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    例談特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用

    2017-11-06 10:25:42薛日琴
    福建基礎(chǔ)教育研究 2017年10期
    關(guān)鍵詞:特殊化題設(shè)選擇題

    薛日琴

    (福清第二中學(xué),福建 福州 350300)

    例談特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用

    薛日琴

    (福清第二中學(xué),福建 福州 350300)

    選擇題具有靈活多變、知識(shí)覆蓋面廣等特點(diǎn)。選擇題的答案包含在四個(gè)選項(xiàng)中,往??梢岳锰厥饣乃枷敕椒ㄇ蠼?,選擇題求解時(shí)的特殊化思想,包括利用特殊值、特殊圖形、特殊函數(shù)、特殊位置等多種方法。

    特殊化思想;選擇題;特殊化

    在全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中,選擇題數(shù)量多,占分比例高,具有概念性強(qiáng)、量化突出、知識(shí)覆蓋面廣、解法多樣化等特點(diǎn),考生能否迅速、準(zhǔn)確、全面、簡(jiǎn)潔地求解選擇題,往往是能否取得較好成績(jī)的關(guān)鍵。

    數(shù)學(xué)選擇題一般是容易題或中難題,壓軸部分有個(gè)別難題,當(dāng)中許多問(wèn)題的解答可使用特殊方法。解答選擇題,要立足通性通法,也要看到選擇題題型的特殊性,充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息,依據(jù)題目的具體特點(diǎn),靈活、巧妙、快速地找到正確選項(xiàng)。

    筆者結(jié)合教學(xué)中積累的部分典型題例,對(duì)特殊化思想在選擇題求解中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行了思考,總結(jié)歸納了以下四種不同的途徑與方法。

    一、將字母數(shù)值特殊化

    對(duì)于一些含有變量的問(wèn)題,往往可以對(duì)其賦一些特殊值,以簡(jiǎn)化思維過(guò)程,達(dá)到問(wèn)題求解的目的。

    例1(2017年全國(guó)I卷理數(shù)第11題)設(shè) x,y,z為正數(shù),且 2x=3y=5z,則

    A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

    分析:依常規(guī)方法,令2x=3y=5z=k>1,得

    以上解法費(fèi)時(shí)費(fèi)力,事實(shí)上,只需令變量x取特殊值1,本題即可迎刃而解。

    解析:令x=1,則3y=5z=2,可得y=log32,z=log52,從而2x=2,3y=3 log32=log38<2x,5z=5 log52=log532>2x,從而3y<2x<5z,選擇D。

    例2(2017年福州市3月質(zhì)檢理數(shù)第9題)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且對(duì)任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn ,則

    分析:本題考查遞推數(shù)列,累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。對(duì)于條件am+n=am+an+mn,很多學(xué)生不知道怎么對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換,導(dǎo)致解題障礙。事實(shí)上,通過(guò)觀察選項(xiàng),不需要條件am+n=am+an+mn,亦可求解本題。

    二、將圖形狀態(tài)特殊化

    對(duì)于一些問(wèn)題,如果題設(shè)給出的是一般化的圖形,往往可以將其特殊化為特殊圖形進(jìn)行求解。如條件給出的是一般三角形,往往可以考慮特殊化為直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等。如條件給出的是平行四邊形,往往可以考慮特殊化為矩形、菱形、正方形等。

    例3(2017年福建省4月質(zhì)檢理數(shù)第9題)已知D,E是ΔABC邊BC的三等分點(diǎn),點(diǎn)P在線段DE上,若,則xy的取值范圍是

    分析:本題條件沒有具體指出ΔABC是什么三角形,故可將其特殊化為等腰直角三角形,以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

    解析:將ΔABC特殊化為等腰直角三角形,不妨設(shè)AB=1,可求D,E坐標(biāo)分別為直線BC的方程為x+y=1。由于點(diǎn)P在線段DE上,D,E是BC的三等分點(diǎn),故可設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)為,由,得 到,結(jié)合,可知選擇D選項(xiàng)。

    例4(2017年福州市5月質(zhì)檢理數(shù)第10題)已知a,b,c分別是ΔABC的內(nèi)角 A,B,C所對(duì)的邊,點(diǎn) M為ΔABC的重心,若a

    分析:本題中的條件“重心”,大部分學(xué)生不懂怎么應(yīng)用,而條件給的更是莫名其妙,學(xué)生難以入手。由于題設(shè)未限定ΔABC的形狀,故本題可將ΔABC特殊化為特殊的圖形。

    解析:對(duì)于A選項(xiàng),不妨設(shè)ΔABC是以A為直角,腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,可求各點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0)、,故可排除A選項(xiàng)。同樣,對(duì)于B選項(xiàng),可構(gòu)造以C為直角,腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,以將之排除掉。對(duì)于C選項(xiàng),可構(gòu)造以以頂角,腰長(zhǎng)為1的等腰三角形,以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量,以將之排除掉。對(duì)于D選項(xiàng),構(gòu)造以以頂角,腰長(zhǎng)為1的等腰三角形,以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐標(biāo)為,可知D選項(xiàng)符合題設(shè)條件,選擇D。

