基于控制力矩陀螺的BTT飛行器協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制

趙坤， 曹登慶， 黃文虎

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 哈爾濱 150001

基于控制力矩陀螺的BTT飛行器協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制

趙坤， 曹登慶*， 黃文虎

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 哈爾濱 150001

針對(duì)傾斜轉(zhuǎn)彎 (BTT) 飛行器進(jìn)行橫向機(jī)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生側(cè)滑角的問(wèn)題，提出一種考慮通道耦合因素的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制方法。采用了一種基于單框控制力矩陀螺(SGCMG)的側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)替代方向舵、矢量推力發(fā)動(dòng)機(jī)等傳統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。建立了加裝控制力矩陀螺的BTT飛行器橫向機(jī)動(dòng)時(shí)的多變量強(qiáng)耦合非線性傾斜轉(zhuǎn)彎動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)BTT飛行器橫向機(jī)動(dòng)時(shí)的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎要求，設(shè)計(jì)了一種基于非線性反饋和線性二次型最優(yōu)算法的解耦綜合控制器。計(jì)算結(jié)果表明：協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角指令的良好跟蹤和側(cè)滑角的有效抑制。

傾斜轉(zhuǎn)彎(BTT)飛行器； 協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎； 控制力矩陀螺； 側(cè)滑角抑制； 非線性反饋； 線性二次型調(diào)節(jié)器

隨著導(dǎo)彈防御技術(shù)的發(fā)展，遠(yuǎn)程高超聲速滑翔飛行器 (Hypersonic Glide Vehicle， HGV) 需要具備一定的機(jī)動(dòng)能力。傾斜轉(zhuǎn)彎 (Bank-To-Turn, BTT)控制技術(shù)是用來(lái)提升飛行器機(jī)動(dòng)性能的一個(gè)重要方法。當(dāng)HGV采用BTT控制技術(shù)進(jìn)行機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，飛行器的最大升力面隨著滾轉(zhuǎn)指令迅速地轉(zhuǎn)到理想的機(jī)動(dòng)方向，轉(zhuǎn)彎的向心力由升力提供。由于HGV的飛行包線大，強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性，滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)時(shí)橫側(cè)向的穩(wěn)定性問(wèn)題尤為突出。美國(guó)對(duì)HGV的飛行穩(wěn)定性開(kāi)展了大量的試驗(yàn)研究，2010和2011年兩次飛行試驗(yàn)均告失敗的HTV-2，在飛行過(guò)程中偏航超出預(yù)期，飛行穩(wěn)定性與操縱性不足，出現(xiàn)滾轉(zhuǎn)/偏航耦合運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)超過(guò)飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)能力，導(dǎo)致姿態(tài)失控[1]。

目前HGV的姿態(tài)控制主要采用舵面控制、矢量推力控制以及變質(zhì)心控制等。氣動(dòng)舵面控制是一種非常成熟的技術(shù)，但其仍存在一些問(wèn)題如舵面的高溫?zé)g、大迎角下控制效率下降等[2]。研究顯示：X-43飛行器從迎角為8° 起縱向穩(wěn)定性和舵面的橫向控制效率隨著迎角的增加而下降，當(dāng)迎角大于20° 時(shí)，舵面效率完全喪失[3]。推力矢量控制具有響應(yīng)速度快、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[4-5]，但側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的控制力大小和工作時(shí)間受飛行器攜帶燃料的限制。變質(zhì)心控制能夠保持飛行器良好的氣動(dòng)外形，也不會(huì)產(chǎn)生控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的燒蝕問(wèn)題。然而HGV進(jìn)入臨近空間時(shí)，由于大氣密度較低，因此進(jìn)行大幅度的機(jī)動(dòng)極為困難[6-7]。單框控制力矩陀螺(Single Gimbal Control Moment Gyro， SGCMG) 是衛(wèi)星上常用的一種姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)[8]，其利用小幅的框架運(yùn)動(dòng)就能產(chǎn)生較大的力矩輸出。它不依賴于外部環(huán)境，動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性好，也適用于對(duì)機(jī)動(dòng)能力有較高要求的飛行器的姿態(tài)控制。如何利用SGCMG進(jìn)行高機(jī)動(dòng)飛行器的姿態(tài)控制，在國(guó)際上僅處于概念研究階段，而國(guó)內(nèi)已進(jìn)行了一些探索性的研究[9-10]。

