抽象思維引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

陳朝陽(yáng)

摘 要：在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)以感知概念、形成概念、理解概念、深化概念為序，由具體到抽象，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)由具體事物到抽象概念的形式，把思維變式與反思滲透其中，提升思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：抽象思維；概念教學(xué)；反思提升

數(shù)學(xué)的核心概念在教學(xué)中至關(guān)重要.在不同的教學(xué)觀指導(dǎo)下，會(huì)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì).一是關(guān)注數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，教學(xué)過(guò)程中將概念的內(nèi)涵層層演繹，深入淺出地展示在學(xué)生面前，或在師生的對(duì)話交談中體驗(yàn)概念的生成過(guò)程，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)打下基礎(chǔ)，但由于概念的內(nèi)涵展示強(qiáng)調(diào)過(guò)程，因而在“八股文”式的教學(xué)評(píng)估中難以實(shí)施.二是關(guān)注數(shù)學(xué)概念的外延，教學(xué)中忽視概念內(nèi)涵的挖掘，注重概念外延的深入挖掘，以提升學(xué)生的應(yīng)試能力，這一教學(xué)設(shè)計(jì)方法成為目前中學(xué)教學(xué)的常態(tài)，因?yàn)樗鼮橹械人降膶W(xué)生迅速提升應(yīng)試能力，參與“立竿見(jiàn)影”式的教學(xué)評(píng)價(jià)提供捷徑.三是既關(guān)注數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，又關(guān)注數(shù)學(xué)概念的外延，既介紹概念生成的背景，又在數(shù)學(xué)概念的外延上進(jìn)行變式訓(xùn)練，這是在素質(zhì)培育與應(yīng)試能力訓(xùn)練的結(jié)合上尋找一種平衡，本文關(guān)于“充分條件與必要條件”的課例正是一次探索.

人民教育出版社A版數(shù)學(xué)選修1-1，§1.2.1“充分條件與必要條件”，結(jié)合實(shí)例給出推斷符號(hào)“[?]”并引出充分條件、必要條件的概念.它們是研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的重要工具，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一.在“充分條件與必要條件”這節(jié)內(nèi)容前，教材安排了“命題及其關(guān)系”作為必要的知識(shí)鋪墊，并把充分、必要條件的定義安排在第一課時(shí)，第二課時(shí)學(xué)習(xí)充要條件.本節(jié)所講的充分條件、必要條件中的p、q與四種命題中的p、q內(nèi)容是一致的，即它們可以是簡(jiǎn)單命題，也可以是“若p則q”形式的復(fù)合命題，但本節(jié)中，一般只要求p、q是簡(jiǎn)單命題，而不作更深的討論.本節(jié)集中精力突破充分條件與必要條件，充分不必要條件，必要不充分條件概念，以及如何通過(guò)集合思想方法來(lái)判斷，因?yàn)榻鉀Q了這兩個(gè)重要概念，就可以比較容易理解后面的充要條件的概念，本節(jié)課不涉及充要條件和既不充分也不必要條件，這也是教材設(shè)計(jì)者的用意之一.

一、感知概念

問(wèn)題情境：

①請(qǐng)寫(xiě)出命題“若[x>a2+b2]，則[x>2ab]”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假；

②請(qǐng)寫(xiě)出命題“若[ab=0]，則[a=0]”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

T：觀察學(xué)生填寫(xiě)，請(qǐng)學(xué)生回答上述問(wèn)題.

S1：逆命題：若[x>2ab]，則[x>a2+b2]，為假命題；

否命題：若x≤a2+b2，則x≤2ab，為假命題；

逆否命題：若x≤2ab，則x≤a2+a2，為真命題.

S2：逆命題：若[a=0]，則[ab=0]，為真命題；

否命題：若ab≠0，則a≠0，為真命題；

逆否命題：若a≠0，則ab≠0，為假命題.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】從具體問(wèn)題出發(fā)來(lái)引出數(shù)學(xué)概念更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.問(wèn)題情境①②在這里起到承上啟下的作用，既復(fù)習(xí)了前面所學(xué)知識(shí)，又找準(zhǔn)了學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)上的生長(zhǎng)點(diǎn)，為后面充分條件和必要條件的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

問(wèn)題1：能否改變②中的條件，即增加一定的限制條件，使原命題變成真命題？

T：數(shù)學(xué)課代表，你先來(lái)試一試！

S3： 設(shè)b為非零實(shí)數(shù)，若[ab=0]，則[a=0.]

T：學(xué)習(xí)委員，你有新的命題嗎？

S4：若[ab=0]且[ab]=0，則[a=0]，…

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】此問(wèn)題有較大的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個(gè)問(wèn)題上同層次地施展，以此讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到命題中的條件與結(jié)論之間應(yīng)該具備某種關(guān)系.

