讓學(xué)生經(jīng)歷“反問題”的思考

【摘 要】反問題源于數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)研究，在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中也大量存在，典型案例之一是雞兔同籠問題。充分挖掘這樣的內(nèi)容，將其融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷反問題的思考，可以溝通不同問題之間的聯(lián)系，使得學(xué)生逐步形成“反之如何”的思維方式，對(duì)于提高學(xué)生的思維水平，促進(jìn)學(xué)生各個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)，都有所裨益。

【關(guān)鍵詞】反問題 雞兔同籠 反之如何

美國斯坦福大學(xué)的數(shù)學(xué)家約瑟夫·凱樂（Joseph Bishop Keller ：1923-2016）在1976年2月的《美國數(shù)學(xué)月刊（The American Mathematical Monthly）》上，發(fā)表了一篇題為“反問題（Inverse Problems）”的文章①，提出了反問題的概念，并用實(shí)例說明了反問題在數(shù)學(xué)研究中的重要性。

數(shù)學(xué)中的任何問題，無論難易，無論簡繁，都不可能是孤立存在的，都會(huì)存在與之相關(guān)的其他問題。將數(shù)學(xué)研究中對(duì)于反問題的思考方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，對(duì)于溝通數(shù)學(xué)課程中問題之間的聯(lián)系，讓學(xué)生逐步習(xí)得事物之間普遍聯(lián)系的觀念，會(huì)有所裨益。

一、用“雞兔同籠”理解反問題

雞兔同籠問題源于我國古代算書，引入小學(xué)數(shù)學(xué)課程后，呈現(xiàn)出一種“孤立”的特征，與數(shù)學(xué)課程其他問題和內(nèi)容似乎并沒有直接的聯(lián)系，其數(shù)量關(guān)系和解決問題的方法似乎并不具有普遍性。如果采用反問題的思考方法，就可以發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問題與其他問題之間的聯(lián)系。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了加法和乘法運(yùn)算后，對(duì)于下面的問題1應(yīng)當(dāng)不會(huì)感到陌生和困難。

問題1：籠中有3只兔和5只雞，問：

（1）雞和兔一共多少個(gè)頭？解答：3+5=8（個(gè)）

（2）雞和兔一共有多少條腿？解答：4×3+2×5=22（條）

這個(gè)問題中，已知信息包括“兔只數(shù)”和“雞只數(shù)”，問題目標(biāo)（問題答案）包括“總頭數(shù)”和“總腿數(shù)”，解決問題應(yīng)用到了加法和乘法運(yùn)算。從已知到未知的思考和解決問題的過程可以用圖1直觀地表示出來（見圖1）。

[3？][5？][？][？][？]

圖1 問題1示意圖

所謂反問題的思考，就是將一個(gè)問題改變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)新問題。改變的方法是把原問題的全部或者部分答案的內(nèi)容改變?yōu)橐阎畔⒌膬?nèi)容，把原來全部或部分已知信息的內(nèi)容變?yōu)樾聠栴}中答案部分的內(nèi)容。因此就會(huì)產(chǎn)生與原問題相關(guān)聯(lián)的新問題。比如可以將問題1改變?yōu)閱栴}2。

問題2：籠中有若干只兔和若干只雞，已知兔和雞一共有8個(gè)頭，一共有22條腿。問：兔和雞各有多少只？

問題2的已知信息中包括兔和雞的“總頭數(shù)”和“總腿數(shù)”，問題目標(biāo)（問題答案）包括“兔只數(shù)”和“雞只數(shù)”。這樣的表述方式與數(shù)學(xué)教科書中所說的“雞兔同籠”問題基本一致。這樣的問題對(duì)于學(xué)生來說，相對(duì)于問題1就顯得陌生和困難。問題2的解題方法很多，基本的算式可以是：

兔只數(shù)：（22-2×8）÷（4-2）=3（只）

雞只數(shù)：（4×8-22）÷（4-2）=5（只）

解決問題需要用到的運(yùn)算包括了減法、乘法和除法，較之問題1顯然復(fù)雜了很多。可以用圖2表達(dá)出問題的結(jié)構(gòu)和思考的過程。

[？][？][？

][？8

][？22

]

