基于PSO的系統(tǒng)可變約束優(yōu)化求解與仿真

翟紅生

(河南工程學(xué)院 計算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 451191)

基于PSO的系統(tǒng)可變約束優(yōu)化求解與仿真

翟紅生

(河南工程學(xué)院 計算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 451191)

針對化工過程存在可變、非嚴(yán)格剛性約束優(yōu)化的問題，提出了一種基于命題轉(zhuǎn)化和粒子群算法的系統(tǒng)可變約束優(yōu)化求解方法.該方法首先將非剛性可變約束進(jìn)行轉(zhuǎn)化和處理，將其作為一個優(yōu)化指標(biāo),然后將這個優(yōu)化指標(biāo)作為一個罰乘子與原優(yōu)化目標(biāo)組成一個新的綜合優(yōu)化目標(biāo).由此，原單目標(biāo)優(yōu)化命題就轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄繕?biāo)優(yōu)化命題，并且利用PSO多目標(biāo)優(yōu)化算法對該多目標(biāo)優(yōu)化命題進(jìn)行求解.同時，對求得的解進(jìn)行優(yōu)化，對可變約束范圍進(jìn)行理論分析，給出了在約束不定情況下合理可行的優(yōu)化求解方案并進(jìn)行了驗證.結(jié)果表明，該方法應(yīng)用于實際生產(chǎn)中是可行與有效的.

可變約束; 多目標(biāo);命題轉(zhuǎn)化;優(yōu)化求解;粒子群

過程系統(tǒng)優(yōu)化尤其是化工過程系統(tǒng)優(yōu)化往往具有一定的不確定性[1].隨著設(shè)備的不斷更新、生產(chǎn)狀況的調(diào)整和市場行情的變化，優(yōu)化條件和目標(biāo)都會變化.為了適應(yīng)這種變化，生產(chǎn)過程的優(yōu)化往往具有一定的柔性，然而在長期的生產(chǎn)過程中，追求全局最優(yōu)往往是不現(xiàn)實的[2].

在傳統(tǒng)的優(yōu)化過程中，優(yōu)化命題和約束一般是剛性的，即過程系統(tǒng)模型和邊界約束必須滿足等式或者不等式的約束條件[3].如果在優(yōu)化過程中得到的解無法滿足約束條件，那么就無法得到優(yōu)化解[4].上述方法僅僅考慮數(shù)學(xué)上的規(guī)劃求解，并沒有考慮實際過程中很多約束條件不是剛性的.

在化工過程系統(tǒng)中，軟約束或可變約束是普遍存在的[5].考慮到反應(yīng)過程參數(shù)的變遷和設(shè)計過程中預(yù)最優(yōu)運行點的不確定性，優(yōu)化過程將會包含較多的可變約束.因此，可變約束與設(shè)備的軟約束有一定的不同，基于可變約束的優(yōu)化命題求解需要合理的設(shè)計和優(yōu)化求解方法[6].

基于集群智能的優(yōu)化算法如遺傳算法[7]、模擬退火算法[8]在化工生產(chǎn)過程中有著廣泛應(yīng)用，它們可求解全局最優(yōu)解，并用于智能分類、路徑規(guī)劃等領(lǐng)域[9].但是，這類優(yōu)化算法在一般約束過程中往往存在一定的難度，采用罰函數(shù)法時，罰乘子的選擇對優(yōu)化目標(biāo)求解影響較大[10]，特別是針對可變約束優(yōu)化命題.

針對上述問題，粒子群優(yōu)化算法在優(yōu)化求解中有著高效和良好的求解能力，故很快被擴(kuò)展到多目標(biāo)優(yōu)化求解中.本研究結(jié)合粒子群多目標(biāo)優(yōu)化的優(yōu)勢，根據(jù)可變約束優(yōu)化命題求解的特點，提出了一種基于粒子群的可變約束優(yōu)化方法，將其應(yīng)用于化工過程優(yōu)化設(shè)計和參數(shù)估計.通過某化工過程優(yōu)化設(shè)計和參數(shù)估計命題進(jìn)行實驗驗證，結(jié)果表明該方法應(yīng)用于實際生產(chǎn)過程中是實用和有效的.

