數(shù)列與不等式

■鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 王艷麗

(一)數(shù)列

1.等差與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式。

等差數(shù)列 等比數(shù)列=q an+1-an=d an+1 an定義an+2-an+1=an+1-an an+2 an+1=an+1 an通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m

2.合理選用等差、等比數(shù)列的求和公式。

3.常用性質(zhì)。

(1)在等差數(shù)列{an}中,若自然數(shù)m、n、p、q滿足:m+n=p+q(m、n、p、q都是正整數(shù)),則am+an=ap+aq。

類比:在等比數(shù)列bn{}中,若自然數(shù)m、n、p、q滿 足:m+n=p+q(m、n、p、q都 是 正整數(shù)),則bnbm=bpbq。

(2)若{an}是等差數(shù)列,Sn為前n項(xiàng)和,列。

類比:若{bn}是等比數(shù)列,Tn為前n項(xiàng)積,則 {}是以b1為首項(xiàng)、q為公比的等比數(shù)列。

(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…仍構(gòu)成等差數(shù)列,公差為m2d。特別地,S3m=3(S2m-Sm)。

(二)不等式

1.均值不等式拓展。

2.柯西不等式。

向量形式:|a||b|≥|a·b|;特殊形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2。

3.平面三角不等式。

4.貝努利不等式。

(1+x)n＞1+nx,(x＞-1,x≠0,n為大于1的正整數(shù))。

5.排序不等式。

“逆序和≤亂序和≤順序和”,即設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí),逆序和等于順序和。

1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an-2n,求an。

審題方法:先求出a1,再求an(n≥2),驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合an。

解題思路:(1)當(dāng)a=0時(shí),Sn=-2n。

若n≥2,an=Sn-Sn-1=-2n-(-2n-1)=-2n-1。

若n=1,a1=S1=-2,不適合an=-2n-1。

(2)當(dāng)a≠0時(shí),an=(a-1)an-1-2n-1(請(qǐng)讀者自己完成)。

多解多變:為什么a=0時(shí),an=Sn-Sn-1=-2n-1不是通項(xiàng)公式?為什么a≠0時(shí),an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1-2n-1就是通項(xiàng)公式呢?an=Sn-Sn-1對(duì)n=1也成立的充要條件是什么?

當(dāng)n=1時(shí),a1=S1-S0,又a1=S1,所以S0=0。因此,an=Sn-Sn-1對(duì)n=1也成立的充要條件是S0=0。

于是,我們總結(jié)出了能否直接用“an=Sn-Sn-1”求通項(xiàng)公式的判別方法:

①當(dāng)S0=0時(shí),an=Sn-Sn-1;

2.在數(shù)列 an{}中,a1=1,an=3an-1+2(n≥2,且n∈N*),求通項(xiàng)公式an。

審題方法:考慮如何將不規(guī)范的式子化為規(guī)范的式子,將式子變?yōu)榈炔罨虻缺葦?shù)列的基本形式,可以嘗試待定系數(shù)法、換元法,兩邊除以某個(gè)數(shù)的n次方,求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步即可求解。

解題思路:設(shè)an+k=3(an-1+k),則an=3an-1+2k,于是2k=2,可得k=1,因此an+1=3(an-1+1),故{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列。

所以an+1=2·3n-1,即an=2·3n-1-1(n ∈N*)。

多解多變:(換元法)由已知遞推式可得

①-②得an+1-an=3(an-an-1),設(shè)b=a-a,則

因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=a2-a1=5-1=4,公比為3的等比數(shù)列。

又bn=an+1-an=4×3n-1,故an=2·3n-1-1(n ∈N*)。

因此an=2·3n-1-1(n ∈N*)。