尋圖形之關(guān)聯(lián) 搭模型之框架*
——“一線三等角”模型中考試題歸類賞析及啟示

●

(曙光中學(xué)，浙江 寧波 315040)

尋圖形之關(guān)聯(lián)搭模型之框架*
——“一線三等角”模型中考試題歸類賞析及啟示

●胡偉斌

(曙光中學(xué)，浙江 寧波 315040)

在2017 年的各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷中，涌現(xiàn)出不少可用同一類基本模型求解的試題． 這些試題雖呈現(xiàn)的背景、條件和問題互不相同，但解法類似，這就要求教師通過研究試題來挖掘并提煉其中蘊(yùn)藏的基本模型，從而實(shí)現(xiàn)“掌握模型，舉一反三，通一類題”．

一線三等角; 中考試題; 歸類賞析

1 緣從何起

在近些年的數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中，模型教學(xué)與滲透越來越受到廣大數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，而在眾多的基本模型中，相似模型因其種類多、圖形美、內(nèi)涵豐富，常常成為各類公開課和展示課上的“嘉賓”．而“一線三等角”模型作為其中的“翹楚”，更是受到了許多中考命題者的青睞，以其為基本框架而精心設(shè)計(jì)的試題，在近些年各省市的中考中，屢見不鮮，精彩紛呈.其中有些試題，“一線三等角”直接躍然于紙上，讓人一目了然，茅塞頓開；另有部分試題，“一線三等角”并非直觀呈現(xiàn)，而是隱藏在所給的圖形中，這就需要我們通過觀察辨別和分析探究，合理地予以構(gòu)造，挖掘出圖中隱藏的“一線三等角”．但無論模型是“顯”亦或“隱”，試題之精彩讓筆者留下了深刻的印象．基于此，筆者收集并整理了2017年可用“一線三等角”模型求解的部分中考試題，并對(duì)其進(jìn)行分類賞析，與同仁們分享．

2 模型呈現(xiàn)

如圖1和圖2，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)C是直線BD上的點(diǎn)．若∠ACE=∠ABD=∠EDF，則△ABC∽△CDE．特別地，當(dāng)AC=CE時(shí)，△ABC≌△CDE．

圖1 圖2

上述兩個(gè)圖呈現(xiàn)的是兩種最典型的“一線三等角”模型，即同側(cè)型和異側(cè)型，兩者所求證的結(jié)論均可通過導(dǎo)角證明．該模型最本質(zhì)的特點(diǎn)為：有3個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，且這個(gè)角可以是銳角、直角或鈍角．而隨著角頂點(diǎn)位置的適當(dāng)改變或角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，常會(huì)產(chǎn)生許多和諧美觀的圖形，且結(jié)論仍然成立．正因如此，近年來各地命題專家們命制了許多可用“一線三等角”模型求解的中考試題，這些試題大都突出對(duì)學(xué)生能力與思維的考查，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與思想方法的獲得，常常具有較高的區(qū)分度．

3 試題賞析

類型1三角齊見，模型自現(xiàn)

圖3

(2017年山東省濰坊市數(shù)學(xué)中考試題第18題)

分析因?yàn)椤螦=∠EB′C=∠D=90°，且點(diǎn)A，B′，D在同一直線上，由“一線三等角”模型，得△AEB′∽△DB′C，則

若設(shè)AB′=x，則

CD=CD′=3x，

由此可得CB′=CB=AD=3x+2，

從而

B′D=2x+2.

易得

于是

進(jìn)而

CB′=3B′E=7x-2=3x+2，

解得x=1，故矩形紙片ABCD的面積為15．

圖4

(2017年四川省綿陽市數(shù)學(xué)中考試題第17題)

分析由于∠A=∠MDN=∠B，且點(diǎn)A，D，B在同一直線上，因此根據(jù)“一線三等角”模型可得△MAD∽△DBN，則

即

MA·DN=DB·MD=4MD，

故

評(píng)注以上兩例都是典型的“一線三等角”試題，由于模型的框架已搭建，因此降低了試題的起點(diǎn)．兩道題雖涉及不同的圖形變換，但解法本質(zhì)一致，均為利用模型構(gòu)建比例式解決問題．兩道題都著重考查學(xué)生在圖形變換過程中的觀察理解、直觀感知、推理轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力和思想．

類型2隱藏局部，小修小補(bǔ)

例3如圖5，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AB=12，BM=5，則DE的長(zhǎng)為

( )

(2017年山東省泰安市數(shù)學(xué)中考試題第14題)

圖5 圖6

例4如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)C(2，0)．

1)當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離是______；

2)設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是______．

(2017年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

圖7 圖8

解得m=12．

評(píng)注上述兩道題雖分別以四邊形和一次函數(shù)為命題背景，但圖形的共性較明顯：均將原有“一線三等角”模型中的一角進(jìn)行了隱藏，而這就要求學(xué)生理性地從圖形的角度進(jìn)行思考與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其中最本質(zhì)的特征，挖掘蘊(yùn)含在圖中的幾何模型．兩道題均較好地體現(xiàn)了對(duì)“四基”的綜合考查，提升了學(xué)生思維的層次性和靈活性．

類型3一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)

(2017年湖南省株洲市數(shù)學(xué)中考試題第17題)

圖9 圖10

分析如圖10，由于∠AOB=90°，因此過點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D.由“一線三等角”模型可得△ACO∽△ODB，則

而k1=2S△ACO，k2=-2S△ODB，于是

事實(shí)上，該題亦可利用異側(cè)型“一線三等角”(如圖9，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)E，則△AOE∽△OBE)求解，由于與上面的解法類似，這里不再贅述．

圖11 圖12

例6如圖11，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE=45°.若CD=4，則△ABE的面積為

( )

(2017年湖北省鄂州市數(shù)學(xué)中考試題第10題)

分析如圖12，由于∠BAE=45°，因此過點(diǎn)A作AD的垂線，在該垂線上分別找點(diǎn)M，N(其中點(diǎn)N在點(diǎn)A下方)，使得∠BMA=∠ENA=45°.過點(diǎn)E作MN的垂線，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB交MN于點(diǎn)G．易知四邊形ADCG為正方形，則

AG=CG=CD=4.

而AB=BC+AD，不難推知

AB=5，BG=3，BC=1.

由于∠BAE=∠M=∠N=45°，根據(jù)“一線三等角”模型可得△ABM∽△EAN，則

即

解得

于是

故

評(píng)注上述兩道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊(yùn)知識(shí)技能、思想方法、數(shù)學(xué)模型于圖形之中．題中的“特殊角”是解題的關(guān)鍵，也是搭建模型框架的基礎(chǔ)，更是學(xué)生解題思路的來源與“腳手架”．兩道題實(shí)質(zhì)上是考查學(xué)生利用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，同時(shí)也有效地檢測(cè)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的把握情況．

類型4線角齊藏，經(jīng)驗(yàn)來幫

(2017年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考試題第15題)

圖13 圖14

分析如圖14，過點(diǎn)C作AC的垂線，交射線AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作x軸的平行線，在該平行線上分別找點(diǎn)E，F(xiàn)，使得∠DEC=∠AFC=90°.由“一線三等角”模型及∠DAC=45°，得△DEC≌△CFA．又點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(2，3)，(0，2)，從而k=6，于是

于是

解得a1=-1，a2=2(舍去)，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，-6)．

例8如圖15，有一個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD，它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在邊長(zhǎng)為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是______．

(2017年浙江省臺(tái)州市數(shù)學(xué)中考試題第16題)

圖15 圖16 圖17

此時(shí)

即

故

評(píng)注上述兩道題實(shí)質(zhì)上都以圖形的旋轉(zhuǎn)為問題的切入點(diǎn)，能較好地激發(fā)學(xué)生探索的意愿，促使學(xué)生在模擬圖形運(yùn)動(dòng)的同時(shí),自發(fā)地利用題中所蘊(yùn)含的特殊角，展開適當(dāng)?shù)穆?lián)想，尋找圖形間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，搭建模型框架．兩道題都意在尋求突破，體現(xiàn)分層考查，有著較好的考試信度與效度．

通過上述的例3～例8，不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于有些中考試題，“一線三等角”并非直觀、完整地呈現(xiàn)，而是在原圖中隱藏了局部或全部結(jié)構(gòu)，因此思維層次隨之提升．若我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過“找角，定線，搭框架”，讓模型“現(xiàn)出原形”，則解題思路便會(huì)油然而生，豁然開朗．

4 教學(xué)啟示

在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由同一類基本模型延伸而來的試題[1]，這些試題雖呈現(xiàn)的背景不盡相同，但解決問題的方法和思想相通，這就要求教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，充分挖掘習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)并總結(jié)出一般化的方法，同時(shí)要讓學(xué)生嘗試?yán)迷诮忸}過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)試題中所蘊(yùn)藏的基本模型進(jìn)行挖掘與提煉.只有讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主地反思、推進(jìn)、提煉，才能做到“掌握模型，舉一反三，通一類題”，同時(shí)通過對(duì)一些基本模型和結(jié)論的挖掘，能更好地弄清問題的本質(zhì)，為解決問題搭建好思維的“腳手架”，進(jìn)而切實(shí)有效地提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維水平．當(dāng)基本模型經(jīng)過提煉并熟練應(yīng)用后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該模型的變式與拓展進(jìn)行更深層次地探究，通過讓學(xué)生在拓展基本模型的過程中，感悟模型的本質(zhì)，從而做到化題為型、串題成鏈、結(jié)題成網(wǎng)[1]，真正實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的提升．

[1] 姜曉翔．關(guān)注“模型教學(xué)” 提升“思維品質(zhì)”[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育:初中版，2017(5)：34-36；44．

2017-08-21

胡偉斌(1986-)，男，浙江寧波人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

A

1003 - 6407(2017)11-13-04