1 優(yōu)化命題的分析與轉(zhuǎn)化

對于過程系統(tǒng)而言，若變量上下界約束表示設(shè)備能力約束，目標(biāo)函數(shù)一般表示生產(chǎn)效益，而約束方程表示變量取值的范圍.如果采用數(shù)學(xué)規(guī)劃形式的剛性優(yōu)化命題，則優(yōu)化命題可以表示為

(1)

對于該優(yōu)化命題形式，如果采用傳統(tǒng)方法對其求解，得到的僅是一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式.對于以上命題形式采用遺傳算法等智能算法時，通常是通過加權(quán)罰乘子方法將其處理為無約束優(yōu)化方法.然而，加權(quán)罰乘子的選擇沒有固定方法，不易選取且不具有普遍性，在約束條件較為復(fù)雜時，最優(yōu)結(jié)果難以通過求解得到.

過程系統(tǒng)優(yōu)化命題的實際情況是更多的約束均為軟約束形式，即等式約束形式一般不要求嚴(yán)格滿足，只要在設(shè)備、過程反應(yīng)中滿足一定的約束范圍就可以了，所以考慮實際情況，優(yōu)化命題形式可表示為如下形式:

(2)

對于以上不等式約束形式，采用遺傳算法更加難以求解，實際過程未必存在也未必非要得到優(yōu)化命題的全局最優(yōu)解.對于此類型的命題，可以通過一些轉(zhuǎn)化手段，將其轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化命題求解.對于式(1)表示的優(yōu)化命題，通過添加松弛變量，將原命題中的不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束.松弛變量為

(3)

h(x)+S=0，

(4)

將其并入等式約束中，則為以下形式：

(5)

同樣，將式(2)轉(zhuǎn)化為

(6)

對于δi進(jìn)行歸一化處理，具體方式如下：

(7)

式中：σ為人工規(guī)定的容限誤差.考慮到要對約束施加懲罰，故在目標(biāo)函數(shù)中增加懲罰項.原問題轉(zhuǎn)化為一個多目標(biāo)優(yōu)化形式：

(8)

對于以上多目標(biāo)優(yōu)化命題，只要最終優(yōu)化點的‖g(x)‖≤σ，則該優(yōu)化點就符合優(yōu)化要求.而對于以上優(yōu)化約束g(x)，只要它不是過程約束，那么就應(yīng)該能夠得到滿意解甚至全局最優(yōu)解.當(dāng)然，對于優(yōu)化過程來說，當(dāng)全局解與滿意解相差很小時，全局解的意義也不是很大，實際運行中還要考慮全局最優(yōu)解附近的魯棒性等要求，所以只要得到很好的滿意解就足夠了.

以上優(yōu)化命題為多目標(biāo)優(yōu)化命題，粒子群優(yōu)化算法在求解這類命題時非常有效，所以對以上優(yōu)化命題采用粒子群多目標(biāo)優(yōu)化方法求解.

2 基于PSO的系統(tǒng)可變約束優(yōu)化求解

在1995年，Kenndy和Eberhart提出了粒子群優(yōu)化(partical swarm optimization，PSO)算法[11].在PSO算法中，鳥群中的每一只鳥都是優(yōu)化命題的潛在解，命名為粒子.PSO算法對群粒子進(jìn)行隨機(jī)初始化，然后對群體中的粒子進(jìn)行迭代搜索，并求得其最優(yōu)解.在對粒子進(jìn)行迭代的過程中，PSO算法不斷跟蹤個體極值和群體極值來對自己的位置和速度進(jìn)行更新.個體極值(pBest)是指粒子本身搜索到的最優(yōu)解，全局極值(gBest)是指群體搜索到的最優(yōu)解.2002年以后，粒子群優(yōu)化逐漸擴(kuò)展到多目標(biāo)優(yōu)化[12]，并且其優(yōu)化效率等優(yōu)勢得到了充分體現(xiàn)，越來越多的背影用于實際過程的多目標(biāo)優(yōu)化中.多目標(biāo)粒子群優(yōu)化基本算法如下:

(2)初始化種群的適應(yīng)度

fori=1 ton

(3)根據(jù)Pareto概念，將開始的種群分成Pareto子集和N_Pareto子集，n1表示Pareto子集的大小，n2表示N_Pareto子集的大小，滿足n1+n2=n(1≤n1，n2≤n).

