基于力約束的空心渦輪葉片陶芯定位方法

崔康， 汪文虎， 蔣睿嵩， 趙德中， 靳淇超

西北工業(yè)大學 現(xiàn)代設(shè)計與集成制造技術(shù)教育部重點實驗室， 西安 710072

基于力約束的空心渦輪葉片陶芯定位方法

崔康， 汪文虎， 蔣睿嵩*， 趙德中， 靳淇超

西北工業(yè)大學 現(xiàn)代設(shè)計與集成制造技術(shù)教育部重點實驗室， 西安 710072

精鑄蠟型作為空心渦輪葉片精鑄過程重要的前期工藝轉(zhuǎn)接件，其壁厚精度主要由蠟型模具型腔與內(nèi)部陶芯的位置匹配關(guān)系決定。由于陶芯在模具內(nèi)完全依靠定位元件實現(xiàn)空間定位，為減小由定位誤差引起的陶芯位姿漂移，提出了一種基于力平衡約束的空心渦輪葉片精鑄模具陶芯定位布局優(yōu)化方法。首先，通過建立陶芯定位誤差傳遞模型，揭示了定位誤差與陶芯空間位姿擾動量之間的映射關(guān)系；其次，根據(jù)力平衡原理構(gòu)建了基于力約束的陶芯定位布局優(yōu)化模型；之后，針對陶芯表面定位候選點的離散分布特性，結(jié)合遺傳算法給出了陶芯定位布局點的詳細求解策略。最后，仿真對比證明了利用本文所提方法獲得的陶芯定位方案可以在保證陶芯定位穩(wěn)定性的同時提高陶芯定位精度，此外，按照優(yōu)化后的定位方案壓制實際蠟型，壁厚檢測結(jié)果也進一步表明所提方法的有效性。

空心渦輪葉片； 蠟型； 陶芯； 定位布局； 力平衡； 遺傳算法

空心渦輪葉片是航空發(fā)動機的核心熱端部件，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、精度及強度要求高，目前主要通過熔模精密鑄造方法制備，具體流程包括：制芯，模具設(shè)計、壓蠟、制殼、脫蠟、澆鑄等環(huán)節(jié)。精鑄蠟型作為重要前期工藝轉(zhuǎn)接件，其形狀精度是影響葉片成形質(zhì)量的重要因素[1]?？招臏u輪葉片精鑄蠟型形狀精度主要包含外形輪廓精度以及壁厚精度。研究表明：通過提升蠟料性能[2]、預(yù)測型面誤差[3-5]、優(yōu)化鑄件結(jié)構(gòu)[6]及相關(guān)工藝參數(shù)[7-8]可以有效改善蠟型外形輪廓精度；而蠟型壁厚精度主要由蠟型模具型腔與內(nèi)部陶芯的位置匹配關(guān)系決定[9]。在蠟型模具中，陶芯完全依靠定位及夾緊元件限位固定，在模具型腔不變的情況下，由定位誤差引起的陶芯位姿漂移是導致蠟型壁厚偏差的決定性因素。因此，通過合理設(shè)計陶芯定位布局方案，減小定位誤差對陶芯定位精度的影響，可以有效提高精鑄蠟型壁厚精度。

