位移的乘積。而力在位移方向上的分量大小是這個(gè)力與力與位移夾角的余弦值的乘積。而功又是一個(gè)數(shù)量。所以，常力做功的過程表示為。把這個(gè)概念推及到向量的點(diǎn)乘積，就是，這個(gè)結(jié)果是一個(gè)只有大小的數(shù)量，所以，向量的點(diǎn)乘積又叫做數(shù)量積。

3 平面向量在導(dǎo)航中的應(yīng)用

要說明這個(gè)問題，先需要引入一些術(shù)語。設(shè)一架飛機(jī)的航向是正東.這就意味著這架飛機(jī)正直向東行駛，如果沒有風(fēng)的影響，相對(duì)于地面，飛機(jī)應(yīng)該的確由西向東行駛.空速是飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度，而地速則是飛機(jī)相對(duì)于地面的速度.如果沒有風(fēng)速的影響，飛機(jī)的空速和地速應(yīng)該相等.現(xiàn)在，設(shè)飛機(jī)的航向和空速在圖1中用速度向量V表示.（V的方向是正直；V的大小是空速.）還假設(shè)風(fēng)速在圖17中用向量W表示.然后，向量V+W代表飛機(jī)的實(shí)際相對(duì)于地面的速度.V+W的方向叫做航線；是飛機(jī)相對(duì)于地面的移動(dòng)方向.V+W的大小是地速（前面已經(jīng)定義過）.

在導(dǎo)航中，方向是通過從實(shí)際的北方按順時(shí)針方向測量到的角.我們通過一個(gè)例題說明平面向量在飛機(jī)導(dǎo)航中的應(yīng)用。

比如：一飛機(jī)的航向和空速分別是60。和250mph.如果風(fēng)速是40mph，角度是150。，求這架飛機(jī)的地速，偏航角和航向.

解：如果用向量表示空速是250mph，方向60。.向量表示風(fēng)速是40mph，角度是150。.而且，角WOA=90。.使用向量的平行四邊形，可以得到向量和+=.的長度表示地速，角false表示偏航角.因?yàn)锽OA是一個(gè)直角三角形，我們有，那么，而

根據(jù)這些計(jì)算結(jié)果，可以總結(jié)出這架飛機(jī)的地速大約是253.2mph，偏航角大約是9.1。.我們?nèi)孕枰?jì)算出航向（也就是，向量的方向）.于是有

因此，航向是50.9。，到小數(shù)點(diǎn)后1位數(shù).（按照前面已經(jīng)提過的慣例，這些方向是從正北開始按順時(shí)針方向測量到的角.）

從上面可以看出，平面向量與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)性非常密切，我們在給學(xué)生介紹這些內(nèi)容時(shí)完全可以使用這些方面的內(nèi)容，讓學(xué)生消除對(duì)數(shù)學(xué)的偏見，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

參考文獻(xiàn)

[1]Precalculus A Problem-oriented-Approach，.Cohen，.Lee，.Sklar， 6ed. P666-667.endprint