初中數(shù)學微拓展問題的設計策略

朱建明

摘 要：數(shù)學微拓展問題是特殊的教學問題，它是常規(guī)教學內容的適度延伸.設計不同的微拓展問題，或著眼遷移應用，或突出轉化化歸，或強調數(shù)學建模，能改善教與學的方式，為學生發(fā)展服務.

關鍵詞：微拓展；遷移應用；轉化化歸；數(shù)學建模

初中數(shù)學微拓展問題是教師在教學中設計的一種特殊的教學問題，它與學生學習內容緊密結合，同時又延伸拓展了常規(guī)學習內容，具有較高的數(shù)學思維價值，有利于豐富教學素材，拓展學生視野，培養(yǎng)學生數(shù)學探究能力.

設計有效的數(shù)學微拓展問題要以落實新課程理念為基礎，力爭做到延伸拓展有度，問題大小適宜，適合學生的學習基礎和學習內容.使用數(shù)學微拓展問題，要積極引導學生主動參與和深度探究，以求改善課堂中教師的教學方式和學生的學習方式.下面就以江蘇科技出版社出版的初中數(shù)學教材為例，從三個方面談談微拓展問題的設計策略.

一、知識型微拓展 要著眼遷移應用

有些知識內容，雖然在“數(shù)學課程標準”及相應的教材中不涉及，但在相關知識的教學中，它們是設計數(shù)學微拓展問題的絕佳素材，利用這些素材，可以幫助學生加深對相關知識的理解和掌握.設計這類知識型微拓展問題，要注重現(xiàn)行教學內容的遷移應用，以便學生通過探索研究，做到固本清源.

案例1 等腰梯形的性質和判定

在八年級下冊有關平行四邊形這一章的《小結與思考》一課中，可以設計如下微拓展問題：

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，這樣的梯形稱為等腰梯形.

（1）在等腰梯形ABCD中，你能得到哪些結論？

（2）如何判定一個梯形是等腰梯形？

等腰梯形雖然已經(jīng)不再作為教學內容，但將它設計為微拓展問題，可以引導學生自主探究它的性質和判定.本例中，可以將等腰梯形分為平行四邊形和等腰三角形（如圖2），也可以將等腰梯形分為矩形和直角三角形（如圖3），這里主要是仿照平行四邊形、矩形、菱形、正方形研究的相關路徑，也是這些知識的遷移應用，可以促使學生深化理解本章知識.

案例2 圓內相交弦的關系

在九年級下冊“6.4探索三角形相似的條件（五）”一課的例6后，設置如下問題：

如圖4，在⊙O中，弦AB與CD相交于E點，AE=3，AB=7，CE=2，求CD的長.

這個微拓展問題實際上是將本節(jié)知識在圓中進行了遷移.相交弦定理已經(jīng)不再在教材中出現(xiàn)，但這一知識在圓中有著廣泛的應用，而相交弦問題可以用相似三角形知識解決，也是相似三角形知識的直接應用.這里，遷移應用知識的過程也是提高學生解決問題的能力和水平的過程.

二、方法型微拓展 要突出轉化化歸

方法型微拓展問題的顯著特征就是其中蘊含了重要的數(shù)學方法，這里的方法不僅有解決特定數(shù)學問題的具體方法，如因式分解的方法、解方程（組）的方法、三角形全等的判定方法、圖形變換的方法等，也有研究問題的一般方法，例如從特殊到一般、從合情推理到邏輯推理的方法等.設計方法型微拓展問題就是要在方法上做足文章，突出轉化化歸，幫助學生能熟練運用這些方法研究問題，以求達到舉一反三的效果.

案例3 探索四元一次方程組的解法

在七年級下冊第10章“三元一次方程組”一課的“思維拓展”中，設置如下問題：

（1）議一議：如何解四元一次方程組[2x-y-z=0，x+z+w=4，3x+y-2z=1，x+y-3z-w=-5？]

（2）做一做：學生自主探索解此四元一次方程組的方法.

這個微拓展問題主要是用消元的方法解四元一次方程組.在前面的教學內容中，已經(jīng)有了用消元法將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，這里再一次使用這個方法，有助于學生進一步領會消元法的實質.實際上，類似的素材還有很多，例如探索方程[x+2]-x=0的解法；探索方程組[2x+y=0，xy+y2=-18]的解法等，利用這些素材可以突出轉化和化歸的解題方法.

