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    利用幾何直觀,助力學生理解數(shù)學

    2017-11-04 23:52:56郭寶珠
    文理導航 2017年30期
    關鍵詞:鈍角平均數(shù)內角

    郭寶珠

    “課標(2011版)”提出了“幾何直觀”這一核心概念,那么什么是“幾何直觀”?它的本意是什么?“幾何直觀”是一個組合詞組,它的內涵有兩點:一是幾何,這里是指圖形。二是直觀,直觀的本意是指用感官直接接受的、直接觀察的。這里的直觀是指根據(jù)現(xiàn)在看到以及以前看到的東西進行思考、想象。因此,我們可以把“幾何直觀”理解為依托、利用圖形對數(shù)學的研究對象進行直接感知和整體把握的能力。在教學過程中,什么情況下需要幾何直觀?如何借助幾何直觀進行教學?如何利用幾何直觀幫助學生理解數(shù)學知識的本質?下面我將結合具體例子談談個人的看法。

    一、利用幾何直觀,理解運算算理

    在數(shù)的運算教學中,很多時候我們只注重算法的教學,強調熟練技能,忽略了算理。其實學生計算能力的提高,不僅僅是提高學生計算的熟練程度,更重要的是引導學生據(jù)“理”而“算”。算理是算法的理論依據(jù),算法是算理的提煉和概括,它們是相輔相成的。

    如:五年級下冊《異分母分數(shù)的加減法》的教學。

    1.出示學習單,請學生根據(jù)學習單的要求在小組內自主學習。

    (1)想一想、算一算1/2+1/8的結果是多少?

    (2)請借助圓片折一折、畫一畫,檢驗計算結果是否正確?

    (3)完成后在小組內說一說你是怎樣想的?

    2.全班交流算法。在交流過程中引導學生質疑:為什么要把1/2變成4/8?當學生回答把它們化成分母相同的分數(shù),這樣就好算了!教師追問把二分之一變成八分之四僅僅只是好算嗎?想一想,誰還有更合理的解釋?你能用圖給大家解釋解釋嗎?學生通過直觀的圖形清楚、明白地解釋了異分母分數(shù)相加的計算方法與道理。利用直觀圖教師引導學生體會,分數(shù)的加法和整數(shù)、小數(shù)的加法一樣,都是相同的計數(shù)單位才能相加。

    在教學中,教師抓住“為什么要先通分再相加?通分的目的是什么?”這一核心問題引導學生利用圖進行解釋,將數(shù)與形結合起來,讓學生體會只有平均分的份數(shù)相同,也就是分數(shù)單位相同,分子才能相加減的道理,在直觀感知中不僅理解了異分母分數(shù)加減法的算理,而且進一步理解了分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)加減法的計算在本質上是一致的,即相同的計數(shù)單位才能相加減。

    在人教版教材中,像這樣借助幾何直觀來幫助學生理解抽象的算理的例子還有很多,如:利用點子圖來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理,利用長方形模型來理解分數(shù)乘法的算理,利用線段圖來幫助理解分數(shù)除法的算理,利用面積模型來理解乘法分配率等。因此在教學過程中,教師應抓住數(shù)學本質設計相關的核心問題,借助幾何直觀讓學生充分的探究、質疑,充分挖掘算理背后的道理,將推理與算理建立聯(lián)系,做到明“理”而“算”,提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

    二、利用幾何直觀,理解數(shù)學概念

    概念是數(shù)學的基本細胞,概念之間形成“網(wǎng)絡”就構成了數(shù)學的基本內容。因此概念的學習無疑被看成是數(shù)學學習十分重要的一環(huán)。但由于數(shù)學概念的高度抽象性與小學生思維的具體形象性之間的矛盾,造成了學生學習概念存在記憶或背誦概念的形式化定義的現(xiàn)象,因此在概念教學中我們應當借助幾何直觀和學生已有的經(jīng)驗,創(chuàng)設合適的教學情境,在探究活動中,把直觀形象和感覺經(jīng)驗進行合理的抽象,幫助學生理解、建立相應的數(shù)學概念。

    如《平均數(shù)》的教學。在學生初步感知、理解平均數(shù)的意義后,教師利用直觀圖設計以下教學過程,讓學生進一步理解平均數(shù)的意義。

    (1)(依次出示下圖)平均數(shù)會不會在這兒?為什么?利用直觀圖幫助學生建立平均數(shù)的取值范圍,它既不是一組數(shù)中最小的數(shù),也不是最大的數(shù),平均數(shù)一定在這組數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)之間。

    (2)(依次出示下圖)猜猜C的位置?說說你是怎樣想的?

