等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用賞析

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用賞析

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

等差數(shù)列無處不在,等比數(shù)列也是如此,下面給同學(xué)們舉上幾例。

一、節(jié)能減排問題

我國積極應(yīng)對(duì)氣候變化,提出到2020年碳排放強(qiáng)度要達(dá)到比2005年下降40%的減排目標(biāo)。已知2005年我國碳排放強(qiáng)度約為3噸/萬元,以后每年的碳排放強(qiáng)度均比上一年減少0.08噸/萬元。

(1)問能否在2020年實(shí)現(xiàn)減排目標(biāo),并說明理由。

(2)若2005年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值為a萬元,且以后每年均以8%的速度遞增,問從哪年起二氧化碳排放量開始減少。注釋:“碳排放強(qiáng)度”是指每萬元國內(nèi)生產(chǎn)總值的二氧化碳排放量。

解析:(1)依題意知,自2005年起每年的碳排放強(qiáng)度構(gòu)成等差數(shù)列{an},且a1=3,公差d=-0.08,所以an=3+(n-1)·(-0.08)=3.08-0.08n。因此,2020年碳排放強(qiáng)度為a16=1.8。又3.0×(1-40%)=1.8,所以2020年能實(shí)現(xiàn)減排目標(biāo)。

(2)從2005年起,逐年國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成首項(xiàng)為a,公比為1.08的等比數(shù)列,所以第n年國內(nèi)生產(chǎn)總值為a·1.08n-1萬元。由(1)知第n年碳排放強(qiáng)度為an=3.08-0.08n,故第n年全國二氧化碳排放總量為bn=a·1.08n-1·(3.08-0.08n)。

所以bn+1=a·1.08n·(3.08-0.08n-0.08)=a·1.08n·(3-0.08n)。

因此,bn+1-bn=a·1.08n·(3-0.08n)-a·1.08n-1·(3.08-0.08n)

=a·1.08n-1·(0.16-0.0064n)。

由bn+1＜bn,解得n≥25。

故從第26年也就是2030年開始,全國二氧化碳排放的總量開始減少。

點(diǎn)評(píng):在實(shí)際問題中,常常遇到有關(guān)平均增長率(如復(fù)利、人口增長率、產(chǎn)值增長率等)的問題,求解時(shí)常用到公式y(tǒng)=N(1+p)x,其中N表示原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù),p為平均增長率,y表示對(duì)應(yīng)于時(shí)間x的產(chǎn)值。

二、中國人口問題

中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征,測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一,再不實(shí)施“放開二胎”新政,整個(gè)社會(huì)將會(huì)出現(xiàn)一系列的問題。若某地區(qū)2015年人口總數(shù)為45萬,實(shí)施“二胎”新政后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人,從2026年開始到2035年每年人數(shù)為上一年人數(shù)的99%。

(1)求實(shí)施新政策后第n年的人口總數(shù)an的表達(dá)式(注:2016年為第一年);

(2)若新政實(shí)施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬,則需調(diào)整政策,否則繼續(xù)實(shí)施,問到2035年后是否需要調(diào)整政策。(說明:0.9910=(1-0.01)10≈0.9。)

解析:(1)由題意可知,從2016年開始到2025年每年人口數(shù)成等差數(shù)列,而從2026年開始到2035年每年人口數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列,由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可。

當(dāng)n≤10時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為45.5,公差為0.5的等差數(shù)列,故an=45.5+0.5×(n-1)。

當(dāng)n≥11時(shí),數(shù)列{an}是公比為0.99的等比數(shù)列,又a10=50,所以an=50×0.99n-10。

因此,實(shí)施新政策后第n年的人口總數(shù)an(單位:萬)的表達(dá)式為:

(2)先求出從2016年到2035年的人口總數(shù)S20,再求其平均值即可。

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則從2016年到2035年共20年,由等差數(shù)列及等比數(shù)列求和公式得:

S20=S10+(a11+a12+…+a20)

=477.5+4950×(1-0.9910)≈972.5(萬)。

點(diǎn)評(píng):本題難度中等,考查了數(shù)列知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。本題命題的著眼點(diǎn)是當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn):“二胎”新政和社會(huì)老齡化問題。用數(shù)列知識(shí)來詮釋社會(huì)問題,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的密不可分。

三、我國數(shù)學(xué)史上的等比數(shù)列

《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是中國古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位著。書中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還?！?/p>

題目的大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地。”則該人最后一天走的路程是多少?

解析:仔細(xì)閱讀題目,不難看出這是個(gè)等比數(shù)列問題,可以歸結(jié)為“知三求二”的基本題型。

記每天走的路程里數(shù)為{an},則數(shù)列的等比數(shù)列,且該數(shù)列的前六項(xiàng)之和S6=378。

由等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式,可得S6=

所以該人最后一天走的路程是6里。

(責(zé)任編輯 徐利杰)