將數(shù)學(xué)建模的思想融入代數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法中

秦瑩瑩

摘要：代數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，學(xué)科中的微積分、代數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究自然現(xiàn)象、揭示自然規(guī)律、探索規(guī)模應(yīng)用的理論研究工具。在高等數(shù)學(xué)的這些分支中，代數(shù)學(xué)的重要性尤其突出，特別是隨著大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算與大規(guī)模工程應(yīng)用的發(fā)展，越來(lái)越多的科學(xué)領(lǐng)域都比以往更加迫切地需要代數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用支持。如何教好代數(shù)學(xué)？如何讓代數(shù)學(xué)適應(yīng)時(shí)代的需要？如何讓學(xué)生們學(xué)以致用？都是每個(gè)代數(shù)學(xué)教師必須考慮的問(wèn)題。本文將從代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，闡述數(shù)學(xué)建模思想在代數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法中的實(shí)踐與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：代數(shù)學(xué)；驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）45-0199-03

一、引言

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)分支，它和作為整個(gè)體系的數(shù)學(xué)一樣具有悠久的歷史。代數(shù)學(xué)（Algebra）一詞最初來(lái)源于9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家和天文學(xué)家花拉子米的重要著作的名稱[1，2]。原義是還原（al-jabr）與相消（almuquabalah）的科學(xué)，簡(jiǎn)稱為“algebra”。從20世紀(jì)初以來(lái)，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用的需要，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象以及研究方法發(fā)生了巨大的變革。代數(shù)學(xué)是以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之一，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、數(shù)字通信（開(kāi)關(guān)電路、編碼、密碼）、系統(tǒng)工程、近代物理與近代化學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用[3-5]，例如：代數(shù)學(xué)與代數(shù)方程求解；代數(shù)學(xué)與密碼學(xué)。

在大學(xué)本科的教學(xué)體系中代數(shù)學(xué)分為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課《高等代數(shù)》，64學(xué)時(shí)；數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課《近世代數(shù)》（也叫抽象代數(shù)），32學(xué)時(shí)；其他專業(yè)的必修課《線性代數(shù)》，32學(xué)時(shí)。這樣的設(shè)計(jì)體系比較完善，教學(xué)內(nèi)容也較豐富，但是存在一些問(wèn)題，比如：課時(shí)量不夠；理論與應(yīng)用模塊不能相輔相成。就拿《線性代數(shù)》來(lái)說(shuō)，筆者一直從事該課程的教學(xué)，每年都在向教務(wù)部門反映，32學(xué)時(shí)只夠用來(lái)講理論知識(shí)，根本沒(méi)時(shí)間進(jìn)行知識(shí)的應(yīng)用展開(kāi)，理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)，導(dǎo)致很多學(xué)生學(xué)得迷茫，不知道為什么學(xué)，學(xué)了有什么用。

二、代數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀

在學(xué)校發(fā)展高水平大學(xué)的指向下，代數(shù)學(xué)的課程改革略顯滯后，很多書(shū)本知識(shí)過(guò)于陳舊，很多理論證明過(guò)于深?yuàn)W，很多應(yīng)用舉例只是皮毛沒(méi)有發(fā)揮真實(shí)的啟發(fā)作用。筆者在近幾年的教學(xué)過(guò)程中總結(jié)了代數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些問(wèn)題，具體表現(xiàn)如下：（1）代數(shù)學(xué)書(shū)本中的應(yīng)用資源有限，無(wú)法積極培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)操能力；（2）現(xiàn)有的教學(xué)方法落后，不能很好的和學(xué)生互動(dòng)，不能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性；（3）教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)單機(jī)械，無(wú)法及時(shí)檢查教學(xué)效果，導(dǎo)致學(xué)生討論不積極，打消學(xué)生的自主學(xué)習(xí)勁頭；（4）現(xiàn)有的考核方法單一，無(wú)法體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的努力程度，給少數(shù)投機(jī)的學(xué)生有了投機(jī)取巧的機(jī)會(huì)。鑒于以上問(wèn)題，筆者在課堂上采用了一種新的教學(xué)方法：將數(shù)學(xué)建模的思想融入代數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法中，實(shí)施以來(lái)教學(xué)效果良好，教學(xué)成績(jī)斐然，學(xué)生普遍反映教好。下面我們以一堂《線性代數(shù)》課的課堂教學(xué)為例來(lái)闡述數(shù)學(xué)建模思想在代數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法中的實(shí)踐與應(yīng)用[6-8]。