針對空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位問題，崔康等[10]提出了一種通過逆向調(diào)整定位元件尺寸進而提高蠟型壁厚精度的方法。另外，基于模型匹配算法，馮煒等[11]提出了一種陶芯定位元件尺寸計算方法。然而，上述文獻并未對陶芯定位布局方案設(shè)計展開探討。事實上，陶芯定位可近似為一般工件定位問題。Asnte[12]基于彈性接觸力學相關(guān)理論以及有限元仿真技術(shù)給出了工件加工過程中各定位夾緊元件載荷計算方法。Wu和Chan[13]以及Chou等[14]以定位夾緊元件載荷為優(yōu)化目標，分別基于遺傳算法和線性規(guī)劃理論給出了工件定位夾緊布局的相關(guān)計算方法。Liao[15]針對板類零件變形量提出了一種板類零件定位夾緊位置空間布局優(yōu)化方法。Li和Melkote[16]假定工件在加工過程中的彈性位移是由定位夾緊點處的工件彈性變形引起的，并基于此給出了這一種工件定位夾緊布局優(yōu)化方法。Kaya[17]、Prabhaharan等[18]以及Padmanaban等[19-20]將工件加工過程中表面型值點變形量作為優(yōu)化目標，分別對呈離散或連續(xù)分布狀態(tài)的定位夾緊候選點集給出了基于有限元理論及啟發(fā)式算法的定位夾緊布局優(yōu)化方法。Rex和Ravindran[21]則遍歷工件所有可能的定位夾緊方案，通過對加工過程進行數(shù)值仿真，得到了最優(yōu)定位夾緊方案。然而，上述方法均是以減小定位夾緊元件受力或工件變形量為主要優(yōu)化目標，并未考慮定位誤差對工件定位精度的影響。Wang等[22-23]和Xiong等[24]提出一種基于定位誤差模型的工件定位布局優(yōu)化方法，但由于沒有考慮工件自重對定位方案的影響，因此，優(yōu)化結(jié)果常無法滿足工件定位穩(wěn)定性要求；此外，由于該模型采用Greed算法和Interchange算法求解，因此，計算結(jié)果也常陷入局部最優(yōu)。

為此，本文針對空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位問題，提出了一種基于力平衡約束的定位布局求解方法。首先通過建立定位誤差傳遞模型，獲得了陶芯定位誤差與空間位姿擾動量之間的映射關(guān)系。其次，考慮到陶芯自重問題，建立了基于力平衡約束的陶芯定位布局優(yōu)化模型，并結(jié)合遺傳算法給出了該模型的詳細求解步驟。最后，結(jié)合具體實例對本文及Wang等[22-23]所提方法進行了對比驗證，結(jié)果表明本文所提方法在陶芯定位穩(wěn)定性以及定位誤差控制方面具有一定優(yōu)勢，可為空心渦輪葉片蠟型壁厚控制提供基礎(chǔ)理論。

1 定位誤差傳遞模型

如圖1所示，在空心渦輪葉片蠟型壓制過程中，陶芯完全依靠定位及夾緊元件實現(xiàn)空間限位，定位元件決定了陶芯空間姿態(tài)，夾緊元件保證了陶芯與定位元件始終接觸。由于定位元件存在定位誤差，陶芯實際位姿相較于理論位置必然存在一定擾動。為研究定位布局方案對陶芯定位精度的影響，首先需要建立定位誤差與陶芯空間位姿擾動量之間的函數(shù)關(guān)系。

圖1 陶芯定位示意圖Fig.1 Illustration of ceramic core localization

根據(jù)剛體運動學知識可知，剛體在三維空間o-xyz內(nèi)的任意運動可以分解為沿某方向λ的平移運動及繞某方向ω的旋轉(zhuǎn)運動。假設(shè)由定位誤差引起的陶芯空間位姿擾動量為

Δq=[ΔbTΔθT]T

(1)

式中:Δb=[ΔbxΔbyΔbz]T為平移擾動量；Δθ=[ΔθxΔθyΔθz]T=Θ·τ為旋轉(zhuǎn)擾動量，且τ為沿旋轉(zhuǎn)軸ω方向的單位向量，Θ為轉(zhuǎn)動角。如圖2所示，陶芯表面上任意一點i的位置偏移量Δri也必然包含平移分量Δb以及另外一個繞軸ω的旋轉(zhuǎn)分量Δφi，即

Δri=Δb+Δφi

(2)

此外，由圖2可知，當旋轉(zhuǎn)擾動量Δθ較小時，Δφi的表達式為

Δφi≈(Θdi)·ci=Θ·(τ×ri)=Δθ×ri

(3)

式中：di為點i到旋轉(zhuǎn)軸ω的歐式距離；Θdi為旋轉(zhuǎn)弧長；ci為沿旋轉(zhuǎn)方向且與由旋轉(zhuǎn)軸ω及點i所

圖2 陶芯定位誤差傳遞模型Fig.2 Model for locating error transfer of ceramic core

構(gòu)成的平面垂直的單位向量；ri為點i的坐標向量。

由此，聯(lián)立式(2)和式(3)可以得陶芯空間位姿擾動量Δq與陶芯表面點i位置偏移量Δri之間的映射關(guān)系為

Δri=Δb+Δθ×ri

(4)

