誤差思想在數(shù)學高考中的應用*

●關(guān)麗娜 ●鐘德光 ●鄭偉庭

( 深圳大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東深圳518060) ( 廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣東廣州510006) ( 平山第三中學，廣東惠東516300)

誤差思想在數(shù)學高考中的應用*

●關(guān)麗娜 ●鐘德光 ●鄭偉庭

( 深圳大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東深圳518060) ( 廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣東廣州510006) ( 平山第三中學，廣東惠東516300)

文章從簡單的二階矩陣不滿足乘法交換律的例子入手，說明構(gòu)造“誤差”矩陣的原因，再由這種誤差思想引入偏右( 偏左) 對稱函數(shù)、偏右( 偏左) 等比數(shù)列等定義． 接著，探索了這些定義的一些簡單性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解決了一些數(shù)學高考壓軸題．

誤差思想; 嚴格偏右( 偏左) 對稱函數(shù); 正項偏右( 偏左) 等比數(shù)列

先從一個關(guān)于矩陣的簡單例子講起.關(guān)于矩陣的簡單的初步認識可參見高中《數(shù)學(選修4-2)》.考察二階矩陣

我們說兩個矩陣A,B相等指的是

a11=b11,a12=b12,a21=b21,a22=b22.

對于矩陣A，B,經(jīng)典的減法運算定義如下：

經(jīng)典的乘法運算定義如下：

對實數(shù)乘法運算，我們都知道它是滿足交換律的.但是對于矩陣的乘法運算，它一般是不滿足交換律的，即并非所有矩陣都滿足A·B=B·A，如：

則

顯然,A·B≠B·A.既然并非所有矩陣都滿足交換律，那么可以構(gòu)造一個如下的矩陣C，

C=A·B-B·A.

為什么要引入矩陣C呢？因為并不是所有矩陣A,B都滿足交換律，所以考慮它們偏離滿足交換律的程度，也就是引入了一個“誤差”矩陣C.顯然當C為零矩陣時，A,B就滿足乘法交換律了.千萬別小看這種誤差思想，流行理論中著名的普阿松括號積[1]就是這樣構(gòu)造的.普阿松括號積在流形上的微積分中具有重要的作用，許多重要概念與它有直接聯(lián)系，比如局部1參數(shù)群.因此構(gòu)造普阿松括號積的思想(即誤差思想)也深受高考命題者的關(guān)注.另外，因為不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，而誤差思想又涉及不等式，所以它自然而然深受命題者的青睞.

其實誤差思想在高中數(shù)學中有很多應用，如以下命題：

命題1設(shè)函數(shù)f在實數(shù)R上有定義，且設(shè)A為一個給定的實數(shù).設(shè)f在(-∞,A)上單調(diào)遞減，在[A,+∞)上單調(diào)遞增，且對于所有的x∈R，有f(x)=f(2A-x).若x1,x2為方程f(x)=c(其中f(A)>c)的兩個零點，則x1+x2=2A.

顯然并不是所有定義在實數(shù)R上的函數(shù)f都是對稱函數(shù)，這很容易舉出例子來.但是受誤差思想的啟發(fā)，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于函數(shù)f的誤差函數(shù)Ff：

Ff(x)=f(x)-f(2A-x).

顯然，當對所有的x∈R，若Ff(x)=0，則f就是對稱函數(shù)了.可見函數(shù)Ff是對稱函數(shù)f的推廣.雖然并非所有定義在實數(shù)R上的函數(shù)f都是對稱函數(shù)，但是慶幸的是，當Ff與f滿足一定條件時，f具有類似于命題1的性質(zhì)：

命題2設(shè)函數(shù)f在實數(shù)R上有定義，且設(shè)A是一個給定的實數(shù).設(shè)f在(-∞,A)上單調(diào)遞減，在[A,+∞)上單調(diào)遞增，且對于所有x∈R，F(xiàn)f在(A,+∞)上為正函數(shù).若x1,x2為方程f(x)=c(其中c>f(A))的兩個零點，則x1+x2<2A.

證明不妨設(shè)x10，所以Ff(x2)>0，即

f(x2)-f(2A-x2)>0.

又因為f(x2)=f(x1)=c,所以

f(x1)-f(2A-x2)>0，

即

f(x1)>f(2A-x2).

