活學(xué)活用 克服思維定勢(shì)*
——兼談2017年浙江省數(shù)學(xué)高考解答題

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(臺(tái)州市第一中學(xué),浙江 臺(tái)州 318000)

活學(xué)活用克服思維定勢(shì)*
——兼談2017年浙江省數(shù)學(xué)高考解答題

●洪昌強(qiáng)

(臺(tái)州市第一中學(xué),浙江 臺(tái)州 318000)

2017 年浙江省數(shù)學(xué)高考解答題的題型似乎都比較熟悉，但解題方法靈活多樣，尤其注重批判性思維的考查，要求考生活學(xué)活用，克服思維定勢(shì)．

高考; 解答題; 思維定勢(shì)

2017年是浙江省數(shù)學(xué)高考文理合卷首年，試卷設(shè)計(jì)在注重?cái)?shù)學(xué)綜合素養(yǎng)考查的同時(shí),關(guān)注思維能力的層次性考查，試題比較性測(cè)試功能明顯.試卷總體難度較近幾年有所降低，但與全國(guó)或各省(市)卷相比較還具有一定的難度，尤其是解答題的第19，21，22題這3道題，多數(shù)考生反映失分較多(據(jù)評(píng)卷抽樣統(tǒng)計(jì)：這3道題難度系數(shù)分別為0.6，0.37，0.2).為什么學(xué)生在這3道題上失分較多呢？導(dǎo)致失分的原因何在呢？筆者就此談?wù)剛€(gè)人的一些見解.

1 向量法被先入為主

圖1

例1如圖1，已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).

1)證明：CE∥平面PAB;

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

空間向量為解決立體幾何問題提供了一種工具，當(dāng)下的立體幾何教學(xué)中，對(duì)空間的角和距離計(jì)算偏重于向量法.受思維的慣性作用,大多數(shù)學(xué)生選用了向量坐標(biāo)法.如圖1，“如何建立空間直角坐標(biāo)系？怎樣求點(diǎn)P，E的坐標(biāo)？”這是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)條件，多數(shù)學(xué)生把原點(diǎn)選在AD的中點(diǎn)N，此時(shí)，空間幾何能力較弱的學(xué)生錯(cuò)誤地把點(diǎn)P當(dāng)作z軸上的點(diǎn)進(jìn)行處理.也有部分學(xué)生知道點(diǎn)P不在z軸上,但如何求出點(diǎn)P,E的坐標(biāo)并不輕松.題目條件提供了“PC=AD=2DC=2CB”，“怎樣將這個(gè)條件用好”，即“如何將已知條件PC的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化到求點(diǎn)P,E的坐標(biāo)”,部分學(xué)生感到有一定難度.一些考生就因?yàn)檫@道題出亂，不僅在時(shí)間上耗損了不少，而且在心理上造成過度緊張，影響了全局得分.

在教學(xué)中由于過度強(qiáng)化了向量法的作用，幾何法的應(yīng)用被削弱，學(xué)生的解題思維易被坐標(biāo)法“套”住.若對(duì)一種方法過于強(qiáng)化，個(gè)性思維遭到壓抑,造成解題思路單一，尤其面臨新情境下的問題,受原有條條框框影響,按老套路行事，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)原有認(rèn)識(shí)和方法的超越,從而感到束手無策，難以改變現(xiàn)狀.在立體幾何教學(xué)中，教師在內(nèi)容的選擇、題目的難度要求以及解題方法的指導(dǎo)等方面，如何把握幾何綜合法和向量坐標(biāo)法的“度”，及怎樣培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用這兩種方法，這都是高中數(shù)學(xué)教師所面臨的十分具有挑戰(zhàn)性的課題.

