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    淺談中學(xué)物理圖像中的斜率

    2017-11-15 09:11:41楊清源
    物理教學(xué)探討 2017年10期
    關(guān)鍵詞:割線切線斜率

    楊清源

    摘 要:物理圖像既是研究物理的重要方法,也是歷年全國各卷高考的重點(diǎn),尤其是圖像的斜率問題,既是熱點(diǎn)也是易錯點(diǎn)。本文從斜率的定義出發(fā),探討了物理圖像中切線斜率和割線斜率的含義,并進(jìn)行分類討論,理清了不同情況下斜率的區(qū)別和聯(lián)系。

    關(guān)鍵詞:物理圖像;切線;割線;斜率

    中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-6148(2017)10-0041-4

    物理圖像在中學(xué)物理中占有很重要的位置,物理圖像可以直觀、形象地描述相關(guān)物理量之間的關(guān)系。物理圖像包含的信息很多,其中正確理解圖像中圖線的斜率是正確理解和應(yīng)用物理圖像的重要環(huán)節(jié)。

    1 圖像中斜率的定義

    1.1 數(shù)學(xué)圖像中斜率的定義

    在人教版《數(shù)學(xué)必修2》中寫到“在直角坐標(biāo)系中,我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα”。結(jié)合正切三角函數(shù)的定義,我們可知,直線斜率也為k=(此處x和y分別是自變量和因變量)。如果函數(shù)圖線為曲線,則曲線上某點(diǎn)的斜率是指過該點(diǎn)的切線的斜率,k==tanα。如圖1,其中α是切線和x軸正向夾角,取值范圍是0°到180°,斜率有正負(fù)之分。斜率k=其實就是當(dāng)Δx趨近于0的時候y對x的變化率,也就是y對x的導(dǎo)數(shù)。按照中學(xué)物理的教學(xué)習(xí)慣,我們還是用表述。

    在數(shù)學(xué)中,圖線上某點(diǎn)割線斜率,定義為該點(diǎn)P(x,y)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,割線斜率大小為k==tanβ,如圖1。

    結(jié)合圖1,比較切線斜率和割線斜率的定義,可知切線斜率和割線斜率明顯不同。

    1.2 物理圖像中斜率的定義

    物理圖像中的斜率定義和數(shù)學(xué)圖像中的斜率定義大體相同,也定義為k=(此處x和y是兩個不同的物理量)。其實,斜率就是物理量y對另一物理量x的導(dǎo)數(shù),它與物理量y的函數(shù)對物理量x的求導(dǎo)結(jié)果是一樣的。但物理圖像和數(shù)學(xué)圖像又有明顯區(qū)別:物理圖像中,由于橫縱坐標(biāo)相應(yīng)物理量的單位長度不同,甚至無關(guān),因而物理圖線斜率通常只寫成k=,而不寫成k=tanα,即斜率不再與具體角度數(shù)值對應(yīng)。

    同理,物理圖像中的割線斜率大小為k=,即圖線上某點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,物理圖像中的割線斜率同樣不涉及角度。

    由于切線斜率和割線斜率形式相似,而含義不同,在物理學(xué)習(xí)中,學(xué)生經(jīng)常將兩者混淆。

    2 物理圖像中切線斜率的物理意義

    物理圖像中,圖線都有斜率(在沒有特別說明的情況下,通常將圖線的切線斜率簡稱為圖線斜率或斜率),但斜率不一定有物理意義。如果斜率有物理意義,則斜率的正負(fù)通常也有相應(yīng)的物理意義。在中學(xué)物理中,圖線斜率有意義的通常有下面兩種情況。

    2.1 斜率反映物理量對時間的變化率

    中學(xué)物理有很多物理量反映的是另一些物理量A對時間t的變化快慢,也稱之為A對時間的變化率,常用比值法定義,形式為,如速度、加速度、功率、感應(yīng)電動勢等。這些物理量有瞬時值和平均值之分,在相應(yīng)的A-t圖像中,斜率有物理意義,與圖線是直線或是曲線無關(guān)。通常物理量A是時間t的連續(xù)函數(shù)A=f(t),斜率即為A對t的導(dǎo)數(shù)。

    例如,加速度是反映速度變化快慢的物理量,其定義是速度的變化量Δv和相應(yīng)時間Δt的比值,即a=。Δv是過程量,當(dāng)Δt為某段時間的時候,a是平均加速度;當(dāng)Δt趨近于0的時候,a就是瞬時加速度。做直線運(yùn)動的物體,在其速度隨時間變化的v-t圖中,斜率反映的正是瞬時加速度,斜率的絕對值為加速度的大小,斜率的正負(fù)反映加速度的方向。