(4)通過下式不斷對N_Pareto子集內(nèi)粒子的速度和位置進(jìn)行更新，Vid=w×Vid+c1×rand()×(pid-xid)+c2×rand()×(pgd-xid)，xid=xid+Vid.其中，pgd從Pareto子集中選取.

(5)動態(tài)交換策略

fori=1 ton2

對N_Paret子集和Pareto子集中的粒子進(jìn)行比較;

如果N_Paret子集中的粒子比Pareto中的好，就將其進(jìn)行互換.

(6)對Pareto子集、N_Pareto子集和n1，n2進(jìn)行更新.

(7)假設(shè)n1≠n或者沒有迭代到最大次數(shù)，就執(zhí)行第(4)步.

對于式(8)形式的優(yōu)化命題，可采用多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化計算.

3 仿真研究

本實驗所使用的計算機(jī)CPU為酷睿2 E4300、主頻為2.0 GHz、顯存為1 GB.

3.1用于反應(yīng)器設(shè)計優(yōu)化

反應(yīng)器的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題要求設(shè)計兩個反應(yīng)器容積，目標(biāo)是使反應(yīng)物B的濃度最大，模型描述為以下形式：

(1)目標(biāo)函數(shù)為min-cB2.

圖1 可變約束與最優(yōu)目標(biāo)CB2的關(guān)系Fig.1 Relationship between variable constraints and optimal objective CB2

考慮到反應(yīng)速率常數(shù)與反應(yīng)狀況、辨識方法有關(guān)，以上等式約束方程在實際過程中并不嚴(yán)格滿足，只要殘差不太大就行.約束方程中的不等式約束表示兩個反應(yīng)器的總?cè)莘e小于一定范圍，這里考慮了反應(yīng)器的成本，容積越大，反應(yīng)器的制造成本也越高.實際上，不等式約束也是軟的約束.

對于以上優(yōu)化命題，采用優(yōu)化求解方法求解.粒子種群為45，在150代以內(nèi)完成優(yōu)化求解，得到的結(jié)果如圖1至圖3所示，圖中的橫坐標(biāo)均表示約束可變的范圍.

圖2 可變約束值與V1和V2的關(guān)系Fig.2 Relationship between variable constraint values and V1 and V2

圖3 可變約束與初始濃度選擇的關(guān)系Fig.3 Relationship between variable constraints and initial concentration

圖1表示可變約束值與最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的對應(yīng)變化關(guān)系，其中最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值即原命題的目標(biāo)函數(shù)值.可變約束的區(qū)間范圍越大，目標(biāo)函數(shù)值越小，反應(yīng)物B的濃度越高.命題中進(jìn)入反應(yīng)器的濃度變化是造成約束變化的原因之一，造成約束波動較大的另一因素是反應(yīng)系數(shù)與溫度、濃度、設(shè)備變化都有關(guān)系.與波動造成約束變化對應(yīng)的是目標(biāo)函數(shù)值會在相應(yīng)的范圍內(nèi)變化.在這種情況下，如何設(shè)計反應(yīng)器的容積對目標(biāo)函數(shù)值有較大影響.

圖2表示可變約束范圍與反應(yīng)器容積的關(guān)系.為了方便起見，目標(biāo)函數(shù)值也放在圖2中.從圖2可以看出，在可變約束區(qū)間小于0.15時，反應(yīng)器容積分別為9和2，當(dāng)可變約束大于0.15時，反應(yīng)器容積發(fā)生跳變，進(jìn)料溶液濃度也發(fā)生了跳變，情況如圖3所示.根據(jù)以上情況，反應(yīng)器容積設(shè)計可選擇可變約束小于0.15的優(yōu)化值，這時優(yōu)化目標(biāo)值對反應(yīng)器容積的靈敏度不高且優(yōu)化區(qū)間具有很好的穩(wěn)定性.

