由一個(gè)課本證明引發(fā)的教學(xué)思考

廣東省江門市培英初級(jí)中學(xué)(529000) 周小洋

由一個(gè)課本證明引發(fā)的教學(xué)思考

廣東省江門市培英初級(jí)中學(xué)(529000) 周小洋

1、一個(gè)課本證明

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)在第18章第2節(jié)矩形的性質(zhì)中,由“矩形的對(duì)角線相等”這一性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生思考,并給出了直角三角形的一個(gè)性質(zhì)的證明.

課本利用新學(xué)的矩形性質(zhì),對(duì)角線相等且互相平分,OB=由此得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)(直角三角形斜邊中線定理):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

圖1

2、引發(fā)的教學(xué)思考

1.1 基于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ),探討其他證法

對(duì)于本節(jié)內(nèi)容,絕大多數(shù)老師都是沿用課本的證法.課本的證法雖然簡(jiǎn)潔,且與矩形的性質(zhì)相關(guān),但滿足于一種證法,照本宣科,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維并無益處.

求證兩線段存在倍數(shù)關(guān)系,最常用的思路是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”(有些書稱之為“割補(bǔ)法”),課本采用的是一種“補(bǔ)短法”.以下拋磚引玉,試著給出其他不同證明方法.

證法1上一節(jié)課學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“中位線定理”,可以利用“中位線定理”證明,證明思路如下:取AB中點(diǎn)D,連接OD,因?yàn)镺D是△ABC的中位線,所以O(shè)D//BC,所以∠ADO= ∠ABC=90°,又因?yàn)镈為AB中點(diǎn),所以O(shè)D垂直平分AB,所以

圖2

證法2也可以先證明全等,后利用垂直平分線的性質(zhì),證明思路如下:過點(diǎn)O分別作OD⊥AB,OE⊥BC,因?yàn)?∠ADO= ∠OEC=90°,∠AOD= ∠OCE,OA=OC,所以△ADO≌△OEC(AAS).所以O(shè)D=CE.易知,四邊形DBEO是矩形.所以O(shè)D=BE=EC,又因?yàn)镺E⊥BC,所以O(shè)E垂直平分BC.所以O(shè)B=OC=

圖3

證法3 還可參照課本證法,向左對(duì)稱作圖,證明思路如下:根據(jù)對(duì)稱可知,BC=BC′,∠1= ∠2. 又因?yàn)镺A=OB,所以O(shè)B是△ACC′的中位線,所以O(shè)B//AC′,∠1= ∠3. 又因?yàn)?∠1= ∠2,所以 ∠2= ∠3,所以

圖4

證法4證明思維大致可以分為幾何證明思維和代數(shù)證明思維.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平面直角坐標(biāo)系”、“勾股定理”兩章,因此可以采用代數(shù)證明思維證明,證明過程如下:

以直角頂點(diǎn)B為原點(diǎn),分別以直角邊BC、AB所在直線為x軸,y軸 (如圖所示),過O作OD⊥BC,設(shè)A(0,n),C(m,0).在Rt△ABC中,由勾股定理得:是AC中點(diǎn),易知,在Rt△BOD中,由勾股定理得:

圖5

對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來說,以上四種證法所用的是前面學(xué)習(xí)過的知識(shí),老師稍作點(diǎn)撥,學(xué)生還是有可能想到的;而對(duì)于進(jìn)入中考復(fù)習(xí)階段的九年級(jí)學(xué)生,還可以找到其他的證明方法,在此僅舉一種.

證法5 利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”證明,證明過程如下:因?yàn)锳C是⊙O的直徑,所以∠ABC=90°,顯而易見,

圖6

1.2 基于以上證法,探討如何改善教學(xué)

對(duì)不少學(xué)生來說,數(shù)學(xué)相比于其他科目,似乎更顯枯燥,更加難學(xué).而華人數(shù)學(xué)大師陳省身卻給少年兒童題詞“數(shù)學(xué)好玩”,這與我們很多人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)大相徑庭.數(shù)學(xué)好玩,好玩在哪兒?數(shù)學(xué)的魅力在哪兒?如果我們數(shù)學(xué)老師不能回答好這些問題,那么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣就無從談起.

數(shù)學(xué)的魅力是多層面的,相比于其他學(xué)科,數(shù)學(xué)更加注重思維訓(xùn)練,你會(huì)驚訝于它思維的嚴(yán)謹(jǐn)、方法的靈活、結(jié)論的簡(jiǎn)潔.這就要求我們平時(shí)教學(xué)不能滿足于已有的解法、單一的解法,要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),讓學(xué)生體驗(yàn)到思考與發(fā)現(xiàn)的樂趣.

第一、重視一題多解教學(xué)

很多題目,不止一種解法,引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生嘗試其他解法,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.很多數(shù)學(xué)新方法、新結(jié)論都是由發(fā)散思維得到的,數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解是發(fā)散思維的具體體現(xiàn),教學(xué)中加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練,通過綜合運(yùn)用各方面知識(shí)解決問題可以開拓學(xué)生思路,引導(dǎo)學(xué)生更深入地研究問題,培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的鉆研精神和靈活多變的分析問題和處理問題的能力.

第二、重視多題一解教學(xué)

多題一解可使學(xué)生從中學(xué)會(huì)概括、綜合、歸納、總結(jié)的方法,真正理解具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系;通過多題一解的訓(xùn)練可以達(dá)到強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的目的,收到舉一反三的效果.在學(xué)生掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上,注意多題一解的訓(xùn)練,配合一題多解的練習(xí),能夠培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

第三、重視一題多變教學(xué)

根據(jù)已有題目,適當(dāng)修改之后,增加變式訓(xùn)練,既能讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,檢驗(yàn)是否真正掌握,也能提高學(xué)生對(duì)此類題的本質(zhì)理解,有效地提高學(xué)生的解題能力.

總而言之,充分重視一題多解、多題一解、一題多變的教學(xué),這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)思維等幫助很大,也有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).美國教育心理學(xué)家布魯納(J.S.Bruner)指出:“獲得的知識(shí)如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起,那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí).一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命.”一題多解、多題一解、一題多變教學(xué)促使學(xué)生運(yùn)用不同知識(shí),尋求不同解法,讓零散、孤立的知識(shí)與方法,實(shí)現(xiàn)一定程度的整合與貫通,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正“活”起來.