基于LQ優(yōu)化的磁懸浮輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

薛 鵬，韓家樂，李保龍

(河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

基于LQ優(yōu)化的磁懸浮輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

薛 鵬，韓家樂，李保龍

(河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

磁懸浮球系統(tǒng)具有非線性的本質(zhì)和明顯的開環(huán)不穩(wěn)定特點(diǎn)，其控制算法值得研究.雖然輸出反饋PID控制方案因簡(jiǎn)單易行而被廣泛應(yīng)用，但其參數(shù)整定依賴經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致控制精度不高且容易受到干擾而使控制失敗.保持輸出反饋的控制結(jié)構(gòu)，提出將LQ二次優(yōu)化方法用于控制參數(shù)優(yōu)化的整定方案，優(yōu)點(diǎn)在于使系統(tǒng)具有統(tǒng)一的最優(yōu)解表達(dá)式，計(jì)算方便；將狀態(tài)信息用于控制器設(shè)計(jì)，提高了輸出反饋的控制性能,避免了狀態(tài)采樣的復(fù)雜計(jì)算.將所提方案與經(jīng)典PID方案比較，仿真結(jié)果顯示，具有LQ優(yōu)化的輸出反饋控制方案跟蹤效果好且對(duì)外部干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的敏感度有所降低.

磁懸浮；輸出反饋；LQ優(yōu)化；魯棒性

磁懸浮技術(shù)的研究涉及電磁、力學(xué)、機(jī)械和控制工程等多個(gè)學(xué)科.磁懸浮球裝置是典型的非線性控制系統(tǒng)，同時(shí)具有開環(huán)不穩(wěn)定特點(diǎn)[1-2].控制對(duì)象的處理過程中，通常將非線性模型在其平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開得到線性化模型以進(jìn)行算法設(shè)計(jì)，故所設(shè)計(jì)的控制器只能在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)產(chǎn)生控制效果.一旦懸浮對(duì)象受到外部干擾，被懸浮對(duì)象將偏離平衡點(diǎn)，系統(tǒng)的非線性本質(zhì)將導(dǎo)致懸浮控制失敗.因此，研究磁懸浮系統(tǒng)的控制算法具有重要意義[3].

磁懸浮球試驗(yàn)裝置多采用輸出反饋PID控制，研究者提出了各種先進(jìn)智能PID控制參數(shù)整定方法以優(yōu)化系統(tǒng)控制性能，比如針對(duì)模型不確定性的BP網(wǎng)絡(luò)的控制參數(shù)優(yōu)化[4]、模糊PID[5]、魯棒PID[6]等.LQ二次最優(yōu)控制是基于時(shí)域狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，優(yōu)點(diǎn)在于最優(yōu)解的統(tǒng)一表達(dá)且便于計(jì)算，但是控制器要求反饋所有的狀態(tài)信息，這在工程中有時(shí)是無法實(shí)現(xiàn)的.盡管可以用狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)，但這種方法增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性、降低了系統(tǒng)的可靠性，如果設(shè)計(jì)不當(dāng)還可能引入干擾，影響原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.

通過分析輸出反饋與狀態(tài)反饋之間的聯(lián)系，將LQ優(yōu)化設(shè)計(jì)方法引入PID控制參數(shù)的整定過程，提出了基于狀態(tài)反饋的PID參數(shù)整定方法，使得PID控制實(shí)現(xiàn)了線性二次最優(yōu)的控制效果，既避免了復(fù)雜的狀態(tài)采樣，又提高了輸出反饋的控制性能.試驗(yàn)分析以Matlab/Simulink為工具，比較了所提方案與傳統(tǒng)PID控制方案的效果，尤其比較了外部干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)時(shí)的懸浮控制特性，驗(yàn)證了本方案的有效性.

1 磁懸浮裝置動(dòng)態(tài)模型

在系統(tǒng)建模時(shí)做以下簡(jiǎn)化：假設(shè)電磁鐵芯無磁滯現(xiàn)象，磁通全部無漏磁地貫穿鐵芯，同時(shí)假設(shè)磁場(chǎng)在鐵芯和氣隙中都是均勻分布的，當(dāng)被懸浮對(duì)象在平衡點(diǎn)處做小幅變化時(shí)，可將其視為線性的動(dòng)態(tài)過程.