3.2用于參數(shù)估計

該優(yōu)化命題描述如下:

觀測數(shù)據(jù)如表1所示.

對該命題采用本方法進(jìn)行優(yōu)化計算.采用粒子種群為45，在150代內(nèi)完成計算,計算結(jié)果如圖4和圖5所示.圖4表示可變約束變化與目標(biāo)函數(shù)值之間的關(guān)系，其中的目標(biāo)函數(shù)值為原命題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值，不含有乘子項.隨著約束可變區(qū)間變大，最優(yōu)目標(biāo)值變小，趨向于更優(yōu).在一定的約束可變范圍，以上優(yōu)化結(jié)果均比較合理.

表1 觀測數(shù)據(jù)Tab.1 Observed data

圖4 可變約束與最優(yōu)目標(biāo)值的關(guān)系Fig.4 Relationship between variable constraints and optimal target values

如圖5所示，將在約束變化值為0.068 9、目標(biāo)函數(shù)值為1.988 8的情況下得到的優(yōu)化值與觀測值進(jìn)行比較.Zu，1*，Zu，2*表示得到的優(yōu)化值，Zu,1，Zu,2表示觀測值，從圖5中看出,觀測值與優(yōu)化值總體上比較符合.

圖6表示可變約束與參數(shù)θ1，θ2的關(guān)系.從圖6中可以看出，當(dāng)可變約束為0.065～0.090時，θ1和θ2值變化很小，幾乎穩(wěn)定在某個值.在θ1和θ2的整個波動范圍內(nèi)，任選一組參數(shù)均可認(rèn)為是滿足目標(biāo)要求的最佳參數(shù)值.

圖5 某可變約束下優(yōu)化數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)的比較Fig.5 Comparison between optimized data and observed data under a variable constraint

圖6 可變約束與參數(shù)θ1和θ2的關(guān)系Fig.6 Relationship between variable constraint and parameter θ1 and θ2

4 結(jié)語

對于過程系統(tǒng)尤其是化工過程系統(tǒng)優(yōu)化而言，優(yōu)化過程往往具有一定的不確定性.隨著設(shè)備的不斷更新、生產(chǎn)狀況的調(diào)整和市場行情的變化，優(yōu)化條件和目標(biāo)都必須有相應(yīng)的變化，在生產(chǎn)過程中對優(yōu)化條件的要求往往具有一定的柔性.為了解決該類具有不確定性因素的約束有一定可變范圍的最優(yōu)化命題，本研究根據(jù)實際生產(chǎn)要求，將這類優(yōu)化命題轉(zhuǎn)換為一種多目標(biāo)優(yōu)化命題，并采用PSO算法對其進(jìn)行求解和分析，提出了一種基于命題轉(zhuǎn)化和粒子群算法的系統(tǒng)可變約束優(yōu)化求解方法.同時,對化工優(yōu)化設(shè)計和參數(shù)估計的兩個優(yōu)化命題進(jìn)行了優(yōu)化求解和分析，結(jié)果表明該方法是有效的.

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SolutionandsimulationofsystemvariableconstraintoptimizationbasedonPSOalgorithm

ZHAIHongsheng

(CollegeofComputer,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China)

In order to solve the problem of variable and non-rigid constraint optimization in chemical process, a variable constraint optimization method based on propositional transformation and particle swarm optimization (PSO) is proposed and the simulation is conducted. The method firstly treated non-rigid variable constraint and transformed it as an optimization index, then the optimization index as a penalty multiplier and the original optimization objective formed a new integrated optimization. Thus, the single objective optimization is turned into a multi-objective optimization proposition, and the PSO multi objective optimization algorithm is used to solve the multi-objective optimization problems. At the same time, the solution is optimized and the variable constraint range is theoretically analyzed. A reasonable and feasible optimization solution under the constraint is given and verified. The result shows that this method is feasible and effective in actual production process.

variable constraint; multi-objective; proposition conversion; optimization; particle swarm

TP273

A

1674-330X(2017)03-0060-05

2017-03-21

翟紅生(1975-)，男，河南鞏義人，講師，主要從事計算機(jī)應(yīng)用技術(shù)研究.