    再如,感應(yīng)電動勢反映的是磁通量的變化快慢,也叫磁通變化率,對于單匝閉合線圈,其定義式是E=。磁通變化量ΔΦ是過程量,當(dāng)Δt為某段時間的時候,E=是平均感應(yīng)電動勢;當(dāng)Δt趨近于0的時候,E=就成了瞬時電動勢。在單匝閉合線圈的磁通量隨時間變化的Φ-t圖中,斜率是瞬時感應(yīng)電動勢,斜率絕對值為電動勢的大小,斜率的正負(fù)符合楞次定律,反映感應(yīng)電流的方向。假如磁通量是復(fù)雜的時間函數(shù),通過求導(dǎo),可知電動勢的變化情況,其導(dǎo)數(shù)與圖線的斜率對應(yīng)。

    2.2 斜率反映物理量對空間的變化率

    也有一些物理量反映的是另一些物理量A對空間x的變化快慢,形式為,在相應(yīng)的A-x圖像中,斜率有物理意義,與圖線是直線或是曲線無關(guān)。通常物理量A是空間量x的連續(xù)函數(shù)A=f(x),斜率即為A對x的導(dǎo)數(shù)。

    在勻強(qiáng)電場中,電場強(qiáng)度可以表示為E=,其中d是沿電場方向某兩點(diǎn)間的距離,U是這兩點(diǎn)間的電勢差,亦即Δφ;如果不是勻強(qiáng)電場,則E=反映的是平均電場強(qiáng)度。在空間沿電場線方向,電勢隨空間位置變化的φ-x圖中,當(dāng)Δx趨近于0的時候,斜率就是該點(diǎn)的電場強(qiáng)度,因為電場強(qiáng)度反映的是電勢隨位置的變化快慢,其可以定義為,斜率正負(fù)反映電場強(qiáng)度的方向。

    例如,真空存在兩個靜止的等量同種正點(diǎn)電荷,相隔一定距離,沿它們的中垂線建立坐標(biāo)系Ox,坐標(biāo)原點(diǎn)為兩個點(diǎn)電荷連線中點(diǎn),設(shè)無窮遠(yuǎn)電勢為0,則電勢φ沿x軸的變化規(guī)律如圖2所示。

    由圖2可知,B位置圖線斜率比C位置圖線斜率絕對值大,即kBx>kCx,說明B位置電場強(qiáng)度比C位置強(qiáng);兩斜率正負(fù)符號相反,表明B、C兩點(diǎn)電場強(qiáng)度方向相反。同理,而O點(diǎn)圖線斜率為零,表明兩電荷連線中點(diǎn)電場為0。

    3 物理圖像中割線斜率的物理意義

    某些物理量雖由其他兩個物理量x和y定義,但不是按照斜率的形式定義,而只是的形式,故在y-x圖中斜率沒有物理意義,只有割線斜率有意義。

    例如,在小燈泡的伏安特性曲線中,如圖3所示,圖線上任一點(diǎn)的切線斜率沒有意義,而割線斜率才有意義,因為電阻的定義為R=,而不是R=。圖3中,燈泡在P狀態(tài)的電阻值為R===14 Ω,而不是R===35 Ω(本文不討論動態(tài)電阻)。endprint

    4 物理圖像中的特殊情況

    4.1 比值法定義的不變物理量

    某些物理量的定義雖不是,而是(包括變形式),但由于在特定條件下其數(shù)值并不變化,圖線為過原點(diǎn)的直線,如圖4,圖中割線斜率與切線斜率在數(shù)值上相等,此時物理量的大小等于,也等于圖線的斜率。值得注意的是,盡管兩者數(shù)值相等,但含義不同,有物理意義,但無物理意義,僅僅是數(shù)值相等。

    例如,彈簧在彈性限度以內(nèi),根據(jù)胡克定律F=kx(x為相對彈簧原長的形變量),在彈簧彈力和形變量的F-x圖中,k==。其他類似的還有電容器電量和板間電壓Q-U圖中,電容C==;電場中空間某點(diǎn)檢驗電荷受到的電場力大小和檢驗電荷電量F-q圖中,電場強(qiáng)度E==,等等。

    4.2 物理規(guī)律中的物理常量

    在某些物理規(guī)律相應(yīng)的物理公式中,含有某些物理常量,雖然它不是按照斜率的形式定義,但由于其不變的特點(diǎn),如果視物理公式為數(shù)學(xué)函數(shù),也可以在相應(yīng)物理圖像中按照斜率處理。

    例如,根據(jù)光電效應(yīng)方程可以得到EK=hν-W,在光電子最大初動能和入射光頻率的EK-ν圖中,斜率為普朗克常量h,如圖5。

    中學(xué)定量處理的物理圖像以直線居多,即線性函數(shù)。但在很多物理規(guī)律中,相關(guān)物理量之間并不是線性關(guān)系,如果將公式中某部分作為一個整體并當(dāng)成新的變量,那么就可以將非線性函數(shù)變成線性函數(shù),也就將物理圖像由曲線變成了直線(不一定過原點(diǎn))。此時圖線斜率是定值,斜率與一個或幾個不變的物理量或物理常數(shù)相關(guān),借助斜率就可以處理某些物理問題了。這種處理后的直線斜率有算術(shù)意義,在量值上等于某些不變物理量與常數(shù)的運(yùn)算結(jié)果,而斜率的正負(fù)通常沒有物理意義。