案例4 二次函數(shù)圖象變換與表達式

在九年級下冊“用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式”一課的例2后，設計微拓展問題：

（1）將二次函數(shù)y=x2-1的圖象繞其頂點逆時針旋轉180°，寫出所得圖象的函數(shù)表達式.

（2）將二次函數(shù)y=（x-1）2的圖象以x軸為對稱軸進行翻折，寫出所得圖象的函數(shù)表達式.

這個微拓展問題實際上是將本節(jié)所學的待定系數(shù)法進行了深化.本例中將二次函數(shù)的圖象進行圖形變換，然后要求所得圖象的二次函數(shù)表達式，這里涉及如何將原二次函數(shù)圖象變換轉化為其圖象上的一些特殊點的變換，然后轉化為利用這些變換后的特殊點和待定系數(shù)法求出新的二次函數(shù)表達式.

案例5 探索分解因式的方法

在七年級下冊第9章“多項式的因式分解（四）”一課的例8后，設置如下問題：

把下列各式分解因式：

（1）x2-y2-2x-2y；

（2）x2-2xy+y2-1.

分組分解法分解因式在本例中只是作為背景出現(xiàn)，上述兩個問題可以利用公式法、提公因式法，直接通過轉化進行因式分解.這是對已學過因式分解方法的鞏固和靈活運用.

三、實踐型微拓展 要強調數(shù)學建模

對于某些教學內容，設置實踐型微拓展問題，可以通過學生的操作實踐，形象地揭示蘊含在相關知識中的實質內涵，當然學生在這個探究過程中也可以增加直觀感受，加深對一些抽象數(shù)學知識的理解，同時積累數(shù)學活動經(jīng)驗.設計實踐型微拓展問題，要強調數(shù)學建模，以增加此類問題的教學價值.

案例6 折出一個等腰三角形

在八年級上冊“等腰三角形的軸對稱性（一）”一課的開始，教師給每個學生發(fā)一張三角形紙，如圖5，出示如下問題：

（1）討論：要在一張三角形紙片上折出一個等腰三角形，你準備怎么折？有幾種方法？

（2）操作：只用剪刀剪一刀，在三角形紙片上剪出你折的等腰三角形.

由于課本中等腰三角形的有關性質是放置于《軸對稱性》這一章中，是在幾何變換的框架下來研究的，而本課的難點是讓學生從等腰三角形的軸對稱性出發(fā)來研究問題.上述教學設計要求學生先想后剪：怎樣剪才能剪出一個等腰三角形？逐步從軸對稱性來尋找解決問題的思路與方法.如圖6所示，只要將點A折疊到點E，那么，沿著線段CE剪一刀就能剪出等腰三角形AEC.本題實際上所使用的數(shù)學模型是等腰三角形的“三線合一”.此外，本題還可以采用角平分線與高合一的方法折等腰三角形.

案例7 畫平行線

在八年級下冊“9.3平行四邊形（三）”一課的例3后，設置如下微拓展問題：

如圖7，只用一把有刻度的直尺，過點C畫出AB邊的平行線.

此操作具有一定的挑戰(zhàn)性.首先要解決的問題是“只用一把有刻度的直尺，能畫哪些圖形？”學生在嘗試、猜測的過程中可以得出：可畫等腰三角形、平行四邊形等，而本例就是通過平行四邊形這個數(shù)學模型，如圖8，先在BC上找出中點E，然后聯(lián)結AE并延長至D，使得ED=AE，聯(lián)結CD，便可得AB的平行線.類似的微拓展問題還可以編制許多，例如：

如圖9，只用一把有刻度的直尺，判斷∠A是否是直角.

本例可以采用等腰三角形（如圖10）、三邊長符合勾股定理的三角形（如圖11）等知識來解決問題.

總之，數(shù)學微拓展問題由于與學生學習內容高度相關，又新穎別致，富有挑戰(zhàn)性，因此深受師生喜愛，設計好數(shù)學微拓展問題，對改善教與學的過程，突出學生主體地位，提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)具有特別重要的意義.endprint