三角函數(shù)與平面向量

■鄭州外國語學(xué)校 曹四清(正高級教師)

編者的話:基本知識和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。本期特約鄭州外國語中學(xué)曹四清等幾位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識。鄭州外國語中學(xué)是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學(xué)們通過閱讀,能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

1.關(guān)于特殊角的三角函數(shù)。

熟練掌握0°,30°,45°,60°,90°的特殊三角函數(shù)值;較高要求:了解15°,18°及其倍數(shù)的三角函數(shù)值。

2.同角三角函數(shù)間的關(guān)系。

同角三角函數(shù)有常用的三種基本關(guān)系:倒數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系與乘積關(guān)系。

倒數(shù)關(guān)系:如圖1,對角的兩個三角函數(shù)值的乘積為1。(1)sinα·cscα=1;(2)cosα·secα=1;(3)tanα·cotα=1。

平方關(guān)系:如圖1,在陰影三角形中,上面兩個頂點處的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點處的三角函數(shù)值的平方。sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α。

圖1

乘積關(guān)系(商數(shù)關(guān)系):(1)如圖1,六邊形任意頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點處函數(shù)值的乘積。sinα=cosα·tanα,cosα=sinα·cotα,cotα=cosα·cscα。(2)如圖1,六邊形任意頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的頂點處與次相鄰的頂點處函數(shù)值的商。

(2)三角函數(shù)值的給出一般有兩種情況。(1)給出一個具體值(根據(jù)此值來確定所討論的象限);②給出一個未知的常數(shù)(根據(jù)平方關(guān)系確定要討論的象限)。

(3)任意給出一個三角函數(shù)值,都可以求出其他的五個三角函數(shù)值。已知sinα=a(a≠0,±1),試求

α的其他五個三角函數(shù)值。

3.弧長與扇形面積公式。

4.誘導(dǎo)公式。

口訣:“奇變偶不變,符號看象限,α當(dāng)作銳角看”。

5.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

(1)圖像的變換。

三角函數(shù)的變換方式有六條路徑。y=Asin(ωx+φ),其中參數(shù)有A,ω,φ,變換的種類數(shù)就是其排列數(shù),有=6(種)。

(2)圖像的性質(zhì)。

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)要從定義域、值域、函數(shù)關(guān)系、特殊點、對稱性(奇偶性)、單調(diào)性、周期性等方面進行歸納總結(jié)。

圖2

1.兩向量共線。

(1)b≠0,若a∥b,則存在實數(shù)λ,使得a=λb。

(2)坐標(biāo)表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0。

2.兩向量垂直。

(1)向量a,b,若a⊥b?a·b=0。

(2)坐標(biāo)表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0。

3.平面向量基本定理。

圖3

4.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎?

實數(shù)乘法結(jié)合律:(xy)z=x(yz)。分別用一個、兩個、三個向量去代替式中的x、y、z便可得到:實數(shù)與向量的積滿足結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a,內(nèi)積滿足結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb),同時得到了三個向量的結(jié)合式:(a·b)c=(b·c)a,此式記作(*)式,顯然它不一定成立。那么,何時它成立呢?

當(dāng)a=0或b=0或c=0時,式子顯然成立。

當(dāng)a≠0且b≠0且c≠0時:

(1)若a、c不共線,則:

①a·b≠b·c,顯然不成立;

②a·b=b·c≠0,顯然不成立;

③a·b=b·c=0,則有b⊥a,b⊥c,則a∥c,矛盾。

可知,a、c不共線時不成立。

(2)若a、c共線,則由共線向量定理,得a=λc(λ∈R),所以(a·b)c=(λc·b)c=λ(b·c)c=(b·c)(λc)=(b·c)a,從而(a·b)c=(b·c)a成立。

綜上,a、b、c至少一個為0或a∥c時,(*)式成立,反之不成立。

在向量研究中,每個向量式都對應(yīng)了一個坐標(biāo)式,用坐標(biāo)法研究上式如下:

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),則(a·b)c=(x1x2+y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),(b·c)a=(x2x3+y2y3)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)。

由(a·b)c=(b·c)a,即(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3),所以

論與用向量運算得出的結(jié)論是一致的。

5.為什么要學(xué)習(xí)投影?

圖4

(推導(dǎo)點到直線的距離公式)已知P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0(A、B不全為0),求證:點P到直線l的距離為

證明:n=(A,B)是l的一個法向量,M(x,y)是l上任意一點,如圖5。

圖5