立足教材夯基礎(chǔ) 借題發(fā)揮促發(fā)展

廣東省東莞市長安實驗中學數(shù)學教研組(523846) 鄭健微

立足教材夯基礎(chǔ) 借題發(fā)揮促發(fā)展

廣東省東莞市長安實驗中學數(shù)學教研組(523846) 鄭健微

1 問題提出

多媒體網(wǎng)絡(luò)教學給我們的教育手段、教育方式帶來了全新而又深刻的革命,在很多方面是傳統(tǒng)的教學手段無法比擬的.但是,無論科學技術(shù)再發(fā)達,教材,尤其是教科書,作為數(shù)學課堂的重要載體,它所能發(fā)揮的作用依舊是很多網(wǎng)絡(luò)資源所無法取代的.但有部分老師往往為了照著網(wǎng)絡(luò)課件思路走而忽略了課本上一些對學生的思維具有訓(xùn)練性的習題,或者為了完成教學任務(wù)而評講習題,沒有充分發(fā)掘教材題目的價值,致使學生數(shù)學思維沒有得到很好發(fā)展.

2 借助教材趣題,促進學生發(fā)展

知識是靜態(tài)的,思維是活動的,課本的習題是經(jīng)過精心篩選的,它是固定的,但是它的變化又是無窮的.教師在備課時應(yīng)在對教材合理的挖掘中,尋找促進學生發(fā)展的有趣題目,深入研究課本的典型習題,挖掘其潛在的價值,進行一題多變或一題多解,優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),使教材中的靜態(tài)知識操作化、活動化,在夯實學生基礎(chǔ)同時,也促進學生發(fā)散思維的發(fā)展.

2.1 立足課本問題,一題多變促發(fā)展

課本的例題和習題都是經(jīng)過專家學者精心挑選,反復(fù)斟酌后確定下來的,它具有深刻的數(shù)學背景和典型的代表性,教師在對教材進行合理的挖掘的過程中要尋找一些突破口,從學生的實際出發(fā),活用教材,使教材中的靜態(tài)知識動態(tài)化,激發(fā)學生的求知欲望,促進學生從多層面、多角度去認識、研究問題.

案例1 如圖1,利用一面墻(墻的長度不限),用20長的籬笆,怎樣圍成一個面積為50的矩形場地?(本題來自人教版九年級數(shù)學上冊P25第八題)

圖1

解法一設(shè)垂直于墻的一邊長為xm.

第一步,審題,弄清題意.找出等量關(guān)系;本題中已知條件:用20 m長的籬笆圍成一個面積為50 m2的矩形場地,隱含條件:矩形場地一面靠墻,籬笆只需圍三邊.

第二步,設(shè)未知數(shù).用表示所求的數(shù)量或有關(guān)的未知量;要問如何圍成面積為50 m2的矩形場地,而我們已知矩形的面積公式為長乘以寬,在本題中,矩形場地長和寬都不知道,因此根據(jù)題意我們可以設(shè)垂直于墻的一邊長為xm,則與墻平行的一邊長為(20?2x)m;

第三步,根據(jù)題中等量關(guān)系,列出一元二次方程:x(20?x)=50;

第四步,解方程,求出未知數(shù)的值;x=5;

第五步,檢查結(jié)果是否符合題意并寫出答語.

解法二設(shè)與墻平行的一邊長為xm,則垂直于墻的一邊長為根據(jù)題中等量關(guān)系,列出一元二次方程:

一般在數(shù)學教學中,教師會給出上述兩種解法.如果靜止地、孤立地去解答一道道課本習題,我們僅僅是完成了教學任務(wù),但數(shù)學的解題不應(yīng)該僅僅停留在習題的解答上,我們應(yīng)該對習題進行深度挖掘,激發(fā)學生的學習興趣,對此,我進行了以下幾種變式.