HGV通常采用乘波構(gòu)型，由于其細(xì)長(zhǎng)比較大，滾轉(zhuǎn)通道的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，橫側(cè)向的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性差。當(dāng)HGV進(jìn)行滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)時(shí)，滾轉(zhuǎn)響應(yīng)迅速，而偏航和滾轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩和阻尼力矩較小，導(dǎo)致飛行器的實(shí)際滾轉(zhuǎn)軸偏向于機(jī)體軸，運(yùn)動(dòng)耦合非常突出。與此同時(shí)，運(yùn)動(dòng)耦合導(dǎo)致側(cè)滑角和迎角發(fā)生變化，激發(fā)出更為嚴(yán)重的氣動(dòng)耦合。因此，亟待開(kāi)展HGV機(jī)動(dòng)飛行時(shí)的側(cè)滑角抑制方法的研究。這里提出了一種基于控制力矩陀螺的側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，充分發(fā)揮控制力矩陀螺的優(yōu)點(diǎn)，用較小的輸入力矩可獲得放大的輸出力矩來(lái)抑制飛行器的偏航運(yùn)動(dòng)。該執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝方便，占用空間小，能夠產(chǎn)生很好的側(cè)滑角抑制效果。

要實(shí)現(xiàn)HGV的側(cè)向機(jī)動(dòng)，還需設(shè)計(jì)使飛行器偏航通道與滾轉(zhuǎn)通道協(xié)調(diào)動(dòng)作的控制系統(tǒng)，以達(dá)到側(cè)滑角為零的目的[11]。由于HGV的飛行速度、高度和范圍都變化較大，系統(tǒng)參數(shù)之間耦合嚴(yán)重，是一個(gè)多變量強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)[12]。傳統(tǒng)的各通道間獨(dú)立設(shè)計(jì)的方法不能滿足協(xié)調(diào)控制的要求，而非線性控制方法能夠達(dá)到理想的控制效果。反饋線性化方法是目前開(kāi)展高超聲速飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)常采用的一種方法[13]。本文將采用副翼和SGCMG分別作為滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道的控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，采用反饋線性化和線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator， LQR)最優(yōu)算法設(shè)計(jì)飛行器的解耦綜合控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的良好跟蹤。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證SGCMG在飛行器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制應(yīng)用中的可行性。

1 非線性反饋的基本理論

考慮以下多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)[14]：

(1)

式中：x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u∈Rm為系統(tǒng)的輸入向量；y∈Rm為系統(tǒng)輸出向量；f(x)為n維光滑向量場(chǎng)；G(x)=[g1(x)g2(x) …gm(x)]T，h(x)=[h1(x)h2(x) …h(huán)m(x)]T分別為n×m階矩陣和m維向量。

定義 若式(1)所示的系統(tǒng)滿足如下條件：

2)m×m階矩陣

在x=x0處非奇異。則系統(tǒng)式(1)在x0處的相對(duì)階向量為[r1r2…rm]，其中ri為子相對(duì)階與輸出yi=hi(x)一一對(duì)應(yīng)。

狀態(tài)反饋精確線性化定理 假設(shè)矩陣G(x0)的秩為m，那么存在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域U和定義在U上的m維輸出函數(shù)h(x)使得式(1)在點(diǎn)x0有相對(duì)階向量[r1r2…rm]，且滿足r1+r2+…+rm=n的充分必要條件是：