另外，由于點i坐標ri滿足陶芯型面方程：

f(ri)=0

(5)

因此，對式(5)微分可以進一步求得陶芯表面點i處指向陶芯內(nèi)部的單位法向矢量為

(6)

事實上，若點i恰好是陶芯表面某定位點，且將偏移量Δri在點i法矢方向的投影近似為定位元件在該點處的定位誤差，那么，陶芯定位誤差與陶芯空間位姿擾動量之間的映射關(guān)系可簡化為

(7)

式中：ji=[(dri)T(ri×dri)T]T。

當陶芯表面存在k個定位點，且定位誤差分別為Δe1、Δe2、Δe3、…、Δek，代入式(7)聯(lián)立可得定位誤差與陶芯空間位姿擾動量之間的函數(shù)關(guān)系：

(8)

式中：J為定位Jacobian矩陣。

另外，考慮工件定位完整性，當陶芯表面各定位點不存在定位誤差：ΔE=0，陶芯的空間位姿應(yīng)唯一存在，即Δq=0應(yīng)是式(8)的唯一解。由此可知：陶芯表面至少需要6個定位點，且對應(yīng)定位Jacobian矩陣J滿秩，才能保證陶芯空間位姿唯一不變。

2 定位布局優(yōu)化模型

根據(jù)式(8)可知，陶芯空間位姿擾動量Δq不僅取決于定位誤差，同時還與定位Jacobian矩陣J有關(guān)，前者是由定位元件制造誤差及裝配誤差造成，不可避免；后者取決于定位點在陶芯表面的空間分布。因此，在保證陶芯定位完整性的前提下，尋求一種最佳定位布局方案使得相同定位誤差條件下陶芯位姿擾動量最小是空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位布局設(shè)計的主要目標。

2.1 定位布局求解基本模型

對式(8)作如下變換：

ΔE=JΔq?

(9)

同時令：

M=JTJ

(10)

綜上所述，陶芯定位布局基本求解模型可以表述為：在陶芯表面的候選點集P_set中找出使接觸信息矩陣行列式det(M)最大的6個定位點，且該行列式最大值det(M)max≠0，即

(11)

2.2 重力平衡約束條件

陶芯定位元件不僅決定了陶芯的空間位姿，其還應(yīng)該滿足陶芯定位穩(wěn)定性需求，即在定位點處由陶芯自重引起的定位元件反作用力應(yīng)與陶芯自重滿足靜力平衡關(guān)系，從而防止陶芯置放時滑移、滑落。

陶芯在蠟型模具中一般采用葉盆朝下或者葉背朝下兩種置放形式，如圖3所示。將兩種置放形式下的陶芯重力載荷分別表示為Gbasin、Gback，且

(12)

圖3 陶芯定位方式Fig.3 Locating modes of ceramic core

式中：g為葉盆朝下時的重力矢量；t為葉盆朝下時的重力矩矢量。在不考慮陶芯與定位元件之間摩擦力的情況下，上述兩種置放形式對應(yīng)的陶芯定位靜力平衡方程可表示為

(13)

(14)

在陶芯定位過程中，定位元件只能提供沿接觸點法矢方向且指向陶芯內(nèi)部的正壓力。針對上述兩種置放形式，如果在任意一種置放形式下，若某種陶芯定位布局方案能使得定位點平衡力大于零，即正壓力，那么可以認為該定位布局方案滿足陶芯定位穩(wěn)定性需求。因此，基于重力平衡的陶芯定位布局求解約束條件可表示為

(15)

據(jù)此，基于重力約束的空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位布局求解問題可以表示為

(16)

為了便于求解，現(xiàn)將式(16)模型作出如下簡化：

1) 針對約束條件一，如果優(yōu)化結(jié)果det(M)max=0，那么本次候選點集中不存在滿足陶芯定位唯一性的定位布局方案，因此需要更新候選點集。但是在模型優(yōu)化求解過程中，不需要考慮約束條件一對優(yōu)化結(jié)果的影響。