三、將數(shù)學(xué)建模的思想融入代數(shù)學(xué)的驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法中

在上一節(jié)課中我們講了線性方程組的求解，了解了線性方程組的定義、來(lái)源、求解以及應(yīng)用，今天這節(jié)課我們重點(diǎn)講一下線性方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)如何利用課本知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。

目前中國(guó)的超重和肥胖人數(shù)就位列美國(guó)之后，處于全球第二，有4600萬(wàn)左右。這個(gè)數(shù)字比起中國(guó)的人口總數(shù)而言還不算大，但是中國(guó)的肥胖趨勢(shì)是非常明顯的。英國(guó)海外發(fā)展研究所一份最新報(bào)告顯示，1980—2008年，中國(guó)的肥胖人數(shù)幾乎翻番，簡(jiǎn)直是“肥胖爆炸性增長(zhǎng)”。為了讓自己更健康、更自信、更開(kāi)心的生活，我們有必要科學(xué)、合理地控制自己的體重，要控制自己的體重首先要加強(qiáng)體育鍛煉，其次應(yīng)控制飲食，將攝入的能量總量限制在1000—1500千卡/天。一個(gè)節(jié)食者準(zhǔn)備一餐的食物A、B、C，三種食物每一盎司中所含蛋白質(zhì)、脂肪、糖如下表所示。

問(wèn)：能否使這一餐必須精確地含有25單位蛋白質(zhì)，24單位脂肪以及21單位糖？如果可以，節(jié)食者每種食物需要準(zhǔn)備多少盎司？（每盎司為28.35g）

問(wèn)題分析與討論15分鐘，將班上的學(xué)生每3人分成1組，每個(gè)成員確定自己各自的任務(wù)和合作的部分。分析問(wèn)題之后大部分組都可以給出問(wèn)題的求解思路、應(yīng)用到的基本知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件。該問(wèn)題涉及到的書(shū)本知識(shí)為非齊次線性方程組的建立，矩陣的行初等變換，優(yōu)化問(wèn)題的求解與應(yīng)用；問(wèn)題求解用到的軟件為Matlab。

模型假設(shè)5分鐘：根據(jù)實(shí)際情況，很多學(xué)生都能抓住該問(wèn)題的本質(zhì)，做出必要、合理的簡(jiǎn)化假設(shè)。

1.假設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不會(huì)出錯(cuò)。

2.假設(shè)節(jié)食者每天按標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)食，不會(huì)出錯(cuò)。

3.假設(shè)這一餐準(zhǔn)備蛋白質(zhì)x1盎司，脂肪x2盎司，糖 x3盎司。

模型建立和求解25分鐘：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)際要求，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量的線性方程組模型，并用解方程、數(shù)值計(jì)算等方法來(lái)求解該模型。該過(guò)程大部分小組都完成的很好，現(xiàn)以1組為例來(lái)說(shuō)明情況。

根據(jù)假設(shè)蛋白質(zhì)x1盎司，脂肪x2盎司，糖x3盎司，建立的需求模型為：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用矩陣的行初等變換，求解該模型（也即求解非齊次線性方程組）

2 3 3 253 2 3 244 1 3 21 1 0 0 3.20 1 0 4.20 0 1 2 （2）

根據(jù)（2）式的結(jié)論，可知方程組（1）有唯一解，而且該唯一解可以表示為：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。endprint

對(duì)于問(wèn)題“能否使這一餐必須精確地含有25單位蛋白質(zhì)，24單位脂肪以及21單位糖？”因?yàn)榉匠探M（1）有解也即需求模型有解，所以我們可以根據(jù)節(jié)食者的要求為其配置符合要求的減肥餐。

對(duì)于問(wèn)題“如果可以，節(jié)食者每種食物需要準(zhǔn)備多少盎司？”根據(jù)（2）式的結(jié)論，可知方程組（1）有唯一解，根據(jù)這一結(jié)果我們可以為節(jié)食者儲(chǔ)備的食物為蛋白質(zhì)3.2盎司，脂肪4.2盎司，糖2盎司。這樣的配置既可以滿足節(jié)食者的能量要求，又可以達(dá)到減肥的效果。