1) 對(duì)每個(gè)0≤i≤n-1，分布Gi在x0附近有常數(shù)維。

2) 分布Gn-1有維數(shù)n。

3) 分布Gi對(duì)合。

圖1給出了r=n情況下的狀態(tài)反饋精確線性化的設(shè)計(jì)原理。如果式(1)所示的MIMO仿射非線性系統(tǒng)的總相對(duì)階為r1+r2+…+rm=n，則選擇如下的坐標(biāo)變換z=Φ(x)，即

(2)

再施加相應(yīng)的反饋控制：

u=α(x)+β(x)v=D(x)-1(-b(x)+v)

(3)

圖1 狀態(tài)反饋精確線性化原理圖Fig.1 Principle of exact linearization of state feedback

(4)

式中：A、B和C均為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 SGCMG模型

控制力矩陀螺是指飛輪轉(zhuǎn)速不變的框架動(dòng)量輪，它具有力矩放大的作用，因此控制效率很高[15]。如圖2所示，設(shè)SGCMG的框架坐標(biāo)系為Oxfyfzf，Oxf軸為外框架轉(zhuǎn)軸，Ozf軸為轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)軸。Oxyz為機(jī)體坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)為飛行器質(zhì)心O。Ox軸為飛行器縱軸，指向頭部；Oy軸在飛行器的主對(duì)稱面內(nèi)；Oz軸垂直于主對(duì)稱面，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。Oxvyvzv為原點(diǎn)固連于飛行器質(zhì)心O的速度坐標(biāo)系。Oxv軸沿飛行器的速度方向；Oyv軸在飛行器的主對(duì)稱面內(nèi)，垂直于Oxv；Ozv軸垂直于xvOyv平面，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。設(shè)飛行器在慣性空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在Oxyz坐標(biāo)系的投影為ω=[ωxωyωz]。機(jī)體坐標(biāo)系和速度坐標(biāo)系之間的歐拉角分別為迎角α和側(cè)滑角β。

圖2 單框控制力矩陀螺(SGCMG)模型 Fig.2 Model of Single Gimbal Control Moment Gyro(SGCMG)

如圖3所示，機(jī)體坐標(biāo)系Oxyz繞Ox軸轉(zhuǎn)動(dòng)δc角度為框架坐標(biāo)系Oxfyfzf，框架坐標(biāo)系繞著Ozf軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角度后為轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系Oxryrzr。將機(jī)體的角速度ω投影到Oxfyfzf中，得到該系下轉(zhuǎn)子的合角速度ωf，且

(5)

則轉(zhuǎn)子對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩hf在坐標(biāo)系Oxfyfzf中可表示為hf=[JωxfJωyfIωzf]。忽略框架對(duì)坐標(biāo)系Oxfyfzf各軸的動(dòng)量矩，設(shè)轉(zhuǎn)子受到的合外力矩在坐標(biāo)系Oxfyfzf內(nèi)的投影為mf，根據(jù)動(dòng)量矩定理，在框架坐標(biāo)系內(nèi)有

(6)

式(6)即是陀螺相對(duì)于框架坐標(biāo)系Oxfyfzf的動(dòng)力學(xué)方程[16]。由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速ω0很高，引入理想約束條件：

(7)

(8)

圖3 角速度的矢量合成關(guān)系Fig.3 Vector synthesis of angular velocity

式中：mxf、myf和mzf分別為合力矩mf在框架坐標(biāo)系Oxfyfzf上的分量，h0=Iω0為陀螺的動(dòng)量矩。顯然，若以O(shè)xf軸為輸入軸，輸入力矩mxf使陀螺進(jìn)動(dòng)，則在Oyf軸將會(huì)有力矩myf輸出。將式(8)中的輸出力矩myf投影到機(jī)體坐標(biāo)系Oxyz中，則

(9)

SGCMG的力矩輸出能力與陀螺的動(dòng)量矩h0成正比，即轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或轉(zhuǎn)速越大其輸出力矩越大；同時(shí)，控制力矩陀螺的輸出力矩大小與繞框架軸旋轉(zhuǎn)的角速度成正比，即單位時(shí)間內(nèi)從框架軸輸入的控制力矩越大，其輸出的力矩也越大。根據(jù)式(9)，若在框架坐標(biāo)系Oxfyfzf輸入力矩mxf，SGCMG會(huì)分別在Oy和Oz兩個(gè)軸向輸出力矩my和mz。如圖2所示，my可用來(lái)抑制飛行器滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的偏航運(yùn)動(dòng)，但對(duì)于Oz軸向的力矩mz將會(huì)引起飛行器的俯仰運(yùn)動(dòng)，不利于后期的控制器設(shè)計(jì)。

使用單個(gè)SGCMG存在通道間的耦合作用，考慮采用雙SGCMG的設(shè)計(jì)方案，如圖4所示。選用兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)完全一致的SGCMG，兩者的框架軸互相平行，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速率相等但旋轉(zhuǎn)方向相反。因此兩個(gè)SGCMG在Oz軸上的輸出力矩互相抵消，而在Oy軸上的輸出力矩互相疊加，成為以前的2倍。因此在機(jī)體坐標(biāo)系Oxyz下雙陀螺的動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

圖4 側(cè)滑角抑制裝置模型Fig.4 Model of suppression device for sideslip angle

由式(10)可知，該設(shè)計(jì)方案通過(guò)物理途徑實(shí)現(xiàn)了通道間的解耦。兩個(gè)SGCMG配合工作，增強(qiáng)了偏航力矩的輸出，同時(shí)抵消了對(duì)飛行器俯仰和滾轉(zhuǎn)的干擾。兩支單框控制力矩陀螺一組構(gòu)成側(cè)滑角抑制裝置是最為簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。

2.2 BTT飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

BTT飛行器動(dòng)力學(xué)建模的詳細(xì)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。選取狀態(tài)變量X=[αβγωxωyωz]T，其中α、β和γ分別為飛行器的迎角、側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角。飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程如式(11)所示，式中變量均以弧度為單位。

(11)

式中：a1～a5、b1～b5、c1和c3均為飛行器的氣動(dòng)系數(shù)，它們均受到氣動(dòng)參數(shù)、大氣密度和飛行器速度等的影響；Ixx、Iyy和Izz分別為飛行器繞機(jī)體軸Ox、Oy和Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；δx、δy和δz分別為導(dǎo)彈的副翼舵、方向舵和升降舵偏角。本文只研究飛行器在短周期內(nèi)的姿態(tài)控制，認(rèn)為飛行器的速度、氣動(dòng)系數(shù)、質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為定值。

飛行器滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)一般有兩種方式：繞機(jī)體軸滾轉(zhuǎn)和繞速度軸滾轉(zhuǎn)。飛行器繞機(jī)體軸滾轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)耦合，ωxα和-ωxβ即運(yùn)動(dòng)交叉耦合項(xiàng)。運(yùn)動(dòng)耦合導(dǎo)致側(cè)滑角和迎角相互轉(zhuǎn)換，從而引起氣動(dòng)交叉耦合，嚴(yán)重時(shí)致使飛行器失去控制。而飛行器繞速度軸滾轉(zhuǎn)時(shí)，雖然可以避免運(yùn)動(dòng)耦合，但會(huì)產(chǎn)生慣性耦合，(Izz-Ixx)ωxωz/Iyy和(Ixx-Iyy)ωxωy/Izz即慣性交叉耦合項(xiàng)。實(shí)際的滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，由于飛行器自身靜穩(wěn)定性力矩的存在，阻礙了側(cè)滑角和迎角的相互轉(zhuǎn)換，使得飛行器的滾轉(zhuǎn)軸向機(jī)體軸偏離，而飛行器實(shí)際的滾轉(zhuǎn)軸介于機(jī)體軸和速度軸之間。因此飛行器實(shí)際滾轉(zhuǎn)中運(yùn)動(dòng)耦合與慣性耦合是并存的，但運(yùn)動(dòng)耦合占主導(dǎo)地位。這樣，協(xié)調(diào)控制設(shè)計(jì)考慮的主要是運(yùn)動(dòng)學(xué)交叉耦合項(xiàng)ωxα和-ωxβ，滾轉(zhuǎn)控制中應(yīng)集中解決運(yùn)動(dòng)耦合問(wèn)題。