變式一增加圍欄,改變圖形,使圍成的矩形場地有較多的用途

圖2

圖3

變式題1 利用一面墻(墻的長度不限),用20 m長的籬笆圍成一個矩形場地,設(shè)與墻垂直的一邊長為xm;

圖2所示的矩形場地中,與墻平行的一邊長為

圖3所示的矩形場地中,與墻平行的一邊長為

師:通過上述三道題,你能否用一個簡潔的話式子,概括“與墻垂直的總邊長”“與墻平行的邊長”和“總籬笆長”三者之間的關(guān)系.

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長?與墻垂直的總邊長

變式題2在與墻平行的一邊設(shè)置門

要用籬笆圍成矩形場地,其中一面利用墻(墻的長度不限),其它邊用籬笆圍成,已知現(xiàn)有20長的籬笆,要圍成一個矩形場地,設(shè)該矩形場地與墻垂直的一邊為xm,

圖4

圖5

(1)若在如圖4所示的地方開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長____

(2)若在如圖5所示的兩處開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長___

師:從上面這兩個式子,你能否仿照第一個變式,用文字語言描述與墻平行的邊長為多少?

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長?與墻垂直的總邊長+總門寬

變式題3在與墻垂直的一邊設(shè)置門

要用籬笆圍成矩形場地,其中一面利用墻(墻的長度不限),其它用籬笆圍成,已知現(xiàn)有20 m長的籬笆,要圍成一個矩形場地,設(shè)該矩形場地與墻垂直的一邊為xm,

圖6

圖7

(1)若在如圖6所示的地方開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長

(2)若在如圖7所示的兩處開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長

師:從上面這兩個式子,你能得出什么規(guī)律?

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長-與墻垂直的總邊長+總門寬

師:從變式2和變式3,你發(fā)現(xiàn)了什么?

生:無論門設(shè)置在與墻垂直的一邊,還是與墻平行的一邊,只要知道與墻垂直的籬笆段數(shù)和門的總寬度,就可以列出“與墻平行的一邊”的表達式.

變式題4在與墻垂直和與墻平行的的柵欄邊都設(shè)置門

某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)中間用一道墻隔開,并在如圖8所示的三處各留1m寬的門,已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m,則設(shè)與已有墻垂

圖8

直的一邊為xm,則與已有墻平行的一邊為___.

變式題5 上面的變式都是不限制墻長,如果限制了墻長,對題目是否有影響?為此,我設(shè)置下列變式.

如圖9,,要用防護網(wǎng)圍成長方形花壇,其中一面利用現(xiàn)有的一段墻,且在與墻平行的一邊開2 m寬的門,現(xiàn)有防護網(wǎng)的長度為91 m,花壇的面積需要1080 m2,若墻長為50 m,求花壇的長和寬?

圖9

(1)若墻長46 m,求花壇的長和寬.

(2)若墻長40 m,求花壇的長和寬.

(3)通過上面三題的討論,你覺得墻長對題目有何影響?

在本節(jié)課教學過程中,如果教師僅僅為完成教學任務(wù)而講解習題,沒有深挖題目的條件,設(shè)置一系列的變式題給學生以充分的時間和空間去交流、實踐探索,那么學生對此類習題僅僅是個別題目的“會解”,上升不到掌握這一類題“解題策略”,也凸顯不了學生的主體地位.本節(jié)課教師通過不斷變化題目的條件,圖形,培養(yǎng)學生隨機應(yīng)變的能力,通過以填空形式設(shè)問,制造小臺階,并從多個適當點撥學生如何用簡潔的文字語言來概括本節(jié)課的規(guī)律,總結(jié)出解題的通法,使得此類題型在學生腦海里印象深刻,達到題目類化的目的,提高了學生邏輯思維能力,分析問題、解決問題的能力.正如數(shù)學教育家柏利亞曾說過得:“一個有責任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目,還不如適當選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學生挖掘題目的各個方面,在知道學生解題過程中,提高他們的才智和推理能力”.