2) 針對約束條件二，可以采用內(nèi)部懲罰法，將約束條件整合到優(yōu)化模型中。最終得到無約束的空心渦輪葉片蠟型模具陶芯定位布局求解模型：

6 points→from:P_set

(17)

式中：γ、η為力平衡約束因子。

3 模型優(yōu)化算法

由于陶芯表面定位候選點集呈離散分布狀態(tài)，且候選點與優(yōu)化模型不存在明顯的梯度關(guān)系，因此針對連續(xù)參數(shù)空間的傳統(tǒng)優(yōu)化算法并不適用于上述模型的求解。目前，針對離散空間的模型優(yōu)化問題，一般采用啟發(fā)式算法求解。遺傳算法就是一種針對非連續(xù)參數(shù)空間，通過模擬生物進化機制從而實現(xiàn)高效、并行、全局搜索的啟發(fā)式優(yōu)化算法。該方法不依賴優(yōu)化模型的梯度信息，采用概率化的尋優(yōu)方式，能夠跳出局部最優(yōu)解并自適應(yīng)的調(diào)整搜索方向，非常適合本文所提陶芯定位布局優(yōu)化模型。因此，本文基于遺傳算法，建立了空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位布局優(yōu)化模型求解方法，具體步驟如下：

步驟1 候選點選擇。在陶芯表面適合定位的部位選取N個候選點，對其進行二進制編碼。

步驟2 初始化。選取m種布局方案作為初始種群，且m為偶數(shù)。每種方案被稱之為種群個體，每個種群個體包含了6個從候選點集中隨機挑選的定位點。

步驟3 個體評價。按照式(18)對初始種群進行個體評價，計算每個個體的適應(yīng)度Ti。

i=1,2，…,m

(18)

步驟4 選擇運算。按照式(19)計算初值種群每個個體被挑選到的概率分布pi，并利用隨機數(shù)在初始種群中挑選m/2對個體。

(19)

步驟5 交叉及變異運算。基于每個個體在候選點中的二進制編碼，對步驟4中m/2對個體進行交叉及變異置換，并按照式(18)重新對交叉變異后的m個個體的適應(yīng)度進行求解。

步驟6 種群迭代。在初始種群以及交叉變異后的種群中分別選取適應(yīng)度最大的2個和m-2個個體作為下次迭代的初始種群，并跳轉(zhuǎn)至步驟3。

步驟7 停止條件。當?shù)螖?shù)超過預(yù)設(shè)最高迭代次數(shù)n時，計算終止。

4 算法驗證

結(jié)合具體空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位布局問題，對上述算法及Wang等[22-23]所提算法進行了對比分析，并通過壓制實際蠟型對優(yōu)化結(jié)果進行了實例驗證，分析及驗證過程如下。

4.1 對比計算

圖4為驗證用空心渦輪葉片精鑄蠟型陶芯三維模型。由陶芯定位原理可知，在蠟型壓制完成后蠟型表面會殘留定位孔，為保證蠟型葉身型面質(zhì)量，定位元件候選點應(yīng)分布在葉尖以及葉根位置，同時綜合考慮蠟型模具結(jié)構(gòu)及陶芯裝夾工藝特點，最終在陶芯表面選取了256個定位候選點，如圖5所示。

另外，基于陶芯型面方程，獲取了各候選點空間坐標以及指向陶芯內(nèi)部的單位法向矢量，并將陶芯定位布局優(yōu)化模型及求解算法中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

圖4 實驗用陶芯三維模型Fig.4 3D model of experimental ceramic core

最后，利用遺傳算法對目標方程式(17)進行了迭代求解，結(jié)果表明每代種群的個體適應(yīng)度最大值Tmax呈收斂狀態(tài)，如圖6所示。最終得到的陶芯定位布局方案如圖7所示。圖8為基于Wang等[22-23]所提方法求解得到的陶芯定位布局方案。