    評(píng)注:求解向量問(wèn)題,往往可以通過(guò)向量運(yùn)算或坐標(biāo)方法。單純的向量運(yùn)算,需要尋找各種量之間的相互聯(lián)系,思維量比較大。運(yùn)用坐標(biāo)方法求解,往往會(huì)相應(yīng)增加運(yùn)算量,但思維跨度較小,相對(duì)更易理解和操作。

    三、將抽象函數(shù)特殊化

    對(duì)于一些與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,我們往往可以通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造一些特殊函數(shù),以求解符合題設(shè)條件的函數(shù),再利用排除法求解題目,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。至于構(gòu)造特殊函數(shù),往往可以從簡(jiǎn)單的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等入手進(jìn)行逐個(gè)嘗試。

    例5(2016年全國(guó)甲卷理數(shù)第12題)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿 足 f(-x)=2-f(x),若 函 數(shù)與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為 (x1,y1),(x2,y2),… ,(xm,ym),則

    A.0 B.m C.2m D.4m

    分析:本題為選擇題的把關(guān)題,同樣很多學(xué)生卡在了條件 f(-x)=2-f(x)上。事實(shí)上,可構(gòu)造特殊函數(shù)來(lái)求解此類題。

    解析:嘗試令 f(x)=ax+b,由條件 f(-x)=2-f(x)可得 b=1,則 f(x)=ax+1,不妨設(shè) a=1,得 f(x)=x+1。可求函數(shù)與y=x+1交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,2),故 m=2=-1+1+0+2=2。當(dāng) m=2選項(xiàng)中能算得2的只有B選項(xiàng),故選擇B。

    例6(2017年龍巖市3月質(zhì)檢理數(shù)第12題)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱,其 導(dǎo) 函 數(shù) 為 f′(x) , 當(dāng) x<-1 時(shí) ,(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0 ,則不等式 xf(x-1)>f(0)的解集為

    A.(1,+∞) B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)?(1,+∞)

    分析:本題同樣為選擇題的把關(guān)題,常規(guī)方法處理思維跨度大,對(duì)于程度中等或中下的學(xué)生比較難,下面筆者構(gòu)造特殊函數(shù)法來(lái)求解之。

    解析:嘗試令 f(x)=ax+b,由于其關(guān)于(-1,0)中心對(duì)稱,可得 -a+b=0 ,則 f(x)=ax+a ,f′(x)=a ,得(x+1)[ax+a+a(x+1)]=2a(x+1)2,由2a(x+1)2<0得a<0,可取 a=-1,從而 f(x)=-x-1,xf(x-1)>f(0)即x[-(x-1)-1]>-1,解不等式得-1<x<1,故選擇C。

    四、將位置關(guān)系特殊化

    求解選擇題,除了關(guān)注題設(shè)條件,認(rèn)真觀察選項(xiàng)之間的差異也很重要,這些差異是問(wèn)題求解的關(guān)鍵,且差異往往“差”在特殊位置,用好它,能收到事半功倍的效果。

    例7(2016年福州高一第二學(xué)期期末質(zhì)檢第11題)如圖,點(diǎn)P是半^徑為1的半圓弧AB上一點(diǎn),若AP長(zhǎng)度為x,則直線AP與半圓弧AB所圍成的圖形的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象為

    分析:不看選項(xiàng),直接根據(jù)題設(shè)條件求S與x的關(guān)系,再畫圖求解,顯然這種方法是最不明智的。事實(shí)上,觀察4個(gè)選項(xiàng),在這一特殊位置,S的取值存在差異,從這方面入手,結(jié)合排除法,即可快速求解本題。

    例8(2017年福建省4月質(zhì)檢理數(shù)第10題)空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,E,F分別是 AB,CD的中點(diǎn),且EF⊥AB,EF⊥CD。若AB=8,CD=EF=4,則該球的半徑等于

    分析:幾何體的外接球問(wèn)題是常見題型,可是本題的題設(shè)條件并不常見,故本題得分率較低。常規(guī)方法需要根據(jù)條件EF⊥AB,EF⊥CD推導(dǎo)得到球心在EF上,并不易想到,需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力。事實(shí)上,在保證AB、CD、EF三條線段長(zhǎng)度不變的前提下,可將AB繞著E點(diǎn)旋轉(zhuǎn),CD繞著F點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使兩條線段趨向于一個(gè)特殊位置,即AB//CD(在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,球的半徑總是保持不變),這樣可將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行處理。

    解析:考慮AB//CD這種臨界位置,根據(jù)對(duì)稱,顯然球心O在線段EF上,設(shè)OE=x,則OF=4-x,由勾股定 理 得 42+x2=22+(4-x)2,解 得

    選擇題的解答思路不外乎直接法和間接法兩大類,直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法,如果所有選擇題都用直接法解答,不但時(shí)間不允許,甚至有些題目根本無(wú)法解答。因此,還要求學(xué)生掌握一些特殊的解答選擇題的方法,在平時(shí)的練習(xí)中有意識(shí)地進(jìn)行應(yīng)用,反復(fù)體味,以提高自己在這方面的能力,達(dá)到“多一點(diǎn)想的,少一點(diǎn)算的”的思維訓(xùn)練。

    [1]連佑平.特殊化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào),2017(5).

    [2]呂建恒.特殊化思想在解題中的功能[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1994(7).

    [3]王新宏.探究特殊與一般思想在高考中的應(yīng)用[J].河北理科教學(xué)研究,2016(6).

    (責(zé)任編輯:王欽敏)

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