2.2 滲透解題技巧,一題多用促發(fā)展

教學中,教師應(yīng)對學生“授之以漁”,才能讓學生從茫茫題海中走出來.教學中,教師可以從教材某一道例題或習題出發(fā),教會學生解決與該習題或例題相類似的某一類題的解題策略.例如,在幾何教學中,我們會遇到許多基本圖形,如果在教學中,我們能夠教會學生識別教材常見的幾何圖形,充分挖掘基本幾何圖形的價值,講解時重視基本解題方法的講授,并輔之以適當?shù)念}目,那么在教學中會達到事半功倍的效果.

案例2 以一道課本習題為例.如圖10,AD與BC相于點O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求證:OE垂直平分BD.

圖10

師:這題要求證OE垂直平分BD,即OE是BD的垂直平分線,要證明一條直線為一個線段的垂直平分線,要如何證明?

生:應(yīng)證明兩個點到線段BD的距離相等,且這兩個點都在要求證的直線BD上才可以.即證明OB=OD,BE=DE.

師:此題中BE=DE為已知,如何證明OB=OD?

生:OB=OD在不同的三角形上,所以,可以用全等三角形來證明.

師:在這個圖中,常見的全等三角形的圖形有哪些?你能否用將他們提取出來?

生:

圖11

圖12

圖13

圖14

師:這些都是我們常見的全等的圖形(圖11-圖14).所以本題證明,可以轉(zhuǎn)化為證什么?

生:可以轉(zhuǎn)化為證△CDO～=△ABO.

證明在△AOB與△COD中,

所以

所以O(shè)B=OD,所以,點O在線段BD的垂直平分線上,因為BE=DE,所以點E在線段BD的垂直平分線上,OE垂直平分BD.

師:識別上述的幾個基本圖形,我們在證明全等三角形時,會讓我們達到事半功倍之效,我們看下以下幾道題.

應(yīng)用1已知:如圖15,AC⊥OB,BD⊥OA,AC與BD交于E點,若OA=OB,求證:AE=BE.

師:圖15中的基本圖形中全等形有哪些?

生:

圖15

圖16

圖17

圖18

師:已知條件跟什么掛鉤?

生:△CAO和△DBO.

師:AE和BE在哪些三角形中?

生:△AEO和△BEC.

師:如何證明?

生:因為AC⊥BD,所以

又因為BD⊥OA,所以

因為 ∠O= ∠O,所以△CAO≌△DBO(ASA),所以O(shè)C=OD,又因為

所以

又因為 ∠AED= ∠BEC,所以△CAO≌△DBO,所以AE=BE.師:將基本圖形旋轉(zhuǎn)下,可以得到如下應(yīng)用2的圖19,而教材中的另外一道習題(應(yīng)用3)也可以在應(yīng)用2的基礎(chǔ)上再進行拓展.

應(yīng)用2 已知,如圖19,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE.

求證:BE=CD.

解析要證BE=CD,因為BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以轉(zhuǎn)化為證△BAE～=△DAC,題目中已知AB=AC,AD=AE,根據(jù)全等三角形證明方法(SAS)知應(yīng)證∠BAE=∠DAC,由于題目已知∠BAC=∠DAE=90°,而∠BAC+∠CAE= ∠DAE+∠CAE,即∠BAE= ∠DAC.

應(yīng)用3(課本習題):如圖20,在△ABC的外邊作等邊△ABD、等邊△AEC,求證:BE=CD.

圖19

解析要證BE=CD,因為BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以轉(zhuǎn)化為證△BAE≌△DAC,題目中已知有等邊△ABD、等邊△AEC,所以AB=AD,AC=AE,根據(jù)全等三角形證明方法(SAS)知應(yīng)證,∠BAE=∠DAC,由于題目已∠BAD= ∠CAE=60°,而∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠BAC,即∠BAE= ∠DAC.