2 二面角被隱退到幕后

四棱錐P-ABCD可以看成是由△PAD和直角梯形ABCD沿AD翻折而成的.翻折到什么位置,條件中沒有直接告知二面角P-AD-C的大小,而是通過由PC=AD來求出.這樣問題就缺少了二面角的背景,削弱了條件“PC=AD”在求直線CE與平面PBC所成角的作用,增大了解題難度.此題若把條件“PC=AD”換成“二面角P-AD-C為120°”，學(xué)生自然會(huì)想到先作出二面角的平面角.有了這個(gè)背景，不僅PC易求，而且更易想到把求點(diǎn)E到平面PBC的距離，轉(zhuǎn)化為在△PNB中求點(diǎn)Q(或點(diǎn)N)到PB的距離.同樣地，在使用向量法進(jìn)行處理問題時(shí)，若有了二面角P-AD-C的平面角∠PNB的背景，則給求點(diǎn)P的坐標(biāo)帶來了很大方便.雖然新高考降低了求二面角的要求，但二面角是空間幾何中面與面之間的一種重要的位置關(guān)系，空間幾何的研究與二面角息息相關(guān).本題由于條件沒有直接提到二面角，而是讓二面角隱退到幕后，部分學(xué)生對(duì)問題情境發(fā)生改變或表面上稍作變動(dòng)感到陌生，知識(shí)聯(lián)系發(fā)生斷鏈，信息之間無法進(jìn)行交互轉(zhuǎn)換，最后導(dǎo)致解題思路出現(xiàn)受阻.

3 弦長(zhǎng)公式被“弦”蒙住

圖2

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|AP|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

4 向量數(shù)量積幾何意義逆用被忽視

5 數(shù)與形被分離

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何，只不過研究工具是代數(shù)方法，問題的根源還是幾何.若能充分利用幾何的特性，數(shù)與形巧妙結(jié)合，解題往往會(huì)產(chǎn)生出奇制勝的功效.本題在垂直的環(huán)境下，研究?jī)蓷l線段長(zhǎng)度之積.“垂直”是幾何中最重要的數(shù)學(xué)核心概念之一，其內(nèi)涵十分豐富，隨知識(shí)的增長(zhǎng)對(duì)其理解也應(yīng)不斷深入.根據(jù)答題情況來看，學(xué)生對(duì)垂直的理解還是比較淺薄.如何更有效地落實(shí)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，是每位數(shù)學(xué)教師值得探究的課題.

6 逆向思維被削弱

例3已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

導(dǎo)致本題失分的原因是多方面的,其主要原因是：新的問題情境帶來的緊張心理.解答題的壓軸題難度雖然較大，但第1)小題對(duì)中等以上水平的學(xué)生來說還是可以拿分的.本題所給出的遞推關(guān)系xn=xn+1+ln(1+xn+1)，與平時(shí)所做過的數(shù)列遞推題目的類型xn+1=f(xn)，存在一定差距，增加了陌生感，再加上要把xn=xn+1+ln(1+xn+1)轉(zhuǎn)化為xn+1=f(xn)又有一定的困難，難免會(huì)產(chǎn)生解題畏懼心理.另外，學(xué)生缺乏逆向思維訓(xùn)練.要從xn>0推出xn+1>0,即由xn+1+ln(1+xn+1)>0得到xn+1>0.若從正向去想,不易直接推出所要的結(jié)論.此時(shí)需要變換角度，換個(gè)方法思考，用反證法可使問題變簡(jiǎn)單，從而輕松得到結(jié)果.

即證f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)在[0，1)上單調(diào)遞增，且f(0)=0.

由于此式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，xn與xn+1“糾纏”在一起，較難得出xn與xn+1有“好”的關(guān)系.采用以退求進(jìn)，先對(duì)式子變形，得

即

7 結(jié)束語

這3道試題表面上看題型似乎都比較熟悉，但解題思維方法靈活多樣，需要學(xué)生對(duì)題目條件和結(jié)論有較深刻理性的認(rèn)識(shí)，才能準(zhǔn)確理解題意、正確判斷解題方向.數(shù)學(xué)高考關(guān)注了發(fā)散性、批判性思維的檢測(cè)，體現(xiàn)了試題對(duì)高層次理性思維和創(chuàng)新思維的考查,讓憑借題海戰(zhàn)術(shù)或重復(fù)操練學(xué)數(shù)學(xué)的考生在高考中占不了便宜，走老套路會(huì)吃虧.這就是2017年浙江試卷的亮點(diǎn)之一.同時(shí),教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，學(xué)生的成長(zhǎng)需要經(jīng)歷過程，而不是依靠教師就能把知識(shí)送給他們.教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，活學(xué)活用,鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑，大膽探索問題，標(biāo)新立異，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思考和獨(dú)立解決問題的能力，切忌讓學(xué)生盲目跟著老師，避免學(xué)生的思維被教師控制.

2017-09-01

洪昌強(qiáng)(1963-)，男，浙江臺(tái)州人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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