    例如,在用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葘嶒炛?,單擺做小角度擺動時候的周期公式是T=2π,變形可得L=,根據(jù)多次測量的數(shù)據(jù),畫出L-T2圖,根據(jù)圖像可求出圖線的斜率k=,又因為斜率k=,進(jìn)而可以求得重力加速度g。

    上述這種化曲為直的思想,借助斜率求解不變物理量的方法,體現(xiàn)著創(chuàng)新能力,是探究物理規(guī)律或者求解某些物理量的常見方法之一,這也是物理圖像法的優(yōu)點(diǎn)之一。

    干電池短時間工作,通常內(nèi)阻可視為定值。圖6為某干電池的伏安特性曲線,圖中U為電池的路端電壓,I為通過電池的電流,借助圖像我們通常用求電池內(nèi)阻r,能這么處理的原因有以下兩個方面:一是將閉合電路歐姆定律U=E-Ir視為數(shù)學(xué)函數(shù),電動勢E和內(nèi)阻r是定值,U-I圖線斜率絕對值數(shù)值上等于內(nèi)阻;二是根據(jù)電阻的定義和串聯(lián)電路電壓的關(guān)系,有r===。對于其他某些電源(比如光電池),其伏安特性曲線不是直線,其內(nèi)阻是變化的,此時r≠。

    5 典型易錯習(xí)題

    如圖7所示,某同學(xué)用輕繩通過定滑輪從靜止開始提升一重物,運(yùn)用傳感器(未在圖中畫出)測得不同時刻輕繩的拉力F和被提升重物的速度v,并描繪出了F-圖像,如圖8所示,圖中AB、BC和C點(diǎn)分別對應(yīng)連續(xù)的三個時間階段。取重力加速度g=10 m/s2,繩重及一切摩擦和阻力均可忽略不計。

    在提升重物的過程中,除了重物的質(zhì)量和所受重力保持不變以外,還有一些物理量的值也保持不變,請列舉之,并求出它們的大?。铀俣惹蠼饴裕?。

    常見求功率的錯誤解法:根據(jù)功率公式P=Fv(F與v夾角為0°),類比v-t圖可知,在F-圖中斜率即為功率,又因為BC段的斜率為定值,故第二過程中繩子拉力的功率是定值,即P===24 W。

    其實,F(xiàn)-圖中的斜率不是功率!否則會出現(xiàn)矛盾:BC段斜率是定值,該過程繩子拉力的功率是定值,即24 W;同理,AB段斜率是0,說明該過程繩子拉力沒有功率。而實際上,AB段對應(yīng)過程中繩子拉力肯定做功,是有功率的。出現(xiàn)矛盾!

    錯因分析:公式P=Fv中三個物理量都是瞬時值,在F-圖中,斜率沒有物理意義,它不是功率!不同瞬間(或不同狀態(tài))數(shù)值上才等于功率。也就是說,在F-圖中,BC段的斜率盡管為定值,但它不是功率,沒有意義,所以它不是“該過程繩子拉力的功率是定值”的依據(jù)。功率不變的依據(jù)應(yīng)該是:BC段上的不同點(diǎn),數(shù)值都相同,即割線斜率相同。只不過該段是過原點(diǎn)的直線,有=,恰巧等于功率。同理,在AB段中,斜率是0,但斜率不是功率!功率應(yīng)該是AB段上的不同點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值(即圖中AB段上任一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的割線斜率)。在由A到B的加速過程中,的數(shù)值是增大的,與實際情況相吻合。

    6 物理圖像中斜率含義小結(jié)

    物理圖像和物理概念、物理規(guī)律密切相關(guān),只有透徹理解物理概念,才能正確理解物理概念之間的量值關(guān)系,才能正確理解圖像中的斜率[1]:如果物理量能定義成,則圖線斜率有意義,否則無意義;如果物理量只是形式,則圖線上任一點(diǎn)的割線斜率有意義,切線斜率沒意義。特殊情況下,當(dāng)圖線為過原點(diǎn)直線的時候,切線和割線重合,物理量在數(shù)值上等于相應(yīng)的切線斜率和割線斜率,但含義不同。對于含有某些物理常數(shù)的物理規(guī)律,通過轉(zhuǎn)換變成一次函數(shù)后,圖線斜率數(shù)值上等于相關(guān)物理量的計算值。

    參考文獻(xiàn):

    [1]謝立峰.圖像中的兩類“斜率”[J].物理教學(xué)探討,2015,33(5):44.

    (欄目編輯 羅琬華)endprint

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