圖20

在應(yīng)用3做完后,教師可以適當鼓勵學生改變此題,引導(dǎo)學生思考,如果的外邊作的不是等邊三角形,而是等腰直角三角形,四邊形,甚至多邊形,那么能否得到類似的結(jié)論?如下面的應(yīng)用4和應(yīng)用5.

應(yīng)用4 如圖21,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD= ∠BCE=90°,AE交CD于點F,BD分別交CE、AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由.

圖21

圖22

應(yīng)用5 如圖22,已知△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG.連接EC、BG,判斷EC與BG的關(guān)系并證明.

在教學中,如果我們能深挖課本習題的價值,讓學生掌握課本問題的“本質(zhì)”證法,學生就能舉一反三,在基本題型的基礎(chǔ)上,學生就能應(yīng)付層出不窮的數(shù)學問題.

2.3 分解基本圖形,一題多解促發(fā)展

一道數(shù)學題,由于思考的角度不同,我們可以得到不同的思路,而這些思路來源于我們對基本題型的熟悉.正如前面所說的,在教材的習題中,我們會遇到許多基本圖形,如果學生能熟練識別常見幾何圖形,并掌握基本解題方法,那么對于一些難度較大的幾何題,學生便能從復(fù)雜圖形分解出幾何圖形,找到解決難題的突破口,從而達到事半功倍之效.

案例3一道東莞市中考幾何題的評析課

如圖23,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,過點O作OD⊥AB于點D,延長DO交⊙O于點P,過點P作PE⊥AC于點E,作射線DE交BC的延長線于F點,連接PF.

圖23

(1)若 ∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的長;(結(jié)果保留π)

(2)求證:OD=OE;

(3)PF是⊙O的切線.

本題前面第一個小問考查弧長公式,學生解答還可以,但是第二問,學生有點吃力,第三問,學生更是無從入手,故教師在解答第(2)(3)問前,就引導(dǎo)學生回憶教材的基本幾何圖形,引導(dǎo)學生從復(fù)雜圖形中提取基本圖形,發(fā)現(xiàn)題目隱含條件,作為解決問題的突破扣和切入點,并通過畫輔助線構(gòu)造新的幾何圖形,將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決.

本題解答前教師先做如下鋪墊:

師:從這個圖形中,你能得出什么基本幾何圖形?

學生在教師的引導(dǎo)下從復(fù)雜圖形中提取以下基本幾何圖形(圖24):

圖24

師:第二問目標是證明,通過之前我們提取出來的基本幾何圖形,結(jié)合證明線段相等的兩種常規(guī)方法是?

生:當線段在同一個三角形時,通過等角對等邊證明,當線段在在不同三角形時,通過證明兩三角形全等來證.

師:所以本題證明OD=OE,可以轉(zhuǎn)化為證?

生:可以轉(zhuǎn)化為證△ADO～=△PEO.

師:本題的直接條件:OD⊥AB,PE⊥AC,要證△ADO～=△PEO,你還能找出什么條件?

生:OA=OP,∠AOD= ∠POE.

第(2)問解法如下

證明如圖25.因為OD⊥AB,PE⊥AC,所以 ∠ADO=∠PEO=90°,所以在△ADO和△PEO中,∠ADO=∠PEO,∠AOD= ∠POE,OA=OP,所以△ADO≌△PEO,所以O(shè)D=OE.

圖25

第三問目標要證PF是⊙O的切線,其實也就是要證明OP⊥PF,即∠ODF=90°,直接證明難度比較大,而學生通過觀察易發(fā)現(xiàn),四邊形DBPF是一個矩形,所以本題思路一是證四邊形DBPF是一個矩形.

