關(guān)于解“雞兔同籠”問題“假設(shè)法”的思考

劉慧

【摘要】總結(jié)學生用“假設(shè)法”解“雞兔同籠”問題暴露出的三方面的問題與疑惑；分析了通常對“假設(shè)法”理解與應(yīng)用的不足之處：假設(shè)不明確，限制了問題模型的應(yīng)用范圍和學生的思路，影響學生發(fā)散思維能力的發(fā)展，假設(shè)不符合學生的認知特征；指出造成這些問題的原因是對“假設(shè)法”理解偏頗造成的，并探討了這種解法的實質(zhì)是根據(jù)已知條件，先推測與估計，提出猜想，做出假設(shè)，然后驗證假設(shè)，進行調(diào)整直至符合已知條件的過程.

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠；假設(shè)法；教學思考

“雞兔同籠”問題不僅是教師舉行公開課和參加優(yōu)質(zhì)課評比時鐘愛的教學內(nèi)容，也是教研活動的主要研究對象.筆者聽了幾堂關(guān)于該問題精彩紛呈的優(yōu)質(zhì)課，備受啟發(fā)，但課后調(diào)查發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生并不理解“假設(shè)法”.今不揣冒昧提出來，并探究其原因，以此就教于同行和專家學者.

一、用“假設(shè)法”解“雞兔同籠”問題時暴露出的問題與疑惑

一是，學生不知道怎樣假設(shè)，甚至對教師做出“假設(shè)全是雞（兔）”感到不可思議，往往糾結(jié)于全是雞（兔）還是雞兔同籠嗎？二是，有的學生雖然能仿照教師的解法做出假設(shè)，但不清楚為什么這樣假設(shè)；三是，有的學生做出假設(shè)后不知道如何處理，就是會做的學生也只是機械地套模式，說不出為什么這樣處理.

筆者認真研究了涉及“雞兔同籠”問題“假設(shè)法”的諸多文獻，發(fā)現(xiàn)這三個問題都是對“假設(shè)法”的理解存在不足造成的，故對其作一探討.

二、有關(guān)文獻中“假設(shè)法”的含義及存在的問題

（一）有關(guān)文獻中“假設(shè)法”的含義

在諸多文獻中，明確給出“假設(shè)法”含義的并不多.筆者查到的最為全面的表述是：“假設(shè)法就是先假設(shè)全都是雞（或兔），然后根據(jù)由假設(shè)得到的腿數(shù)與實際腿數(shù)的差，就能求出兔（或雞）的只數(shù).”文中還就“假設(shè)全是雞”的情況進行了舉例說明.但結(jié)合諸文獻有關(guān)例題解法的過程來看，人們對“假設(shè)法”的表述與應(yīng)用與該文獻的界定類似.為方便，我們把該文獻對“假設(shè)法”的界定稱為“習慣性界定”，也把其中的例題呈現(xiàn)于下，作為本文的例題.

例1雞兔同籠，有12個頭，30條腿.雞、兔各幾只？

（二）“假設(shè)法”的“習慣性界定”存在的問題

1.假設(shè)不明確

“全都是雞（或兔）”指的是雞（兔）的全部頭，還是全部腿？從該文獻的后續(xù)語言及給出的例題解法可推知，應(yīng)是指全部頭都是雞（兔）的頭.當然，也可以指只數(shù)，不少文獻中也確實明確指出了是只數(shù).可例題沒有只數(shù)這個已知條件.當然，雞、兔頭數(shù)與只數(shù)一一對應(yīng)，知道多少個頭就知道有多少只，但這樣理解便導致了以下兩個問題.

首先，限制了“雞兔同籠”問題模型的應(yīng)用范圍.

例2一輛三輪車拉2噸貨，一輛四輪車可拉4噸貨.這兩種車若干輛，共有36個車輪，拉了32噸貨.問兩種車各多少輛？

這個問題也屬于“雞兔同籠”問題.不妨把車輪數(shù)當成腿數(shù)，拉貨噸數(shù)當成頭數(shù)（反之亦可），這樣可把三輪車當成2個頭3條腿的“怪雞”，把四輪車當成4個頭4條腿的“怪兔”，用“假設(shè)法”可給出如下解法.

解假設(shè)32噸貨都是三輪車拉的，則有32÷2=16（輛）三輪車，有3×16=48（個）車輪，比實際車輪多48-36=12（個）.一輛四輪車拉的貨可換成2輛三輪車的，車輪多3×2-4=2（個）車輪，需要把12÷2=6（輛）四輪車換成三輪車，所以四輪車有6輛.從而，三輪車有（36-4×6）÷3=4（輛）.

由此可見，倘若“假設(shè)全都是雞（或兔）”是指總只數(shù)，該例就不能用“假設(shè)法”來解了，限制了該問題模型的應(yīng)用范圍.

其次，限制了學生的思路，影響學生發(fā)散思維能力的發(fā)展.

若“假設(shè)全是雞（兔）”是指總只數(shù)，則根據(jù)假設(shè)，應(yīng)該給學生留下兩個思考的方向.

其一，根據(jù)由假設(shè)得到的腿數(shù)與實際腿數(shù)之差，求出兔（或雞）的只數(shù).此思路是很多文獻中的思路，不再贅述與舉例.

其二，根據(jù)由假設(shè)得到的頭數(shù)與實際頭數(shù)之差，求出兔（或雞）的只數(shù).可這與“慣性界定”的方向不符.難道此方向行不通？不然.下面，以例1為例給出按此方向進行思考的兩種解法.