    教師沒有給學生提供具體的數(shù)據(jù),而是提供平均數(shù)的位置以及長短不一的直條,猜C的位置。學生習慣用計算的方法解決問題,但是沒有數(shù)據(jù)怎么計算?學生的思維受阻之后,必然會另辟蹊徑,利用直觀通過“移多補少”進行合情推理,得到C的位置。借助幾何直觀把抽象問題還原于直觀問題,幫助學生理解平均數(shù)是一個什么樣的數(shù),有什么意義和作用,使原本看不見摸不著的平均數(shù),清晰地站在學生面前。

    小學數(shù)學教材中的許多概念,如:“分數(shù)的認識”、“小數(shù)的認識”可以借助“面積模型”、“數(shù)線模型”等來幫助學生理解、建立概念;“周長的認識”可以利用多媒體直觀演示讓學生首先“看一周”,接著“摸一周”,“描一周”,最后先估再量“一周的長”,這些直觀的感知、操作活動,使抽象的概念對于學生而言變得豐富和生動起來,而不再是一種空洞的“詞匯游戲”。

    三、利用幾何直觀,分析解決問題

    解決實際問題是數(shù)學教學的重要目標,也是當下培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目標之一。在數(shù)學教學中,我們常常發(fā)現(xiàn)學生對解決實際問題,特別是具有一定難度或步驟較多的實際問題容易產(chǎn)生緊張、畏難等心理,長此以往必將影響學生的學習興趣,阻礙學生的發(fā)展。而“幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預測結果。”

    如,“媽媽買了2千克蘋果和5千克梨,共用去10.8元,已知買2千克梨的錢可以買1千克蘋果,每千克蘋果、梨各多少錢?”

    題目中文字比較拗口,數(shù)學關系復雜,學生不容易理清數(shù)量之間的關系,但是如果將文字上的數(shù)量關系轉化為如下的線段圖表示時,數(shù)量關系就一目了然了。

    人教版教材中的一些例題,如:三年級上冊“倍的認識”以及“歸一和歸總的問題”;五年級上冊的用方程解決“相遇問題”;六年級的分數(shù)、百分數(shù)應用題等,教材在編排上都借助了直觀的線段圖幫助學生理解題意,提煉題中的數(shù)量關系。

    其實借助圖形解決問題,通常要把研究的對象轉化成圖形,這樣就把對象之間的聯(lián)系轉化為圖形之間的關系,再借助圖形直觀進行思考、分析并解決問題。這樣為學生分析問題、解決問題能力的發(fā)展提供了“拐杖”,發(fā)展了學生的思維能力,提升學生數(shù)學素養(yǎng),為學生持續(xù)發(fā)展奠定扎實基礎。endprint

    四、利用幾何直觀,發(fā)展思維能力

    幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。它需要依靠邏輯的支撐。幾何直觀不僅僅只是看到了什么?更重要的是通過看到的圖形思考到了什么?想象到了什么?這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。它會把現(xiàn)在看到的與以前學到的結合起來,通過思考、想象、猜想出一些可能的結論和論證思路,這就是合情推理,它為嚴格證明結論奠定了基礎。

    如《三角形的內角和》一課,我根據(jù)“觀察——猜想——驗證”環(huán)節(jié)設計了以下教學過程。

    1.課件動態(tài)演示引導學生觀察

    (1)課件出示一個銳角,接著連接銳角邊上的兩點形成一個銳角三角形。

    (2)課件第二次出示這個銳角,旋轉它的一條邊把它變成一個直角,連接直角邊上的兩點形成一個直角三角形。

    (3)課件第三次出示這個銳角,旋轉它的一條邊把它變成鈍角,連接鈍角邊上的兩點形成一個鈍角三角形。(最后如下圖)

    2.觀察、猜想

    (1)仔細觀察這三個三角形,你認為哪個三角形的內角和最大?說說你的想法。有的學生認為鈍角三角形的內角和最大,因為鈍角最大。有的學生認為是一樣大的,雖然鈍角三角形中鈍角最大,但是它的其他兩個角都比較小。

    (2)繼續(xù)觀察,現(xiàn)在繼續(xù)旋轉鈍角三角形的一條邊,使這個鈍角不斷的變大、變大、再變大……你看到了什么?學生發(fā)現(xiàn):鈍角三角形中鈍角越變越大,而另外兩個銳角越來越小。

    (3)想象一下,如果這個鈍角繼續(xù)變大,它就越來越接近…(平角、180度),而另外兩個角的大小會怎樣?

    (4)由此想來,三角形的內角和可能是多少度?

    學生猜想:三角形的內角和可能是180度。

    師:這是我們的猜想,那么三角形的內角和到底是不是180°呢?你有什么辦法來驗證?

    我們知道猜想要有一定依據(jù),不能憑空猜想。本環(huán)節(jié)教師創(chuàng)設了動態(tài)的直觀圖,讓學生觀察、體會三角形三個內角的變化有此消彼長的現(xiàn)象,但變化有一定的極限:就是不大于180度。這一教學環(huán)節(jié),讓學生經(jīng)歷了觀察、猜想的過程,一方面有利于培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力,形成良好的空間知覺;另一方面為形成猜想,探索三角形的內角和奠定基礎。

    “觀察——猜想——驗證”這本身就是一個幾何直觀的過程。在小學數(shù)學教材中一些公式、運算定律、探究規(guī)律等知識,均可以遵循這樣的教學過程,創(chuàng)設合理情境讓學生從觀察和猜想開始,通過自主探索、體驗和感受數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展思維能力,提升數(shù)學素養(yǎng)。endprint

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