帶有連續(xù)狀態(tài)約束的最優(yōu)控制問題的近似求解

包巴圖吉力根,孫志玲

(內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼 028000)

帶有連續(xù)狀態(tài)約束的最優(yōu)控制問題的近似求解

包巴圖吉力根,孫志玲

(內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼 028000)

研究了帶有連續(xù)狀態(tài)不等式約束的最優(yōu)控制問題.應用控制函數參數化方法將最優(yōu)控制問題轉換為有限維優(yōu)化問題,應用積分熵函數將連續(xù)狀態(tài)不等式約束近似為一般約束,證明了約束近似方法的收斂性.

最優(yōu)控制;連續(xù)狀態(tài)約束;非線性規(guī)劃

最優(yōu)控制是個重要的研究方向,它應用于很多方面,如工程、經濟和金融等．最優(yōu)控制問題的解一般沒有解析表達式,因此最優(yōu)控制的數值方法很重要．關于帶有連續(xù)狀態(tài)不等式約束的最優(yōu)控制有很多研究[1-3]．文獻[1-2]中給出一個光滑函數近似函數max{·,0},將連續(xù)狀態(tài)約束近似為光滑的一般約束,結合控制參數化方法給出了計算方法．文獻[3]中用離散化方法,將連續(xù)狀態(tài)約束近似為有限多個一般約束,應用min max優(yōu)化問題方法求解．熵函數方法是求解min max優(yōu)化問題的一個有效方法[4-5]．

考慮帶有連續(xù)狀態(tài)不等式約束的最優(yōu)控制問題．應用控制函數參數化方法將最優(yōu)控制問題轉換為有限維優(yōu)化問題．應用積分形式的熵函數,將連續(xù)狀態(tài)不等式約束近似為光滑的一般約束. 證明了約束近似方法的收斂性.

1 問題描述

考慮由下面常微分方程描述的系統:

(1)

其中:T為固定的終端時刻,x(t)∈Rn為狀態(tài)變量,初始狀態(tài)為x0∈Rn,u(t)∈Rr為控制函數,f∶Rn×Rr→Rn為給定的函數．

定義允許控制集:U={u∶[0，T]→Rr|u(t)}為分段連續(xù)函數,u(t)∈Ω,t∈[0，T]},其中Ω?Rr為有界閉凸集．

假設1 函數f連續(xù)可微,并且存在常數Kgt;0使得:

‖f(x(t),u(t))‖≤K(1+‖x‖),(x,u)∈Rn×Rr.

在滿足假設1時,對u(·)∈U系統(1)存在唯一解,記為x(·|M).

下面給出最優(yōu)控制問題:

(P1)minJ(u)=Φ(x(T|u))

s.t.u∈U,

h(x(t|u),u(t))≤0,?t∈[0，T].

假設2 函數Φ和h連續(xù)可微.

2 問題近似

最優(yōu)控制問題的解一般沒有解析表達式,控制參數化是求解最優(yōu)控制問題的一個有效數值方法．本文中取控制函數為分段常值函數.

令pgt;1為給定的整數,定義:

Γp={τ∈Rp+1|τ0=0,τp=T,Δ≥τi+1-τi≥δ,i=1,2,…,p-1}

其中:δgt;0為最小劃分長度,Δgt;0為最大劃分長度,且p→∞時Δ→0.τ∈Γp為區(qū)間[0，T]的一個劃分．

定義1Ξp={σ∈Rp|σi∈Ω,i=1,2,…,p}.

(P2)minJp(u)=Φ(χp(T|σ,τ))

s.t. (σ,τ)∈Ξp×Γp,

問題(P2)是個有限維優(yōu)化問題,劃分點τi是變動的,這樣會使求解過程增加難度．應用時間轉換方法[2]給出一個固定切換點的系統．

令θi=τi-τi-1,i=1,2,…,p.定義:Θp={θ∈Rp|θ1+θ2+…+θp=T,Δ≥θi≥δ,i=1,2,…,p}

令:

其中:Ii=[i-1,i),i=1,2,…,p-1和Ii=[i-1,i],i=p.由系統(1)得到新的系統:

(2)

y(i+)=y(i-),i=1,2,…,p-1

(3)

對(σ,θ)∈Ξp×Θp系統(2)～(3)存在唯一解,記為y(·|σ,θ).給出新問題(P3),

s.t. (σ,θ)∈Ξp×Θp,

h(y(s),σi)≤0,?s∈Ii,i=1,2,…,p.

定理1 問題(P2)和問題(P3)等價．

證明過程可見文獻[2]．

3 問題求解

問題(P3)中h(y(s),σi)≤0,?s∈Ii是連續(xù)狀態(tài)不等式約束,等價于下面的約束：

這里應用文獻[5]中的方法,給出Hi(σ,θ)的光滑近似,

其中ρgt;1為逼近參數．

下面給出光滑近似的幾個性質．

給出光滑近似問題(P4),

s.t. (σ,θ)∈Ξp×Θp,

由引理1和2可知對任何εgt;0存在充分大的ρ使得問題(P4)的最優(yōu)解是問題(P3)的可行解．

假設3 問題(P3)的可行域Fp非空．

和

令ε→0,由δ1gt;0任意性,結論成立．

4 數值結果

考慮下面最優(yōu)控制問題[6],求最優(yōu)控制函數u∶[0，4.5]→R,目標為：

系統方程為:

初始狀態(tài)為:

x1(0)=-5,x2(0)=-5,

約束為:

[1] TEO K L,JENNINGS L S.Nonlinear optimal control problems with continuous state inequality constraints [J].Journal of Optimization Theory and Applications,1989,63(1):1-22.

[2] LOXTON R C,TEO K L,REHBOCKA V,et al.Optimal control problems with a continuous inequality constraint on the state and the control [J],Automatica,2009 45:2250-2257.

[3] POLAK E,YANG T H,MAYNE D Q.A method of centers based on barrier functions for solving optimal control problems with continuous state and control constraints [J].SIAM Journal on Control and Optimization,1993,31: 159-179.

[4] PEE E Y,ROYSET J O.On solving large-scale finite minimax problems using exponential smoothing [J].Journal of Optimization Theory and Applications,2011,148: 390-421.

[5] 周廣路,王長鈺,張玉忠.半無限規(guī)劃問題的一個有效解法 [J].計算數學,1999,21(1) :3-8.

[6] GERDTS M.Global convergence of a nonsmooth Newton method for controlstate constrained optimal control problems [J].SIAM Journal of Optimization,2008,19(1):326-350.

[7] JENNINGS L S,TEO K L,FISHER M E,et al.Miser 3.2 optimal control software:Theory and User Manual[M].Australia:Department of Mathematics and statistics,The University of Western Australia.1997.

責任編輯：時凌

ApproximationMethodforOptimalControlProblemswithaContinuousInequalityConstraint

BAO Batujiligen,SUN Zhiling

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for nationalities,Tongliao 028000,China)

We consider optimal control problems with a continuous inequality constraint.By using control parametrization method，optimal control problem can be transformed into a finite dimensional optimization problem.Continuous inequality constraint is approximated by a smooth function.The convergence result of constraint approximation is given.

optimal control;continuous state inequality constraint; nonlinear programming

2017-05-25.

內蒙古自治區(qū)自然科學基金項目(2014BS0106); 內蒙古民族大學博士科研啟動基金項目(BS376) .

包巴圖吉力根(1982-),男(蒙古族),博士,講師,主要從事運籌學與控制論的研究.

1008-8423(2017)04-0387-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.007

O232

A