一維非均勻介質中Casimir Stress的收斂性

歐陽丹， 陳棋江， 羅 斌

(華南師范大學華南先進光電子研究院， 廣州 510006)

一維非均勻介質中Casimir Stress的收斂性

歐陽丹， 陳棋江， 羅 斌*

(華南師范大學華南先進光電子研究院， 廣州 510006)

基于Lifshitz理論和計算Casimir stress (σ)的規(guī)范化方法，研究一維非均勻介質中σ的收斂性. 通過對電磁場格林函數(shù)的Galerkin變分方程的證明與分析結果表明，采用Lifshitz公式理論體系及常規(guī)的規(guī)范化方法時，只要介質中某處的介電常數(shù)ε或磁導率μ的一階導數(shù)不為零，σ在這些導數(shù)非零處為發(fā)散的. 研究結果證明了現(xiàn)有的規(guī)范化方法不適于計算非均勻介質，為改進現(xiàn)有物理模型和探索適用于非均勻介質的新方法提供了理論參考.

Casimir stress； Lifshitz理論； 非均勻介質

Keywords： Casimir stress; Lifshitz theory; inhomogeneous media

空間中存在有限的真空能量，導致2塊不帶電的平行板之間即使在絕對零度的情況下也存在吸引力, CASIMIR[1]提出了這種由量子漲落引起的力，即Casimir力. 通常，這種作用力由于太弱而不易被探測. 但是如果2塊平板之間的間距在微米范圍內，那么平板之間的Casimir力是能夠被探測的[2]. 例如ALMASI等[3]設計并制造了一種新型力傳感器測量大面積的Casimir力. 它不一定是吸引力，只要選取合適的相互作用材料，Casimir力也可以是排斥力，而且排斥力比吸引力更弱[4].

從理論上來闡述Casimir效應，計算Casimir力的方法主要可分為3種：模式求和法[5-6]、反射系數(shù)法[7-9]和Lifshitz理論方法[10-11]. 在計算任意數(shù)量、相互分隔的物體或色散和耗散介質之間的Casimir力時，最常用的方法是Lifshitz理論方法. Lifshitz理論體系以電磁格場林函數(shù)為基礎，將電磁場張量以格林函數(shù)的形式表示，推導出Casimir stress (σ)，從而進一步計算Casimir力. 盡管Lifshitz理論中涉及的計算非常復雜，但是在許多問題中，Lifshitz理論能夠通過純粹的數(shù)值計算來求解，從而使它具有廣泛的適用性，并且已被成功運用于實驗中. 然而，Lifshitz理論在計算求解非均勻介質[12-13]的過程中遇到了發(fā)散的問題. 文獻[12]提出的規(guī)范化方法會導致非均勻介質內部任意處的σ無窮大，從而導致Casimir力無法計算，但是并沒有給出嚴格的理論證明. 提出的新的規(guī)范化方法也未能從本質上解決σ的發(fā)散問題，其理論基礎的正確性還有待驗證.

σ在非均勻介質中發(fā)散[9,12-13]，但沒有從理論上明確指出σ收斂性的規(guī)律. 一般認為σ與真空中Casimir力的計算不相關. 然而在實際中，實驗環(huán)境通常是物體被浸入到流體中，在這種情況下，Casimir力必須通過σ來計算. 因此，弄清楚σ收斂性的規(guī)律非常重要.

本文根據(jù)Lifshitz理論，在現(xiàn)有的σ規(guī)范化方法的基礎上，對其做進一步數(shù)學演繹，得到σ的計算公式，通過研究電磁場格林函數(shù)及其Galerkin變分方程，總結了在現(xiàn)有公式體系下σ的發(fā)散規(guī)律.

1 計算方法

在一維非均勻介質(y和z方向平移不變)中，計算3×3矩陣的σ時只需計算其中的1個元素σxx.以Lifshitz理論為基礎進行推導[14]

(1)

(2)

中的一個元素；上標E、M分別表示電場、磁場. 由式(1)和式(2)之和可得到σxx(x′)的計算公式. 本文在此基礎上，將其在y-z平面進行二維傅里葉變換為

(3)

gES|MS(iκ;x′,x′,0)]dκ,

(4)

其中,

gES|MS(iκ;x,x′,ρ)=gE|M(iκ;x,x′,ρ)-g0(iκ;r,r′),

(5)

g0(iκ;r,r′):=

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

微分方程(9)可以轉化為如下的標準形式：

(11)

其中，

(12)

為了便于后續(xù)的推導，將式(12)進一步變?yōu)椋?/p>

(13)

(14)