圖2 問題2示意圖

與圖1對(duì)比看，問題2的思考過程與問題1的思考過程恰好是相反的。問題1的已知信息中包含著問題2中答案部分的內(nèi)容，問題2的已知信息中包含著問題1中答案部分的內(nèi)容。類似于此的兩個(gè)問題，其中之一往往是為人們所熟悉的，相對(duì)簡單的，而另外一個(gè)往往是陌生的，有一定困難的。因此就把前者叫作“原問題（Direct Problem）”，后者叫作原問題的“反問題（Inverse Problem）”。因此，可以說，“雞兔同籠”問題實(shí)質(zhì)上是學(xué)生所熟悉的問題1類型的反問題。

二、從反問題思考到“反之如何”思維

數(shù)學(xué)中，類似于此的反問題是很普遍的。比如在低年級(jí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，如果把問題“湖面上有28只天鵝，飛走了5只，問：還剩多少只天鵝？”看作是原問題，那么下面的兩個(gè)問題就可以成為它的反問題。

l湖面上有一些天鵝，飛走了5只，還剩23只，問：湖面上原來有多少只天鵝？

l湖面上有28只天鵝，飛走了幾只后還剩23只，問：飛走了多少只天鵝？

再比如在圖形與幾何課程內(nèi)容中，如果把“已知圓的半徑求圓面積”看作是熟悉的原問題，那么“已知圓面積求圓的半徑”或者“已知圓面積求圓周長”，就成為它的反問題。

實(shí)際教學(xué)中，除了關(guān)注這些問題如何解決之外，還可以讓學(xué)生經(jīng)歷提出反問題的過程，通過觀察和比較，思考并討論這些問題之間的關(guān)系、解題方法之間的關(guān)系。這樣的活動(dòng)對(duì)于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并辨別問題之間的聯(lián)系，逐步熟悉對(duì)于反問題的思考會(huì)起到積極作用。經(jīng)常性地經(jīng)歷反問題的思考，學(xué)生就會(huì)逐漸形成“反之如何”的思維方式，這種思維方式無論是在學(xué)習(xí)中，還是在日常工作生活中，都有著廣泛的應(yīng)用。

比如，在學(xué)習(xí)了“因數(shù)”概念之后，學(xué)生首先熟悉的是“已知一個(gè)數(shù)，求出其因數(shù)”的問題。這樣的問題相對(duì)簡單，已知4，通過列舉的方法就可以知道4的因數(shù)有：1，2，4。因此得到結(jié)論：4有3個(gè)因數(shù)。如果有了“反之如何”的思維習(xí)慣，這個(gè)時(shí)候就會(huì)反過來思考下面的問題：

l有3個(gè)因數(shù)的數(shù)只能是4嗎？

通過試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)像9、25這樣的數(shù)也都有3個(gè)因數(shù)，因此可以得到一個(gè)新的結(jié)論，有3個(gè)因數(shù)的數(shù)有很多。進(jìn)一步還可以思考：

l有3個(gè)因數(shù)的數(shù)究竟有多少個(gè)？它們有什么共同的規(guī)律嗎？

通過諸如此類問題的思考，最終可以得到關(guān)于“平方數(shù)”與其因數(shù)個(gè)數(shù)關(guān)系的結(jié)論，即“正整數(shù)為平方數(shù)的充分必要條件，是其因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)”。這樣的結(jié)論都是“初等數(shù)論”學(xué)科中的重要定理。

初中數(shù)學(xué)課程中所學(xué)習(xí)的所謂“性質(zhì)定理”和“判定定理”，其實(shí)也是“反之如何”思維方式的產(chǎn)物。如果通過觀察發(fā)現(xiàn)：長方形兩組對(duì)邊長度相等，并且四個(gè)內(nèi)角都是直角?！胺粗绾巍钡乃季S就會(huì)帶來一個(gè)問題：兩組對(duì)邊長度相等，并且四個(gè)內(nèi)角都是直角的四邊形一定是長方形嗎？前面問題描述的是長方形自身所具有的性質(zhì)，因此叫作“長方形的性質(zhì)定理”。后面問題關(guān)注的是一個(gè)四邊形在什么條件下能夠成為長方形，因此其相應(yīng)的結(jié)論就叫作“長方形的判定定理”。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生經(jīng)常經(jīng)歷反問題的思考，對(duì)于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)起到奠基作用。