2.3 聯(lián)合動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于高超聲速滑翔飛行器的再入飛行控制而言，其俯仰通道為獨(dú)立的[18]。不考慮俯仰通道和慣性耦合的影響，建立的高超聲速滑翔飛行器與SGCMG裝置聯(lián)合的傾斜轉(zhuǎn)彎動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

(13)

式中：p=2h0/Iyy；q=h0/J；w=1/J。在設(shè)計(jì)HGV的協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)時(shí)，期望滾轉(zhuǎn)角γ能夠準(zhǔn)確迅速地跟蹤滾轉(zhuǎn)指令信號(hào)γc，同時(shí)偏航方向的側(cè)滑角β保持為零以實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎。因此，系統(tǒng)的輸出向量為

(14)

3 控制器設(shè)計(jì)

反饋線性化是近些年來(lái)發(fā)展較快的一種非線性控制方法[19-21]。其基本的設(shè)計(jì)思路是將原系統(tǒng)中的非線性部分通過(guò)全狀態(tài)反饋方法進(jìn)行變換，使得變換后新系統(tǒng)的輸入和輸出之間全部為線性關(guān)系。針對(duì)新系統(tǒng)則可采用一般的線性系統(tǒng)控制理論進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)。

3.1 非線性狀態(tài)反饋控制律的建立

根據(jù)第1節(jié)的定義，式(13)和式(14)所示的非線性系統(tǒng)在x0=0的鄰域存在以下條件：

(15)

行列式|D(x)|=c2prcosx5在x0=0處不等于0，D(x)非奇異。系統(tǒng)的相對(duì)階為r1=2，r2=3，系統(tǒng)的總相對(duì)階r=r1+r2=5。由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)n=6大于系統(tǒng)總相對(duì)階，因此不能直接進(jìn)行精確反饋線性化。此時(shí)需要根據(jù)狀態(tài)反饋精確線性化定理判斷該系統(tǒng)是否滿足狀態(tài)反饋精確線性化定理的條件。

根據(jù)第1節(jié)中的狀態(tài)反饋精確線性化定理可知，存在一個(gè)小于或等于n的整數(shù)ε使得dim(Gε-2)

(16)

而且m1=m，通過(guò)求解式(16)，即可得到滿足要求的虛擬輸出函數(shù)λ1(x)和λ2(x)。將式(16)展開(kāi)后可得

(17)

將式(17)所示的偏微分方程組看做是關(guān)于未知函數(shù)λi(x)偏導(dǎo)數(shù)的線性方程組，不難檢驗(yàn)

(18)

可滿足式(18)。于是，在x0=0的鄰域內(nèi)有

(19)

行列式|D(x)|=-(b1b4+b2)c2αprcosx5在x0=0處不等于0，D(x)非奇異，由此可得系統(tǒng)的相對(duì)階為r1=3，r2=3滿足系統(tǒng)總相對(duì)階等于系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)的條件。選取輸出函數(shù)λ1(x)和λ2(x)，然后根據(jù)式(2)采用如下的坐標(biāo)變換z=Φ(x)，即

(20)

然后根據(jù)式(3)可以得到相應(yīng)的反饋控制律為

u=

(21)

該非線性系統(tǒng)可以在坐標(biāo)變換z=Φ(x)和反饋控制u=α(x)+β(x)v的作用下，轉(zhuǎn)化為一個(gè)由新?tīng)顟B(tài)變量z描述的形如式(4)的線性系統(tǒng)。其中A、B和C分別為線性化系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣。展開(kāi)后得

(22)

顯然式(22)為線性系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型?？刂坡蓈(t)可通過(guò)一般的線性系統(tǒng)控制原理進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)式(20)進(jìn)行坐標(biāo)反變換，得到系統(tǒng)的輸出函數(shù)

y=

(23)

式中：飛行器的迎角α≠0。在實(shí)際飛行中，BTT飛行器的迎角α可能等于0，式(23)中的輸出矩陣將產(chǎn)生奇異。因此，需要對(duì)α=0的情況進(jìn)行專門(mén)地討論。即令仿射非線性系統(tǒng)式(13)中α=0，然后對(duì)得到的新系統(tǒng)重復(fù)本節(jié)的過(guò)程進(jìn)行非線性狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計(jì)，本文在此不展開(kāi)討論。

3.2 線性二次最優(yōu)控制算法的設(shè)計(jì)

根據(jù)線性最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)理論，對(duì)式(22)線性定常系統(tǒng)，期望設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠使實(shí)際輸出向量y(t)盡量跟蹤標(biāo)準(zhǔn)輸出向量ys(t)，誤差向量定義為

e(t)=ys(t)-y(t)

(24)

線性最優(yōu)控制算法的設(shè)計(jì)目的在于尋找控制向量v(t)使誤差向量取最小。一般可用式(25)表示二次型性能指標(biāo)。

(25)

式中：Q為m×m維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣；R為m×m維正定的控制加權(quán)矩陣。該二次型性能指標(biāo)的物理含義在于通過(guò)設(shè)計(jì)的控制向量v，以極小的控制能量為代價(jià)，使誤差e(t)保持在零附近。根據(jù)LQR理論，使性能指標(biāo)式(25)極小的最優(yōu)控制為

v(t)=-R-1BTPz(t)+R-1BTg

(26)

式中：P為n×n維對(duì)稱正定常數(shù)矩陣，滿足如下黎卡提矩陣代數(shù)方程：

PA+ATP-PBR-1BTP+CTQC=0

(27)

伴隨向量

(28)

最后將v(t)代入式(21)，即可得到最終的解耦綜合控制器。

4 仿真結(jié)果及分析

通用航空器是一種高升阻比的升力體高超聲速滑翔飛行器，飛行器質(zhì)量約為 544.3～907.2 kg[22]。設(shè)置高超聲速滑翔飛行器的參數(shù)為：飛行器的質(zhì)量m=600 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=diag(50.1,100,100) kg·m2。設(shè)計(jì)SGCMG的轉(zhuǎn)子半徑為0.1 m，厚度為0.05 m，鋼質(zhì)材料，經(jīng)計(jì)算轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為12.25 kg。而整個(gè)側(cè)滑角抑制裝置約占飛行器總體質(zhì)量的4.082%，滿足工程實(shí)用性要求。相對(duì)于框架軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.03 kg·m2，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為5 000 r/min。采用雙SGCMG的側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)方案，如圖4所示。

為驗(yàn)證采用控制力矩陀螺作為側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)方法的有效性，仿真計(jì)算的初始條件及相關(guān)約束條件選取如表1所示。由式(10)可知，當(dāng)框架角為0° 時(shí)，控制力矩陀螺的力矩輸出能力最強(qiáng)。控制力矩陀螺的輸出力矩my隨框架角δc的增大而減小，當(dāng)框架角超過(guò)45° 后力矩輸出能力衰減迅速，這就需要較大的輸入力矩η，增加了系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)?？紤]到BTT飛行器實(shí)際的工作狀況，設(shè)定副翼舵偏角和控制力矩陀螺框架角的控制指令約束為

-30°≤δx≤30°, -45°≤δc≤45°

(29)

表1 飛行器初始狀態(tài)Table 1 Initial state of vehicle

姿態(tài)控制律采用式(21)的形式，選取系統(tǒng)的狀態(tài)加權(quán)矩陣Q=diag(1.0,1.0)，控制加權(quán)矩陣R=diag(0.01,0.01)。仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 側(cè)滑角的時(shí)間歷程曲線Fig.5 History of sideslip angle