第(3)問解法一

圖26

證明如圖26.連接AP,因為OA=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因為PD⊥AB且PD經(jīng)過圓心O,所以,根據(jù)垂徑定理可知,AD=DB,又因為AC是直徑,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四邊形DBPF是平行四邊形,因為∠B=90°,所以四邊形DBPF是矩形,,所以PF是⊙O的切線.由上面的思路,學生容易想到可以證四邊形APFD是平行四邊形

第(3)問解法二

圖27

證明如圖27.連接AP,所以O(shè)A=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因為PD⊥AB且PD經(jīng)過圓心O,所以,根據(jù)垂徑定理可知,AD=DB,又因為AC是直徑,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四邊形DBPF是平行四邊形,所以AP//PF,所以∠PDA= ∠DPF=90°,所以PF是⊙O的切線.

由已知和要證明的,在四邊形DBPF中,有三個角為90°,由四邊形內(nèi)角和公式知∠PFB=90°.通過之前箏形圖形的鋪墊,學生比較容易想到通過做輔助線PC,來證明△PCE≌△PCF,進而證明 ∠PFB=90°.

圖28

證明如圖28.連接PC,由AC是直徑知BC⊥AB,又OD⊥AB,所以PD//BF,所以∠OPC= ∠PCF,∠1= ∠4,由(2)知OD=OE,則 ∠1= ∠2,又 ∠2= ∠3,所以 ∠3= ∠4,所以EC=FC,由OP=OC知 ∠OPC= ∠OCE,所以∠PCE=∠PCF,所以在△PCE和△PFC中,EC=FC,∠PCE= ∠PCF,PC=PC,所以△PCE≌△PFC,所以 ∠PFC= ∠PEC=90°,由 ∠PDB= ∠B=90°,可知∠ODF=90°,即OP⊥PF,所以PF是⊙O的切線.

整個案例的教學過程,提示我們在平時的教學實踐中,不僅要注重教材基本幾何圖形的研究,更要善于結(jié)合有趣的題目來“借題發(fā)揮”,在平時的數(shù)學教學中,有大量的一題多解的例子,如果我們在拿到一個題目后,能有意識的去觀察、分析和研究,在課堂上與學生進行討論,從不同思考角度得到不同解題思路,那必定在教學中必定可以從基本題型出發(fā),變化出很多的花樣,增大課堂容量,拓展學生思維,讓學生走出茫茫題海,促進學生自主探索能力,培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維.

3 關(guān)于借題發(fā)揮促發(fā)展的兩點思考與建議

3.1 借題發(fā)揮不應(yīng)只是教師的獨角戲,應(yīng)讓“變化”的魅力吸引學生也參與其中

學生不是帶著空的腦袋進教室的,每一名學生都有許多數(shù)學知識和生活經(jīng)驗,教師可以鼓勵學有余力的學生在一起適當改編原題或者從自己練習過的題目中找到與課本練習題相類似的變式題,讓他們的數(shù)學思維通過交流與碰撞,得到進一步提升,并學會自主地進行訓(xùn)練和創(chuàng)新訓(xùn)練,豐富課堂內(nèi)容,創(chuàng)生課程資源.

3.2 借題發(fā)揮避免過度深化題目,應(yīng)該在學生現(xiàn)狀和未來發(fā)展之間把握好一個“度”

教材的編寫滲透著專家的智慧,教材知識是循序漸進的,教師在日常備課中要博采眾長,披沙揀金,使得題目的引申、拓展能緊緊圍繞教學目的、教學重難點以及學生現(xiàn)有知識儲備,而不至于過度深化,增加學生負擔,使得教學有序進行卻不“僵化”,題目進行引申卻不“偏離正軌”,在學生現(xiàn)狀和未來發(fā)展之間把握好一個“度”.

4 結(jié)束語

教育學家波利亞認為,“一個有責任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目,不如適當?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學生解題過程中,提高他們的才智和推理能力.”讓我們緊緊圍繞以“教師為主導(dǎo),學生為主體”的教育理念,為學生努力創(chuàng)建好平臺,利用好教學資源,使教材“活”起來,使學生的思維活躍起來.