解1假設(shè)全是雞，則有30÷2=15（個）頭，比實際多的15-12=3（個）頭就是兔子頭.因為，每只兔子4條腿，被算成了4÷2=2（個）頭，多算了一個頭.所以，兔有3只，雞有12-3=9（只）.

若只寫算式30÷2-12=3（只），12-3=9（只）.這正好是《孫子算經(jīng)》中給出的方法，多簡單??！

由上可知，應(yīng)用“假設(shè)法”講解“雞兔同籠”問題時，假設(shè)最好明確說明“全部頭（腿）都是雞（兔）的頭（腿）”，這樣可擴大“雞兔同籠”問題模型的應(yīng)用范圍.在頭與只數(shù)一一對應(yīng)的情況下，假設(shè)如不區(qū)分頭和腿，默認代表只數(shù)，也應(yīng)引導學生從上述兩方向進行思考，以促進學生發(fā)散思維能力的發(fā)展.

2.“假設(shè)全是雞（兔）”不符合學生的認知特征

上面提到，不少學生對解“雞兔同籠”問題時“假設(shè)全是雞（兔）”感到不可理解.事實上，從生活角度講，兩種東西混在一起，恐怕沒有人會做出全是某一種東西的初步判斷，不然，必會成為笑話.因這違背了人們生活化的常規(guī)思維，不符合學生的認知特征.所以，學生說出“明明有雞有兔，偏偏假設(shè)全是雞（兔）.郁悶啊”的話就理所當然了，這是其心情無奈與不解的體現(xiàn).

三、“假設(shè)法”的實質(zhì)

之所以出現(xiàn)上述問題，筆者反復(fù)研究了諸多資料，發(fā)現(xiàn)其重要原因是對“假設(shè)法”理解的偏頗造成的.其實，無論是哲學方法論中，還是《現(xiàn)代漢語詞典》中都沒有“假設(shè)法”，它主要出現(xiàn)在中小學教學研究類文章中.但關(guān)于“假設(shè)”一詞，詞典和哲學上都認為“假設(shè)”是以事實或科學理論為依據(jù)，在觀察和分析的基礎(chǔ)上，對客觀事物做出的推測性（假定）說明或預(yù)見，即猜想.其科學性有待于實踐檢驗和科學論證，必要時還得進行調(diào)整，使其符合實際情況或已知條件.由此看來，平時人們所說的“假設(shè)法”，其實質(zhì)應(yīng)是：根據(jù)已知條件，先推測與估計，提出猜想，做出假設(shè)，驗證假設(shè)，進行調(diào)整直至符合已知條件的過程.

基于此，教師教學“雞兔同籠”問題時，若引導學生根據(jù)題目的條件，在自己思考的基礎(chǔ)上做出初步的估計或猜測，做出假設(shè)，再進行驗證與調(diào)整，直至符合題目的條件，不僅符合學生的認知特征，所存在的問題也會迎刃而解了.

事實上，假設(shè)題目范圍內(nèi)合理的頭（腿）數(shù)為雞（兔）的頭（腿）更合情理.就本文中的例1而言，可以假設(shè)0～12之間的任意一個整數(shù)為雞（兔）的頭數(shù)或只數(shù)；也可假設(shè)0～30之間的任意一個整數(shù)為雞（兔）的腿數(shù)（假設(shè)0～30之間的任意一個2的倍數(shù)為雞的腿數(shù)或4的倍數(shù)為兔的腿數(shù)更方便）.而“假設(shè)全部頭（腿）數(shù)為雞（兔）的頭（腿）”只是上述合理假設(shè)的特殊情況，這可通過讓學生比較不同假設(shè)獲得的解題過程簡單與否，進而優(yōu)化解題過程來獲得.

下面，仍以例1為例，給出兩個解法進行說明.

解2假設(shè)有7個雞頭，則有12-7=5個兔頭，共有腿2×7+4×5=34（條）腿，比實際多34-30=4（條）腿.一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，所以，多假設(shè)了4÷2=2（只）兔，故兔有5-2=3（只），雞有12-3=9（只）.

解3假設(shè)有8條兔腿，則有30-8=22條雞腿，共有腿22÷2+8÷4=13（個）頭.比實際多13-12=1（個）頭.因一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，把一只兔當雞來算就多算了一個頭.所以，少假設(shè)了4×1=4（條）兔腿，故兔有（8+4）÷4=3（只），雞有12-3=9（只）.

需特別指出的是：有的學生一旦給出假設(shè)，可能碰巧直接給出問題的答案.

這有可能是學生進行分析與估計的結(jié)果，也有直觀猜測的可能.倘若真的出現(xiàn)這種解法，也未嘗不可，只要驗證無誤就行.有的教師對這樣的解法可能不給學生分，其實是受假設(shè)全是雞（兔）習慣的束縛，以及沒有真正把握假設(shè)的實質(zhì)造成的.

筆者認為，讓學生體驗解“雞兔同籠”問題時，先推測、估計—提出猜想—做出假設(shè)—驗證假設(shè)—調(diào)整直至符合已知條件的過程，不僅能促進學生思維能力、創(chuàng)新能力的發(fā)展，還體現(xiàn)了學生為主體的教育理念，以及教師疏而不堵、放而不散的主導價值.管窺之見，請予斧正為盼！