圖6 單框控制力矩陀螺的操縱律Fig.6 Control law of SGCMG

圖7 輸出力矩和輸入力矩的對(duì)比Fig.7 Comparison of output torque and input torque

圖5顯示，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后側(cè)滑角β的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1°，采用控制力矩陀螺取得了良好的側(cè)滑角控制效果，通過(guò)調(diào)節(jié)Q和R可以進(jìn)一步改善系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。由圖6給出的控制力矩陀螺操縱律的變化曲線可以看出，框架角在-16°≤δc≤16° 范圍內(nèi)變化，陀螺轉(zhuǎn)子繞框架軸Oxf反復(fù)變向以起到對(duì)側(cè)滑角進(jìn)行調(diào)節(jié)的目的。當(dāng)側(cè)滑角達(dá)到穩(wěn)態(tài)值0° 附近后，框架角δc也恢復(fù)到0° 附近，保持最大的力矩輸出能力。圖7給出了控制力矩陀螺的輸出力矩和輸入力矩，最大輸入力矩ηmax=49.90 N·m，而最大輸出控制力矩Mmax=176.75 N·m，力矩放大倍數(shù)N約為3.5。力矩放大倍數(shù)N可通過(guò)加權(quán)矩陣R進(jìn)行調(diào)控。

在系統(tǒng)方程式(12)中的側(cè)滑角通道引入外部干擾d=0.1sin(2πt)，單位為rad/s。仿真結(jié)果如圖8和圖9所示。在外部擾動(dòng)的作用下，控制力矩陀螺通過(guò)不斷地進(jìn)動(dòng)來(lái)抑制側(cè)滑角的變化。

圖8 擾動(dòng)情況下側(cè)滑角的時(shí)間歷程曲線Fig.8 History of sideslip angle under disturbance

圖9 角速度的對(duì)比Fig.9 Contrast between angular velocities

控制穩(wěn)定后側(cè)滑角基本維持在0° 附近波動(dòng)，波動(dòng)幅度小于0.5°，控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

下面將在前述非線性狀態(tài)反饋控制律設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上驗(yàn)證控制器的協(xié)調(diào)性。對(duì)給定的側(cè)滑角指令βc=0°，滾轉(zhuǎn)角γc設(shè)為交變的方波指令信號(hào)，仿真結(jié)果如圖10～圖13所示。

從圖10和圖11中可以看到，控制系統(tǒng)跟蹤滾轉(zhuǎn)角指令準(zhǔn)確，響應(yīng)迅速，并且穩(wěn)定性好；控制系統(tǒng)對(duì)飛行器滾轉(zhuǎn)產(chǎn)生的側(cè)滑角的抑制效果明顯，最大側(cè)滑角βmax=0.75°，滿足小于3° 的通常設(shè)計(jì)要求。圖12顯示，根據(jù)反饋線性化方法設(shè)計(jì)的控制器實(shí)現(xiàn)了滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道的解耦控制，并且控制器能夠使副翼和控制力矩陀螺協(xié)調(diào)動(dòng)作，飛行器在操縱副翼跟蹤滾轉(zhuǎn)指令的同時(shí)，控制力矩陀螺的操縱律能夠?qū)?cè)滑角進(jìn)行有效的抑制，避免了運(yùn)動(dòng)耦合的發(fā)生，最終使飛行器達(dá)到協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎的目的?？刂七^(guò)程中副翼偏角|δx|<15°，框架角|δc|<40° 均在約束范圍內(nèi)。通過(guò)圖13的對(duì)比可以看出，基于控制力矩陀螺的側(cè)滑角抑制裝置只需要較小的輸入力矩，便可獲得很大的輸出力矩，因此控制效率很高。綜合考慮可靠性、質(zhì)量、功耗和成本等因素，控制力矩陀螺是一種很有前景的新型飛行器側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)。在后續(xù)的研究中，將通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法作進(jìn)一步的驗(yàn)證。