為驗證上述方案是否滿足陶芯定位穩(wěn)定性要求，根據(jù)式(14)分別計算了兩種方案下為平衡陶芯重力各定位點所需力的大小，結(jié)果如表2所示。

圖5 陶芯定位候選點Fig.5 Locating candidate points of experimental ceramic core

表1 陶芯定位布局優(yōu)化模型相關(guān)參數(shù)值

Table 1 Parameter values involved in optimization model for layout of ceramic core localization

ParameterγηmnValue11100500

圖6 各代種群適應(yīng)度最大值Fig.6 Maximum individual fitness in each generation

圖7 陶芯定位方案1Fig.7 Locating strategy 1

圖8 陶芯定位方案2Fig.8 Locating strategy 2

表2 兩種定位方案各定位元件陶芯重力反作用力大小Table 2 Reacting forces required from locating rods to balance core gravity with respect to two locating strategies

LocatingstrategyForcerequiredfromlocation/NRod1Rod2Rod3Rod4Rod5Rod6100.00150.6398 0.01670.2929 0.5507200.18620.7117-0.04930.8375-0.0237

在方案1中，各定位點所需要提供的力均大于0，即：所有定位元件只需提供正壓力便可滿足陶芯靜力平衡。相反，在方案2中，定位元件需要在定位點4、6處提供拉力，明顯不滿足陶芯定位穩(wěn)定性需求。由此可見，本文所提算法能夠有效約束定位元件布局方案使其滿足陶芯靜力平衡需求。優(yōu)化后的方案可以在置放陶芯時為陶芯提供足夠支撐，防止其滑移或滑落。

另外，為驗證本文所提方法在陶芯定位誤差控制方面的性能，本文設(shè)計如下對比實驗：

步驟1 由于陶芯定位誤差具有統(tǒng)計意義，即各個定位點誤差均服從獨立的正態(tài)分布。為此，基于正態(tài)分布N(0,0.05)為上述兩種定位方案分別隨機生成了1 000組定位誤差。

步驟2 根據(jù)式(8)分別計算每組定位誤差引起的陶芯空間位姿擾動量Δq。

步驟3 陶芯空間位姿擾動量包含平移擾動量以及旋轉(zhuǎn)擾動量，由于平移和旋轉(zhuǎn)具有累加效應(yīng)，因此無法直觀的通過位姿擾動量對陶芯位姿變化進行判定。為此在陶芯表面對蠟型壁厚影響最為敏感前后緣位置挑選了100個評估點(如圖9 所示)，分別計算陶芯漂移前后位姿評估點的空間位移量，并將最大值作為陶芯位姿變化的衡量標準。

計算結(jié)果如圖10和圖11所示。在定位方案1中，1 000組定位誤差引起的陶芯位姿評估點最大

圖9 陶芯漂移評估點Fig.9 Evaluating points for shift of ceramic core

圖10 基于定位方案1的陶芯最大偏移量 Fig.10 Maximum displacement of ceramic core with respect to locating strategy 1

圖11 基于定位方案2的陶芯最大偏移量 Fig.11 Maximum displacement of ceramic core with respect to locating strategy 2

位移量的平均值為0.068 7 mm。在定位方案2中，該值為0.086 3 mm。上述結(jié)果說明，相較于Wang等[22-23]的方法，本文所提算法在保證陶芯定位穩(wěn)定性的同時在陶芯定位誤差控制方面也具有一定優(yōu)越性。

4.2 實例驗證

按照圖7所示的陶芯定位布局方案及陶芯置放形式(葉盆朝下)，作者設(shè)計了相應(yīng)的定位元件以及蠟型模具，如圖12所示。最終，基于表3所示的工藝參數(shù)壓制了實際蠟型5組，如圖13所示。對關(guān)鍵截面進行壁厚測量，結(jié)果表明蠟型壁厚滿足設(shè)計公差需求(±0.05 mm)，如表4所示。該實驗證明了本文所提方法具有一定實際可行性。

圖12 蠟型模具及壓蠟過程Fig.12 Wax pattern die and wax injection process

表3 壓蠟工藝參數(shù)Table 3 Parameter values of wax injection experiment

ParameterInjectionpressure/MPaHoldingpressure/MPaWaxtempera-ture/℃Holdingtime/sCoolingtime/sValue1.01.0602020