T：以上兩個(gè)問(wèn)題的解答可以發(fā)現(xiàn)有的命題真，有的命題假，即有的命題可以從條件推得結(jié)論，有的則不能；而另外也有命題只要結(jié)論成立，就一定不能少了命題給出的條件，但是沒(méi)有這個(gè)條件，結(jié)論不一定能成立.那么命題中的條件與結(jié)論到底有怎樣的因果關(guān)系呢？

二、形成概念

T：為了簡(jiǎn)潔表達(dá)因果關(guān)系，當(dāng)“若p，則q”是真命題時(shí)，我們就說(shuō)，由p可推出q，記作“[p?q]”； 當(dāng)“若p，則q”是假命題時(shí)，我們就說(shuō)，由p推不出q，記作“p q”.

請(qǐng)用“[?]”和“ ”符號(hào)表示“感知概念”中的①和②及其逆命題.

S6：原命題條件推不出結(jié)論，填“ ”， 逆命題條件推出結(jié)論，填“[?]”.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】理解“[?]”符號(hào)的含義，為引出定義奠定知識(shí)基礎(chǔ).通過(guò)研究原命題，對(duì)建立在學(xué)生原有認(rèn)知水平上“充分”這個(gè)感性化的詞匯獲得數(shù)學(xué)意義上的認(rèn)識(shí)，引出充分條件的定義；通過(guò)研究逆否命題，又讓學(xué)生理解了q是p成立的“必須要有”的條件，引出必要條件的定義.

定義：“p[?]q”，也就是條件p“足以”保證或“充分”保證結(jié)論q成立，這時(shí)我們說(shuō)p是q的充分條件（sufficient condition）；從命題的角度看，“[p?q]”，根據(jù)逆否命題與原命題的等價(jià)性，也就是如果沒(méi)有q成立，就一定沒(méi)有p成立，q成立是p成立“必須要有”的前提條件，我們說(shuō)q是p的必要條件（necessary condition）.

T：“[p?q]” 稱(chēng)p是q的充分條件通俗理解：要使q成立，有p成立就足夠了；稱(chēng)q是p的必要條件” 通俗理解：q是p成立的必不可少的條件，若沒(méi)有q，則p一定不成立.“[p?q]且q p”表示p是q的充分而不必要條件；q是p的必要而不充分條件.

T：請(qǐng)用新定義表述完成上述兩表.

S7：∵p：[x>a2+b2][?] q：[x>2ab]，∴p是q的充分條件.

T：把原命題和逆命題合并思考，又如何表述？endprint

S7：q：[x>2ab]， p：[x>a2+b2]，∴p是q的充分不必要條件.

S8：∵p：[ab=0] q：[a=0]，而q：[a=0][?]p：[ab=0]，∴p是q的必要不充分條件.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)以上的實(shí)例，學(xué)生親身感知了概念的發(fā)生與形成過(guò)程，使充分、必要條件定義的引入順理成章，水到渠成，幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

問(wèn)題2：如何判斷p是q的什么條件？

S9：p可能是q的充分條件，也可能是必要條件.故判斷能否有[p?]q或[q?p].

例1 判斷p是q的什么條件，完成下表：

S10：∵x=1[?][x2-4x+3=0]，[x2-4x+3=0][?] x=1，∴p是q的充分不必要條件.

S10：∵f（x）=x[?][f（x）]在[（-∞，+∞）]上為增函數(shù)；反推不成立，∴p是q的充分不必要條件.

S10：∵x=[2]時(shí)，x2為有理數(shù)；“[x]為無(wú)理數(shù)” “[x2]為無(wú)理數(shù)”，反過(guò)來(lái)，我不會(huì)判斷.

T：誰(shuí)能判斷？

S11：[x2]為無(wú)理數(shù)[?][x]為無(wú)理數(shù)，否則，若x為有理數(shù)，x2為有理數(shù)，與[x2]為無(wú)理數(shù)矛盾，∴p是q的必要不充分條件.

S12：∵兩個(gè)三角形全等[?]這兩個(gè)三角形面積相等，反推不成立，∴p是q的充分不必要條件.

T：以上同學(xué)的分析和判斷正確，誰(shuí)將判斷p是q的什么條件的步驟理一理？

S13：首先認(rèn)清條件p和結(jié)論q；然后考察是否有[p?]q和q[?][p]，即原命題和逆命題的真假；最后作出判斷.