由于f在(-∞,A)上單調(diào)遞減，且x1

在上述討論中，若當x∈(A,+∞)時，F(xiàn)f(x)≥0恒成立，則稱函數(shù)f為偏右對稱函數(shù)；同樣地，我們也可以引入偏左對稱函數(shù)，只要求Ff在(-∞,A)內(nèi)恒為非負即可.若當x∈(A,+∞)時，F(xiàn)f(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f為嚴格偏右對稱函數(shù)；若當x∈(-∞,A)時，F(xiàn)f(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f為嚴格偏左對稱函數(shù).關(guān)于高考對嚴格偏右對稱函數(shù)的考查，如2016年全國數(shù)學高考卷Ⅰ的函數(shù)壓軸題.

例1已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

1)求a的取值范圍；

2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析1)a的取值范圍為(0,+∞)，解答過程略.

2)從求證的結(jié)果來看，結(jié)合命題2，可知f應該是嚴格偏右對稱函數(shù)，且A=1.容易證明當a>0時，f在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增.因此，只需要考慮f的誤差函數(shù)Ff(x)=f(x)-f(2-x)在(1,+∞)上恒大于0即可.因為Ff(x)=(x-2)ex+xe2-x，所以

又因為函數(shù)ex-e2-x在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以

ex-e2-x>0.

因此，當x∈(1,+∞)時，F(xiàn)f(x)>0，即Ff在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故

Ff(x)>Ff(1)=0.

顯然若對于所有的n∈N*，F(xiàn)an(n)≡0，則{an}是公比為q的等比數(shù)列.由此可見，F(xiàn)an(n)是等比數(shù)列{an}的推廣.類比于偏右(偏左)對稱函數(shù)，可以引入偏右(偏左)等比數(shù)列的定義：若對于所有的n∈N*，F(xiàn)an(n)≥0(≤0)，則稱數(shù)列{an}為偏右(偏左)等比數(shù)列；若對于所有的n∈N*，F(xiàn)an(n)>0(<0)，則稱數(shù)列{an}為嚴格偏右(偏左)等比數(shù)列.等比數(shù)列的通項公式可以表示出來，對于偏右等比數(shù)列，我們亦有以下類似結(jié)論：

命題3設(shè)正項數(shù)列{an}滿足：對于所有的n∈N*，F(xiàn)an(n)≥0，且q>0,q≠1,則

an≥a1·qn-1.

證明過程比較簡單，此處略去.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)

此題的本質(zhì)是偏右等比數(shù)列.在此我們只討論第1)小題.

證明若|a1|≤2，則結(jié)論顯然成立，因此不妨設(shè)|a1|>2.以下證明對于所有的n∈N*，|an|>2.這是因為由絕對值不等式可得

即

|an+1|≥2|an|-2.

于是由數(shù)學歸納法容易得出對于所有的n∈N*，|an|>2.

另外，因為|an+1|≥2|an|-2，所以

|an+1|-2≥2(|an|-2).

由于對于所有的n∈N*，|an|-2>0，從而數(shù)列{|an|-2}為正項偏右等比數(shù)列，且q=2.由命題3可得

|an|-2≥2n-1(|a1|-2),

故

|an|≥2n-1(|a1|-2).

例3已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*).證明：當n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學高考試題第22題)

我們只討論第3)小題.

證明對于所有的x>-1，ln(1+x)≤x.由第1)小題可知，對于所有的n∈N*，有xn>0，從而

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1.

另外，由第2)小題可得

由第1)小題可得對于所有的n∈N*，xn

即

亦即

由上面的討論可以看出，誤差思想在高中數(shù)學的應用主要是對一些涉及到等號的數(shù)學定義引入相應的誤差即可.比如等差數(shù)列可以引入偏右(偏左)等差數(shù)列；奇函數(shù)可以引入偏右(偏左)奇函數(shù)；周期函數(shù)可以引入偏右(偏左)周期函數(shù)等等.這就可以產(chǎn)生很多的不等式，從而為命題者提供豐富的命題材料.

誤差思想不但在現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學中有重要的應用，而且能夠提供豐富的不等式.此外，引入函數(shù)f的誤差函數(shù)Ff也是函數(shù)f的某種性質(zhì)的推廣.從2016年和2017年的浙江省數(shù)學高考理科數(shù)列壓軸題來看，它們都考查了誤差思想.這一方面說明了命題者對誤差思想的重視；另一方面，以誤差思想命題，不但能與現(xiàn)代數(shù)學知識聯(lián)系起來，而且又不超出高中數(shù)學的考試大綱，這不得不感嘆命題者的水平之高??！

[1] 陳維桓.流行上的微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

2017-07-13

關(guān)麗娜(1992-)，女，廣東陽江人，碩士研究生.研究方向：數(shù)學教育.

O1

A

1003 - 6407(2017)11-32-03