圖13 精鑄蠟型Fig.13 Wax patterns

表4 精鑄蠟型測量截面最大壁厚偏差

Table 4 Maximum wall-thickness errors for measurement sections of wax patterns

Numberofmea-surementsectionError/mmPattern1Pattern2Pattern3Pattern4Pattern51 0.048 0.039-0.026 0.039-0.0312-0.036-0.041 0.037-0.048 0.0383 0.042 0.047 0.046-0.041-0.039

5 結(jié) 論

1) 基于剛體定位誤差傳遞理論以及靜力平衡原理，提出了一種空心渦輪葉片精鑄蠟型模具陶芯定位布局優(yōu)化模型，并結(jié)合遺傳算法給出了該模型的求解方法。

2) 仿真對比分析發(fā)現(xiàn)：相較于Wang等[22-23]所提的方法，利用本文所提方法得到的陶芯定位布局方案可以在保證陶芯定位力學穩(wěn)定性的同時進一步減小由陶芯定位誤差引起的陶芯位姿漂移。

3) 壓蠟實驗表明：利用本文所提方法設(shè)計的陶芯定位方案可以保證壓制出的蠟型壁厚精度滿足設(shè)計公差要求(小于±0.05 mm)。

4) 值得指出的是：壓蠟工藝參數(shù)對蠟型壁厚精度也會產(chǎn)生一定影響，而本文未就工藝參數(shù)的選擇及優(yōu)化展開討論，該方面的研究將在后續(xù)論文中進行深入探討。

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(責任編輯： 李世秋)

*Corresponding author. E-mail: jiangrs@nwpu.edu.cn

Force-constraint method for localization of ceramic core of hollow turbine blade

CUI Kang, WANG Wenhu, JIANG Ruisong*, ZHAO Dezhong, JIN Qichao

KeyLaboratoryofContemporaryDesignandIntegratedManufacturingTechnologyofMinistryofEducation,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

The wax pattern is always used as a dimension transfer component in near-net-shape casting process for a hollow turbine blade, and its wall-thickness accuracy entirely depends on the positional relationship between the die cavity of the wax pattern and the internal ceramic core. Generally, the ceramic core is located in the wax pattern die through a series of locating rods. In order to reduce the positional shift of the ceramic core caused by locating errors, a locating layout optimization method based on the force-balance constraint is proposed in this paper. An error transfer model, which formulates the mapping relationship between localization errors and perpetuation of the ceramic core, is established. According to the static equilibrium theory, an optimization model for locating the layout of the ceramic core is then proposed based on gravity constraint. Considering the discrete feature of locating the candidate point on the surface of the ceramic core, a solving strategy for the optimization model is given by utilizing the genetic algorithm. Comparisons of simulation results prove that the locating layout optimized with the method in this paper can improve the localization accuracy of the ceramic core, while guaranteeing the localization stability. Based on a wax injection experiment, the feasibility of the optimization result is also demonstrated.

hollow turbine blade; wax pattern; ceramic core; localization layout; force balance; genetic algorithm

2017-03-01； Revised： 2017-04-13； Accepted： 2017-04-21； Published online： 2017-05-19 09:27

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170519.0927.004.html

s： National Natural Science Foundation of China (51475374, 51505387)； the Fundamental Research Funds for the Central Universities (3102015ZY087)

V263.1

A

1000-6893(2017)09-421209-09

2017-03-01； 退修日期： 2017-04-13； 錄用日期： 2017-04-21； 網(wǎng)絡(luò)出版時間： 2017-05-19 09:27

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170519.0927.004.html

國家自然科學基金(51475374, 51505387)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(3102015ZY087)

*通訊作者.E-mail: jiangrs@nwpu.edu.cn

崔康， 汪文虎， 蔣睿嵩， 等． 基于力約束的空心渦輪葉片陶芯定位方法[J]． 航空學報, 2017, 38(9): 421209. CUI K, WANG W H, JIANG R S, et al. Force-constraint method for localization of ceramic core of hollow turbine blade[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 421209.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421209