模型分析25分鐘：通過(guò)建立這個(gè)需求模型，我們發(fā)現(xiàn)要檢驗(yàn)一個(gè)事件發(fā)生的可能性，就必須做足夠多次的試驗(yàn)并且應(yīng)該提出合理的假設(shè)，因?yàn)橐淮位驇状螌?shí)驗(yàn)容易造成結(jié)果出現(xiàn)偶然性，不足以為實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供充分有力的依據(jù)，同時(shí)我們能通過(guò)求解事件發(fā)生的概率來(lái)肯定或者否定我們的假設(shè)，當(dāng)然這也必須在假設(shè)具有確定性的情況下。同時(shí)，我們也應(yīng)該從其他方面考慮這一問(wèn)題，如果食物的種類較多時(shí)，建立的需求模型其階數(shù)就比較大，此時(shí)再用矩陣的行初等變換來(lái)求解模型就顯得不合實(shí)際了。因?yàn)檫@一方法在求解小階方程組時(shí)效果明顯，但是當(dāng)階數(shù)較大時(shí)，該方法只能是理論上可行，實(shí)際操作起來(lái)困難太大。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行深入地分析，部分小組提出了模型求解的新方法：利用Matlab編程求解。

建立的需求模型仍就為：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用Matlab編程求解該模型：

A=[2，3，3；3，2，3；4，1，3]；

B=[25；24；21]；

x=A＼B

x=[3.2；4.2；2]；

可知方程組（1）有唯一解，而且該唯一解可以表示為：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。

模型檢驗(yàn)與應(yīng)用10分鐘：先分析兩種求解方法，可知第一種方法簡(jiǎn)單易懂但是適用范圍太小，第二種求解方法不用考慮未知量的個(gè)數(shù)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算當(dāng)中。這個(gè)模型可應(yīng)用于類似題干中這種需求、優(yōu)化等問(wèn)題。我們可以先假設(shè)結(jié)論成立或者結(jié)論不成立，但是結(jié)論必須是相對(duì)的且不能出現(xiàn)第三種情況；接著我們用代數(shù)學(xué)的知識(shí)求解和檢驗(yàn)，若是得出的概率非常小，我們就把它視為幾乎不可能發(fā)生的事件；最后我們?cè)侔凑疹}意要求得出結(jié)論。

這個(gè)模型只是用于一般的需求模型，例如上題的減肥等相同的類型題。但是在模型假設(shè)的過(guò)程中，有些干擾的因素是否可以忽略我們要懂得分辨，盡管忽略一些假設(shè)可以使我們的題目更加簡(jiǎn)單易解，可是有一些因素是解題的至關(guān)要點(diǎn)，我們必須把它列入考慮范圍內(nèi)，因?yàn)槿绻贿@樣做，很可能就造成了問(wèn)題失真，以至于脫離了原題目的本質(zhì)。

課堂作業(yè)點(diǎn)評(píng)10分鐘：按照問(wèn)題求解的科學(xué)思路，筆者點(diǎn)評(píng)了每個(gè)小組的作業(yè)完成情況與質(zhì)量，當(dāng)堂打分記作平時(shí)成績(jī)，此外還留下模型的延伸與重建作為課后練習(xí)。

通過(guò)類似問(wèn)題的學(xué)習(xí)與解決，學(xué)生們學(xué)會(huì)了如何應(yīng)用書(shū)本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，了解了所學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，完美打通了理論知識(shí)與實(shí)際能力培養(yǎng)之間的障礙。為學(xué)生以后的工作和學(xué)習(xí)奠定了一定的實(shí)操基礎(chǔ)，也樹(shù)立了他們的自信心。筆者以該方法為手段實(shí)際培養(yǎng)了兩屆學(xué)生，總體來(lái)說(shuō)效果突出，一方面學(xué)生學(xué)到了理論知識(shí)和實(shí)操能力，另一方面教師很好地掌握了學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，可以及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)需要的人才，增加教師的工作成就感。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陳小松.高等代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

[3]張凱院，徐仲.數(shù)值代數(shù)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2000.

[4]楊曙光.“問(wèn)題解決”教學(xué)法的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，（6）.

[5]M.HMELO，C.E.FERRARI，The Problem base learning tutorial：Cultivation higher or der thinking skills [J].Journal for the Education of the Gifted，1997，20 （4）：401-422.

[6]姜啟源，謝金星，等.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]王庚，王敏生.現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[8]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，（1）：9-11.endprint