如何利用函數(shù)的單調(diào)性解題

■河南省沈丘縣第二高級中學(xué)高二(23)班 王玢珂

如何利用函數(shù)的單調(diào)性解題

■河南省沈丘縣第二高級中學(xué)高二(23)班 王玢珂

函數(shù)的單調(diào)性是我們在學(xué)習函數(shù)時要掌握的重要性質(zhì)之一,也是每年高考考查函數(shù)時要重點考查的內(nèi)容。在高考試題中,我們通常所見到的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來解決的問題不外乎求參數(shù)的取值范圍、解不等式與求函數(shù)的最值等三類。

一、利用函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍

二、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

如果是利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,則一定要注意函數(shù)的定義域,也就是要先落實函數(shù)的定義域,否則極易出現(xiàn)錯解。

例2 已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),定義域為(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范圍。

解析:因為f(x)+f(x-3)≤2,f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。

又因為f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4。

由題意知,滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的解可由以下不等式組解得:

故x的取值范圍是3＜x≤4。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值

因為0＜x1＜x2≤1.6,所以x1-x2＜0,且x1·x2-3＜0。

所以f(x1)-f(x2)＞0,即函數(shù)f(x)在0＜x≤1.6上是減函數(shù)。

所以f(x)≥f(1.6)=-0.525,故所求函數(shù)的最小值為-0.525,無最大值。

評析:該題是一個解答函數(shù)求解最值的問題,函數(shù)單調(diào)性在解答過程中的運用主要體現(xiàn)在通過題設(shè)所給函數(shù)等價變形為f(x),把原問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的討論,明確單調(diào)性后利用單調(diào)性達到求解最值的目的。

(責任編輯 趙 平)