其中,

(15)

根據(jù)式(3)和式(4)可以得到一維非均勻介質中σ的計算公式：

(16)

其中,

(17)

(18)

(19)

其中，

(20)

(21)

(22)

其中，φ(r)是滿足如下條件的試函數(shù)：φ(r)在3空間內有限并連續(xù)，且存在大于0的距離d，使得當|r|≥d時，φ(r)恒等于0，并且φ(r)在Vn任何地方都可導，并且,

(23)

(24)

(25)

是有限的，但是式(22)中等號右邊的

(26)

2 程序驗證

為了驗證非均勻介質中σ是發(fā)散的，本文采用有限元法(FEM)編程計算了2塊相距d=xR-xL的無限大金屬板之間中點處的σxx. 當兩金屬板間的介質分別為均勻介質(圖1A)和線性非均勻介質(圖1B)時，兩金屬板中點x′=(xL+xR)/2處的σ隨網(wǎng)格劃分數(shù)的變化情況見圖2. 所有介質的相對磁導率μr均為1.

有限元法將待求解的區(qū)域劃分為細小的網(wǎng)格區(qū)域，以近似計算各點的數(shù)值解，網(wǎng)格劃分越精細，結果越接近真實值. 容易看出，當介質為均勻介質時(圖2A)，隨著網(wǎng)格劃分數(shù)的增加，σxx趨于有限值. 而當介質為非均勻介質時(圖2B)，σxx隨著網(wǎng)格劃分數(shù)增加而無限增大，說明均勻介質中的σxx收斂，而非均勻介質中的σxx是發(fā)散的.

圖1 不同介質中相對介電常數(shù)εr的分布

Figure 1 Distribution of relative dielectric constant in different medias

圖2 不同介質中兩金屬板之間中點x′處σxx隨FEM網(wǎng)格數(shù)的變化

Figure 2 Changes ofσxxat the meddle pointx′of two metal sheets in different media

3 結論

針對一維非均勻介質中Casimir stress (σ)的發(fā)散問題，基于Lifshitz理論，在現(xiàn)有的σ規(guī)范化方法基礎上，本文對其推導演繹，得到一維非均勻介質中σ的計算公式. 通過證明和分析電磁場格林函數(shù)及其Galerkin變分方程得到以下結論：在現(xiàn)有基于Lifshitz理論及其標準規(guī)范化方法體系下，在介質的介電常數(shù)ε或磁導率μ對x的一階導數(shù)不為零的地方，σ必然發(fā)散，從而無法通過其計算非均勻介質中的Casimir力. 這說明了現(xiàn)有的規(guī)范化方法模型對非均勻介質是不適用的. 后續(xù)可改進現(xiàn)有物理模型，并尋找新的適用于非均勻介質的規(guī)范化方法.

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[11] DZYALOSHINSKII I E,LIFSHITZ E M,PITAEVSKII L P. The general theory of van der Waals forces [J]. Advances in Physics,1961,10(38):165-209.

[12] PHILBIN T G,XIONG C,LEONHARDT U. Casimir stress in an inhomogeneous medium [J]. Annals of Physics.2010,325(3):579-595.

[13] XIONG C,KELSEY T W,LINTON S A,et al. Casimir forces for inhomogeneous planar media [J]. Journal of Physics:Conference Series,2013,410(1):012165.

[14] LEONHARDT U. Essentialquantum optics:from quantum measurements to black holes [M]. Cambridge:Cambridge University Press,2010:231-249.

Convergence of Casimir Stress in One-Dimensional Inhomogeneous Media

OUYANG Dan, CHEN Qijiang, LUO Bin*

(South China Academy of Advanced Optoelectronics, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

Based on the Lifshitz theory and the regularization method for the calculation of Casimir stress (σ), the convergence ofσin one-dimensional inhomogeneous media is studied. By deriving and analyzing the Galerkin variational equation of Green’s function of electromagnetic field,σis divergent in the nonzero derivative when the Lifshitz formulism and standard regularization method are applied either the derivative of permittivityεor the derivative of permeabilityμis nonzero somewhere in the media. The results show that the existing standard regularization is not applicable to inhomogeneous media, and provide a theoretical reference for the improvement of the current physical model and the exploration of new regularization applicable to inhomogeneous media.

2016-02-22 《華南師范大學學報(自然科學版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省引進創(chuàng)新團隊計劃項目(201001D0104799318)

*通訊作者:羅斌，講師，Email:bin.luo@coer-scnu.org.

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1000-5463(2017)05-0022-04

【中文責編：譚春林 英文審校：肖菁】