三、理解概念

例2 下列條件中哪些是[a+b>0]的充分而不必要條件？

A.[a>0，b>0] B. [a<0，b<0]

C. [a>0，b<0]且[|a|>|b|]

D.[a=3，b=-2] E.[a>-b] F.且[|a|>|b|]

引導(dǎo)：A，B，C，D，E，F(xiàn)中，誰(shuí)能推出[?][a+b>0]，但反過(guò)來(lái)，推不出.

S14：∵[a>0，b>0]，[a>0，b<0]且[|a|>|b|]，[a=3，b=-2]能推出[a+b>0]，反過(guò)來(lái)，推不出，∴選A，C，D.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】加強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、分析問(wèn)題的深刻性.

體驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們自己編寫(xiě)一個(gè)“充分而不必要條件、必要而不充分條件”的數(shù)學(xué)命題.

S15：若x>y>0，則x2>y2.

S16：在空間，兩直線無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線為異面直線……

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】給學(xué)生提供活動(dòng)的時(shí)（思維時(shí)間）空（思維空間），讓主體主動(dòng)構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生深化理解并運(yùn)用定義，同時(shí)讓學(xué)生在這一過(guò)程中獲得成功的喜悅.

四、深化概念

T：如果[p][?]q，但q [p]，那么[p]是q的充分不必要條件，q是[p]的必要不充分條件.

另外還可以表述為：q的充分不必要條件是p，p的必要不充分條件是q.

例3 寫(xiě)出[|x|>1]的一個(gè)必要不充分條件

.

思考：尋找結(jié)論q，使得[|x|>1][?]q，但q [?][|x|>1].

S17：x∈R

S18：x≠0，…

問(wèn)題3：如果p表示某元素x屬于集合P，q表示該元素屬于集合Q，如何用集合間的關(guān)系理解“[p][?]q”的含義？

結(jié)論：“[p][?]q”即：[x∈P?x∈Q]，則[P?Q.]

T：若[P?Q]，則p是q的充分條件；若[Q?P]，則P是Q的必要條件.

例4 設(shè)f（x）=x2-4x（x∈R），則f（x）>0的一個(gè)必要不充分條件是（ ）

A. x>0 B. x<0或x>4

C. x>2 或x<0 D. x>5或x<-1

S19：選擇D.

提示：從A，B，C，D，尋找結(jié)論q，使得 f（x）>0[?]q，但q f（x）>0.

從集合角度思考就是由P=（-∞，0）（4，+∞）尋找一個(gè)集合Q，使得[P?Q].

T：物理課代表，你試一試！

S20：選擇C.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】強(qiáng)化認(rèn)清條件和結(jié)論的重要性，使學(xué)生學(xué)習(xí)用集合的思想進(jìn)行判斷，更直觀、快捷.

高考體驗(yàn)：（選擇近幾年高考中充分條件與必要條件的8個(gè)題，略）

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】8個(gè)高考題強(qiáng)化基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成正確的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生突破難點(diǎn).學(xué)生做全對(duì)的占20%，做對(duì)7個(gè)以上占50%，做對(duì)6個(gè)以上占85%以上.

T：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你主要有哪些收獲？

S21：我知道了什么是充分條件、必要條件，什么是充分不必要條件、必要不充分條件.

知道了判斷充分條件、必要條件的三個(gè)步驟以及如何通過(guò)集合工具來(lái)判斷，但在判斷時(shí)，對(duì)于例3、例4的表述方式判斷有些不習(xí)慣.

T：由S21的回顧，本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容我們可以概括為：

二概念：充分條件，必要條件.

三步驟：①找出p，q；②判斷p[?]q與p[?]q的真假；③下結(jié)論.

一思想：用集合思想判斷命題因果關(guān)系.

課例研究之一是關(guān)注課堂文化，營(yíng)造課堂文化的主體是學(xué)生、教師、教材與教學(xué)設(shè)備.

從學(xué)生角度來(lái)看，上述課例的教學(xué)對(duì)象是數(shù)學(xué)思維層次較低的學(xué)生，對(duì)于充分條件、必要條件的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將不具備“形”的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為“表格”式的直接能力，教師的引導(dǎo)、注意與點(diǎn)評(píng)語(yǔ)言給學(xué)生指明了探索的方向.

從教師角度來(lái)看，上述課例中的問(wèn)題是教材與教師設(shè)計(jì)與構(gòu)造的，學(xué)生是否能主動(dòng)地提出幾個(gè)問(wèn)題，或者是學(xué)生根據(jù)自己學(xué)習(xí)中的困惑提出一些問(wèn)題來(lái)，這也從另一個(gè)側(cè)面反映我們的課堂中學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題的氛圍沒(méi)有形成，這與新課程教育理念相差較遠(yuǎn)，值得進(jìn)一步思考與研究.endprint