圖10 滾轉(zhuǎn)角的時(shí)間歷程曲線Fig.10 History of roll angle

圖11 側(cè)滑角的抑制效果Fig.11 Results of sideslip angle suppression

圖12 執(zhí)行機(jī)構(gòu)操縱律Fig.12 Control law of actuator

圖13 單框控制力矩陀螺的力矩放大結(jié)果Fig.13 Torgue amplification results of SGCMG

5 結(jié) 論

本文旨在將SGCMG應(yīng)用于BTT飛行器協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制系統(tǒng)中，建立了SGCMG與BTT飛行器聯(lián)合的傾斜轉(zhuǎn)彎動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于非線性反饋和LQR算法的解耦綜合控制器。從理論上證明了這種控制方法的先進(jìn)性，數(shù)值仿真的結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法的有效性。研究結(jié)果表明：

1) 基于單框控制力矩陀螺的BTT飛行器側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，采用兩個(gè)轉(zhuǎn)向相反的陀螺轉(zhuǎn)子構(gòu)成側(cè)滑角抑制裝置，能夠?qū)?cè)滑角進(jìn)行有效的調(diào)節(jié)。

2) 采用控制力矩陀螺的側(cè)滑角抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，充分發(fā)揮了控制力矩陀螺的優(yōu)點(diǎn)，利用較小的輸入力矩可產(chǎn)生放大的輸出力矩，力矩放大倍數(shù)可達(dá)約3.5倍并且可調(diào)，控制效率很高。

3) 根據(jù)反饋線性化方法設(shè)計(jì)的控制器，實(shí)現(xiàn)了飛行器滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道的解耦控制，控制器對(duì)指令信號(hào)跟蹤準(zhǔn)確，并且跟蹤響應(yīng)快、穩(wěn)定性好。

4) 控制系統(tǒng)保證了副翼和控制力矩陀螺協(xié)調(diào)動(dòng)作，能夠完成BTT飛行器的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎任務(wù)，滿足飛行器橫側(cè)向機(jī)動(dòng)的要求。

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(責(zé)任編輯： 蘇磊)

*Corresponding author. E-mail: dqcao@hit.edu.cn

Coordinated turn of BTT vehicle based on control moment gyroscopes

ZHAO Kun, CAO Dengqing*, HUANG Wenhu

SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China

A coordinated turn control approach that takes coupling factors between channels into account is proposed for the problem on the sideslip angle introduced by the lateral maneuvering of the Bank-To-Turn (BTT) vehicle. A suppression actuator for the sideslip angle based on the Single Gimbal Control Moment Gyroscope (SGCMG) is put forward to replace traditional actuators, such as rudder, vector thrust engine, etc. A multivariable and strong coupling nonlinear BTT dynamical model is established for the case of lateral maneuvering of the BTT vehicle installed with a control moment gyroscope. According to the requirement of coordinated turning of BTT vehicle in lateral maneuvering, a decoupling control law based on feedback linearization and linear quadratic optimal algorithm is developed. Numerical results show that the coordinated turn control law is valid for tracking of the roll angle and active suppressing of the sideslip angle.

Bank-To-Turn (BTT) vehicle; coordinate turn; control moment gyroscope; sideslip angle suppression; feedback non-linearization; linear quadratic regulator

2017-01-03； Revised： 2017-02-20； Accepted： 2017-04-16； Published online： 2017-05-08 16:46

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170508.1646.002.html

National Natural Science Foundation of China (91216106)

V249.1

A

1000-6893(2017)09-321096-11

2017-01-03； 退修日期： 2017-02-20； 錄用日期： 2017-04-16； 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間： 2017-05-08 16:46

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170508.1646.002.html

國(guó)家自然科學(xué)基金(91216106)

*通訊作者.E-mail: dqcao@hit.edu.cn

趙坤， 曹登慶， 黃文虎． 基于控制力矩陀螺的BTT飛行器協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎[J]． 航空學(xué)報(bào), 2017, 38(9): 321096. ZHAO K, CAO D Q, HUANG W H. Coordinated turn of BTT vehicle based on control moment gyroscopes[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 321096.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.321096