“反之如何”作為普適性的思維方式，在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中也會(huì)產(chǎn)生積極作用。英語學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生知道了“Thank You”的說法可以對(duì)別人表示感謝的意思之后，運(yùn)用“反之如何”的思維方式，自然的反問題就是：如果想表達(dá)對(duì)別人感謝的時(shí)候，用英語還可以怎樣說？（答案：Appreciate等）任何語言都具有豐富性的特點(diǎn)，也就是表達(dá)一個(gè)意思的時(shí)候，可以有多種不同的表達(dá)方式，因此語言學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目的是能夠習(xí)得并使用這些不同的表達(dá)方式。如果學(xué)生自己產(chǎn)生了想知道“還可以怎樣說”的愿望，自然就會(huì)采用各種可能的方式，自主地去開展學(xué)習(xí)活動(dòng)。

三、反問題導(dǎo)致研究的深入

相對(duì)于原問題，反問題往往不是唯一確定的。與問題解決者自身的經(jīng)驗(yàn)以及思維目標(biāo)直接相關(guān)。比如對(duì)于數(shù)學(xué)教師，在“雞兔同籠”問題備課中，就會(huì)思考怎樣的數(shù)據(jù)更加適合自己學(xué)生的水平。因此就希望知道籠中雞和兔的總只數(shù)和總腿數(shù)這兩個(gè)條件是什么關(guān)系，是不是相互獨(dú)立的。如果是相互獨(dú)立的，就意味著這兩個(gè)條件可以隨意給出。如果不是相互獨(dú)立的，就說明給定一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)必須有一個(gè)取值范圍。如果把前面雞兔同籠問題1看作原問題，運(yùn)用反問題的思考，還可能產(chǎn)生下面的問題3。

問題3：若干只雞和若干只兔關(guān)在同一個(gè)籠子中，如果雞和兔共有8只。那么雞和兔的總腿數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？

問題3的已知信息中同樣包含問題1答案部分“總只數(shù)”的內(nèi)容，因此同樣可以視為是問題1的反問題。不同的是更具有一般性，而且期望的問題目標(biāo)和解決的方法不同了。首先容易發(fā)現(xiàn)雞和兔的總腿數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)。問題目標(biāo)可以分解為如下的三個(gè)問題：

l雞和兔的總腿數(shù)最大可能是多少？

l雞和兔的總腿數(shù)最小可能是多少？

l雞和兔的總腿數(shù)共有多少種不同的取值？

總腿數(shù)最大的情況其實(shí)就是只有1只雞，其余7只都是兔，這時(shí)總腿數(shù)為：

2+4×（8-1）=30（條）

總腿數(shù)最大的情況是只有1只兔，其余8-1只都是雞，這時(shí)總腿數(shù)為：

4+2×（8-1）=18（條）

總腿數(shù)可能的取值就是介于18和30之間的全部偶數(shù)，列舉出來分別是：

18，20，22，24，26，28，30

這樣的結(jié)論對(duì)于命題者是有用的，如果確定總只數(shù)是8，那么總腿數(shù)不能隨意給出，只能是上面7種可能中的一個(gè)。前面問題2就是總腿數(shù)為22的情況。如果首先確定總腿數(shù)，還可以研究總只數(shù)的可能性。

問題4：若干只雞和若干只兔關(guān)在同一個(gè)籠子中，如果其中的雞和兔共有22條腿。那么雞和兔的總只數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？

與前面問題類似，只要對(duì)下面三個(gè)問題給出答案即可。

l雞和兔的總只數(shù)最大可能是多少？

l雞和兔的總只數(shù)最小可能是多少？

l雞和兔的總只數(shù)共有多少種不同的取值？

雞和兔的總只數(shù)最大的情況就是只有1只兔，其余都是雞。這時(shí)雞和兔的總只數(shù)為：

1+（22-4）÷2=10（只）

雞和兔的總只數(shù)最小的情況就是只有1只雞，其余都是兔。這時(shí)雞和兔的總只數(shù)為：

1+（22-2）÷4=6（只）

因此雞和兔的總只數(shù)的取值范圍就是從6到10的一切自然數(shù)，共有5種可能性。前面問題2就是其中總只數(shù)為8的情況。

問題3和問題4的研究表明，“雞兔同籠”問題中，“總只數(shù)”和“總腿數(shù)”這兩個(gè)條件并非相互獨(dú)立，而是相互依賴與制約的。類似這樣關(guān)于不同條件之間關(guān)系的研究，對(duì)于全面、深入地理解問題是有益的。

參考文獻(xiàn)：

[1]KELLER J B. Inverse Problems[J]. The American Mathematical Monthly.1976，83（2）：107-118.

[2]郜舒竹. 問題解決與數(shù)學(xué)實(shí)踐[M]. 北京：高等教育出版社，2012：30.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint