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    一類多維參數(shù)高斯過程的弱逼近

    2017-11-06 09:36:38李夢(mèng)玉申廣君
    數(shù)學(xué)雜志 2017年6期
    關(guān)鍵詞:布朗運(yùn)動(dòng)泊松高斯

    李夢(mèng)玉,申廣君,崔 靜

    (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖 241000)

    一類多維參數(shù)高斯過程的弱逼近

    李夢(mèng)玉,申廣君,崔 靜

    (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖 241000)

    本文研究了一類多維參數(shù)高斯過程的弱極限問題.在一般情況下,利用泊松過程得到了此類過程的弱極限定理,此多維參數(shù)高斯過程可表示為確定的核函數(shù)關(guān)于維納過程的隨機(jī)積分,且包含多維參數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).

    弱收斂;高斯過程;泊松過程;分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

    1 引言

    由于Davydov[8]的工作,最近很多學(xué)者研究了布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的弱收斂問題.Stroock[13]研究了一維標(biāo)準(zhǔn)的泊松過程與標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)之間的如下關(guān)系:令{N(t),t≥0}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的泊松過程,定義

    則當(dāng)ε→0時(shí),yε(t)在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1])中弱收斂到標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng){Bt,t≥0}.受到Stroock[13]工作的啟發(fā),Bardina和Jolis[2]證明了當(dāng)ε→0時(shí),隨機(jī)過程族

    在C([0,1]2)空間中弱收斂到標(biāo)準(zhǔn)的布朗單,其中是平面上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)泊松過程(關(guān)于多維情形的相應(yīng)結(jié)果可參考Bardina,Jolis和Rovira[1]).Delgado和Jolis[7]證明了可以利用泊松過程逼近具有如下隨機(jī)積分表示的一類高斯過程

    其中K是滿足一定條件的確定的核函數(shù).Bardina,Jolis和Tudor[3]把上述結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)布朗單和其他兩參數(shù)高斯過程:令使得

    其中W={Ws,t,(s,t)∈[0,1]2}是標(biāo)準(zhǔn)布朗單且核函數(shù)K1,K2滿足一些條件.令

    那么Xε在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]2)中弱收斂到WK1,K2.更多關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),分?jǐn)?shù)布朗單和多參數(shù)過程的相關(guān)問題可參見Bardina和Florit[4],Li和Dai[10],Wang等[14,15],徐銳等[16],Dai[6]等文獻(xiàn).

    受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),令X(t1,···,td)是具有如下隨機(jī)積分表示的一類d-維參數(shù)高斯過程

    其中W={Wt,t∈[0,1]d}表示d-維布朗運(yùn)動(dòng),Ki,i=1,···,d是滿足一定條件的確定的核函數(shù).本文證明了

    在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中弱收斂到X.此結(jié)論是將文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論推廣到了d-維參數(shù)情形,而在多維參數(shù)情形下的計(jì)算過程會(huì)遇到更多的困難,因此更多的借用了文獻(xiàn)[1]中的不等式來證明定理.本文中常數(shù)C0,C,Cd,cHi,CHi表示常數(shù),在不同的位置可以表示不同的值.

    2 主要結(jié)論

    是X在(s,t]上的增量(見Bickel和Wichura[5]).特別地,當(dāng)d=2時(shí),

    是常見的二維空間上的增量.

    本節(jié)考慮d-維參數(shù)高斯過程X={X(t),t∈[0,1]d},

    其協(xié)方差函數(shù)為

    其中Ki:[0,1]×[0,1]→R是滿足下列條件的函數(shù):

    (H1)(i)對(duì)i=1,2,···,d,Ki是可測(cè)的且對(duì)任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

    (ii)對(duì)i=1,2,···,d,存在單增的連續(xù)函數(shù)Fi:[0,1]→R和αi>1使得對(duì)任意0≤si<ti≤1,有

    (H2)(i)對(duì)i=1,2,···,d,Ki是可測(cè)的且對(duì)任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

    (ii)’對(duì)i=1,2,···,d,存在單增的連續(xù)函數(shù)Fi:[0,1]→R和0< ρi≤1使得對(duì)任意0≤si<ti≤1,有

    (iii)對(duì)i=1,2,···,d,存在常數(shù)Mi>0和βi>0使得對(duì)任意的0≤si<ti≤1和0≤s0i<t0i≤1,

    注意到條件(ii)較(ii)’強(qiáng),在較弱的條件(ii)’下增加條件(iii)是為了證明Xn的胎緊性.

    令{N(x),x∈Rd+}是定義在概率空間(?,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)泊松過程,?n>0,ti∈[0,1],i=1,2,···d,定義

    本節(jié)將證明在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中,當(dāng)n→∞時(shí),Xn弱收斂到X.為了簡化記號(hào),用Nn(u)表示隨機(jī)變量則Nn是強(qiáng)度為n的泊松過程.

    為了證明主要結(jié)果,首先給出如下引理.引理2.1說明了過程Xn是連續(xù)的.

    引理2.1設(shè)θ∈L∞([0,1]d),定義

    其中核函數(shù)Ki,i=1,2,···,d滿足條件(i)和(ii)’,那么Y(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

    證?0<si≤ti<1,i=1,···,d,根據(jù)H?lder不等式和條件(ii)’有

    再由條件(i)知Y(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

    引理2.2對(duì)任意函數(shù)fi∈L2([0,1]),i=1,2,···,d,存在一個(gè)正常數(shù)Cd使得

    其中

    證由于(見參考文獻(xiàn)[1])

    進(jìn)而有

    又有

    其中

    同理可計(jì)算

    綜上可得

    下面計(jì)算表達(dá)式(2.2)在區(qū)域Ac上的積分.Ac可分解成如下區(qū)域的并

    僅計(jì)算在B2上的積分,其它區(qū)域上的積分可以類似計(jì)算.在B2上有不等式

    因此表達(dá)式(2.2)在B2上的積分就可以用下面的式子來控制

    事實(shí)上

    同理可計(jì)算

    故(2.3)式成立.綜上,可以得到

    引理2.3設(shè)Y={Y(s),s∈[0,1]d}是一個(gè)連續(xù)過程.假設(shè)對(duì)固定的偶數(shù)m∈N和δi∈(0,1),i=1,2,···,d存在常數(shù)L>0使得對(duì)任意的0<si<ti<2si,i=1,2,···,d,有

    成立.那么存在一個(gè)僅依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數(shù)C使得對(duì)任意的0≤si<ti≤1,i=1,2,···,d,有成立.

    證易證過程Y滿足

    其中C0是依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數(shù).

    下面把區(qū)間(si,ti]分解成可數(shù)個(gè)互不相交的小區(qū)間的和

    根據(jù)Y的連續(xù)性有

    且上式右邊的每個(gè)增量均滿足(2.5)式.所以

    其中第一步使用了不等式

    引理2.4設(shè)Xn是(2.1)式中定義的隨機(jī)過程,核函數(shù)Ki,i=1,2,···,d滿足條件(H2),那么對(duì)任意的偶數(shù)m∈N,存在僅依賴于m和條件(iii)中出現(xiàn)的參數(shù)的常數(shù)C,使得對(duì)任意

    其中

    根據(jù)引理2.3,只需要證明對(duì)任意的0<s0i<t0i<2s0i,i=1,2,···,d,有

    事實(shí)上

    注意到

    這里

    進(jìn)一步Bx?Gc.給定xj,j=1,2,···,m,那么和是互不相交的.所以相關(guān)的增量也是獨(dú)立的,故易得到(2.7)式.

    因此根據(jù)(2.8)式可得

    由引理2.2的計(jì)算過程可類似計(jì)算上式不超過

    定理 2.5在(H1)或(H2)的條件下,當(dāng)n→∞時(shí),(2.1)式定義的隨機(jī)過程族{Xn(t),t∈[0,1]d}在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中弱收斂到X.

    證首先,證明隨機(jī)過程族{Xn}的胎緊性.由于{Xn}在坐標(biāo)軸上取值為零,利用Bickel和Wichura[5]中建立的關(guān)于多參數(shù)隨機(jī)過程的胎緊性準(zhǔn)則,只需證明對(duì)某些m≥2存在常數(shù)C>0和η>1,以及單增的連續(xù)函數(shù)Fi,i=1,2,···,d,使得對(duì)0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d,

    成立即可.

    假設(shè)條件(H1)成立,根據(jù)引理2.2和條件(ii)有

    其中第一個(gè)不等式使用了引理2.2,αi>1,i=1,2,···,d.即(2.9)式成立.

    假設(shè)條件(H2)成立.根據(jù)引理2.4,對(duì)任意的偶數(shù)m∈N存在一個(gè)常數(shù)C使得對(duì)0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d時(shí),有成立,即(2.9)式成立.

    其次,證明隨機(jī)過程Xn依有限維分布收斂到X.事實(shí)上,只要證明?k≥1,a1,···,ak∈R且當(dāng)n→∞時(shí),隨機(jī)變量列依分布收斂到等價(jià)的只要證明相應(yīng)的特征函數(shù)收斂即可.

    定義

    另一方面,根據(jù)Bardina,Jolis和Rovira[1],當(dāng)n→∞時(shí),

    依分布收斂到

    因此?x∈R和l∈N,有

    最后?x∈R和l,n∈N,|E[eixSn]?E[eixS]|≤η1+η2+η3,其中

    聯(lián)立(2.11)式以及對(duì)t∈R,可以得到

    根據(jù)(2.12)式,當(dāng)n→∞時(shí),η2→0.根據(jù)(2.10)式和多重隨機(jī)積分的性質(zhì)有

    綜上,定理得證.

    3 例子:多維參數(shù)分?jǐn)?shù)布朗單

    基于Mandelbrot和Van Ness[11]的工作,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于金融、通訊等領(lǐng)域,它是具有自相似、長相依、平穩(wěn)增量的高斯過程,其協(xié)方差函數(shù)為

    其中

    是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的常數(shù).

    作為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)張過程,d維分?jǐn)?shù)布朗單是定義在概率空間(?,F,P)上的中心高斯過程且協(xié)方差函數(shù)其中當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)的d維布朗單它有連續(xù)的樣本軌道且在坐標(biāo)軸上為零,具有如下積分表示

    以下驗(yàn)證d維分?jǐn)?shù)布朗單滿足本文中的假設(shè)條件.

    此時(shí)取Fi(x)=x,αi=2Hi,則核函數(shù)KHi,i=1,2,···,d滿足條件(H1).

    核函數(shù)KHi,i=1,2,···,d也滿足條件(H2).事實(shí)上只需要驗(yàn)證核函數(shù)滿足條件(iii).

    對(duì)任意的a,b,z,|z|>1且任意的c≠0,?1定義高斯超幾何函數(shù)F(a,b,c,z)如下(詳見參考文獻(xiàn)[12])

    其中C1,C2是常數(shù).在超幾何函數(shù)中因?yàn)樗栽谏详P(guān)于xi是連續(xù)的. 因此在時(shí),在[0,ti]上關(guān)于xi是連續(xù)的,故在[0,ti]上存在常數(shù)C′使得即同理存在C′′使得所以?si<ti,i=1,2,···,d,有其中C取C′和C′′中較大者.因此對(duì)s0i<t0i,有

    其中D取d′和d′′中較大者.所以?s0i<t0i,i=1,2,···,d,

    [1]Bardina X,Jolis M,Rovira C.Weak approximation of the Wiener process from a Poisson process:the multidimensional parameter set case[J].Stat.Prob.Lett.,2000,50(3):245–255.

    [2]Bardina X,Jolis M.Weak approximation of the Brownian sheet from the Poisson process in the plane[J].Intern.Stat.Insti.Bernoulli Soc.Math.Stat.Prob.,2000,6(4):653–665.

    [3]Bardina X,Jolis M,Tudor C.Weak convergence to the fractional Brownian sheet and other twoparameter Gaussian process[J].Stat.Prob.Lett.,2003,65(4):317–329.

    [4]Bardina X,Florit C.Approximation in law to thed-parameter fractional Brownian sheet based on the functional invariance principle[J].Rev.Mate.Iberoamericana,2005,21(3):1037–1052.

    [5]Bickel P,Wichura M.Convergence criteria for multiparamenter stochastic process and some applications[J].Ann.Math.Stat.,1971,42(5):1656–1670.

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    [9]Decreusefond L,üstünel A S.Stochastic analysis of the fractional Brownian motion[J].Potent.Anal.,2010,10(2):177–214.

    [10]Li Y,Dai H.Approximations of fractional Brownian motion[J].Bernoulli,2011,17(17):1195–1216.

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    [14]Wang Z,Yan L,Yu X.Weak approximation of the fractional Brownian sheet from random walks[J].Elec.Commun.Prob.,2013,18:1–13.

    [15]Wang Z,Yan L,Yu X.Weak approximation of the fractional Brownian sheet using martingale differences[J].Stat.Prob.Lett.,2014,92:72–78.

    [16]徐銳,祝東進(jìn),申廣君.多參數(shù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)相遇局部時(shí)的存在性和聯(lián)合連續(xù)性[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(6):1411–1423.

    WEAK APPROXIMATION FOR A CLASS OF MULTIDIMENSIONAL PARAMETER GAUSSIAN PROCESS

    LI Meng-yu,SHEN Guang-jun,CUI Jing
    (Department of Mathematics,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

    In this paper,we study the weak convergence problem of a multidimensional parameter Gaussian process.Under rather general conditions,we give an approximation in law of the process which can be represented by a stochastic integral of a deterministic kernel with respect to a standard Wiener process. The approximation processes are constructed from a standard Poisson process.An example of a Gaussian process to which this result applies is the multidimensional parameter fractional Brownian sheet with any Hurst parameter.

    weak convergence;Gaussian process;Poisson process;fractional Brownian motion

    60F05;60G18

    O211.4

    A

    0255-7797(2017)06-1287-16

    2015-06-03接收日期:2016-05-16

    國家自然科學(xué)基金(11271020;11401010);安徽省杰出青年科學(xué)基金(1608085J06);安徽省自然科學(xué)基金(1408085MA07).

    李夢(mèng)玉(1990–),女,安徽六安,碩士,主要研究方向:隨機(jī)過程與隨機(jī)分析.

    申廣君.

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