圖1 懸浮裝置原理分析Fig.1 Principles of magnetic levitation

以懸浮球?yàn)閷?duì)象進(jìn)行剛體受力分析，如圖1所示.圖1中，m為鋼球的質(zhì)量，x表示電磁鐵與剛體之間的距離，i為電磁鐵繞組中的電流，F(xiàn)(x，i)表示線圈通電時(shí)剛體所受的電磁力，fd(t)表示系統(tǒng)所受的干擾力.

根據(jù)牛頓第二定律，可得剛體球的運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

式(1)中的電磁力F(x，i)與氣隙x的平方成反比關(guān)系，有

(2)

當(dāng)電磁吸引力和被懸浮對(duì)象的重力相等時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，記平衡點(diǎn)為(x0，i0)，此時(shí)有邊值條件

F(x0，i0)=mg.

(3)

將電磁吸引力F在平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，忽略高階無窮小量，得

F(x，i)=F(x0，i0)+kx(x-x0)+ki(i-i0),

(4)

將式(4)代入式(1)，整理可得

(5)

分別用L和R表示電磁鐵的電磁感應(yīng)系數(shù)和阻抗，可得電磁線圈的電路方程為

(6)

這里，u0和u(t)分別表示平衡電壓和電壓調(diào)節(jié)增量.由于在平衡點(diǎn)處有邊值條件Ri0=u0，進(jìn)而

(7)

聯(lián)立式(5)和式(7)可得懸浮系統(tǒng)的線性化模型為

(8)

(9)

2 控制器參數(shù)的優(yōu)化整定

2.1經(jīng)典輸出反饋控制

控制系統(tǒng)中，最常用的控制規(guī)律是PID控制.它是一種線性控制器，根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差，將偏差的比例、積分和微分通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，其控制規(guī)律寫成傳遞函數(shù)為

(10)

式中：Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù).

PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：①比例環(huán)節(jié)，成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)，有偏差存在，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差；②積分環(huán)節(jié)，主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的靜態(tài)無差度，積分作用的強(qiáng)弱與積分時(shí)間常數(shù)成反比；③微分環(huán)節(jié)，反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)，利用系統(tǒng)偏差引入早期修正信號(hào)，加快系統(tǒng)的反應(yīng)速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間.

2.2狀態(tài)優(yōu)化的輸出反饋

進(jìn)一步討論式(10)所示PID控制器的參數(shù)整定問題.通過對(duì)比狀態(tài)反饋與輸出反饋的控制結(jié)構(gòu)，將時(shí)域的性能指標(biāo)優(yōu)化方法用于頻域的校正環(huán)節(jié)設(shè)計(jì).兩種控制方法的結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 狀態(tài)反饋與輸出反饋結(jié)構(gòu)對(duì)比Fig.2 Comparison of state feedback and output feedback structure

對(duì)于能控能觀的線性定常系統(tǒng)

(11)

邊值條件x(t0)=x0，指定二次型性能指標(biāo)

(12)

式中：u(t)為控制變量；A，B，C，Q，R為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，其中Q和R為正定對(duì)稱矩陣.

那么，最優(yōu)控制存在且唯一的表示為

u(t)=-R-1BTPx(t)，

(13)

式中：P是Riccati方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的非負(fù)定對(duì)稱解.線性定常最優(yōu)控制可通過對(duì)狀態(tài)的線性定常反饋來實(shí)現(xiàn)，反饋控制增益為K=-R-1BTP.

因輸出量可以直接測(cè)量，實(shí)際工程中輸出反饋被廣泛應(yīng)用.為了使系統(tǒng)達(dá)到所要求的性能指標(biāo)，需要引入串聯(lián)的PID控制器.下面討論兩種控制方法的內(nèi)在聯(lián)系.

在零初始狀態(tài)下，對(duì)式(11)進(jìn)行拉氏變換，可得

(14)

施加狀態(tài)反饋控制，狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的頻域結(jié)構(gòu)由圖2(a)表示，故系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

(15)

圖2(b)所示為對(duì)象的PID閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

(16)

若要PID控制具有和LQR控制相同的動(dòng)態(tài)性能，令它們的傳遞函數(shù)矩陣相等，可得PID控制器的傳遞函數(shù)矩陣為

(17)

基于系統(tǒng)的時(shí)域狀態(tài)空間描述，由線性二次最優(yōu)控制算法可以得到反饋增益K，根據(jù)式(17)便可得到控制矩陣G2(s)，這就得到了一種從時(shí)域最優(yōu)狀態(tài)反饋進(jìn)行PID控制器參數(shù)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法.

表1 懸浮系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Parameter list of the magnetic levitation system

3 仿真分析

以半徑為12.5 mm的鋼球?yàn)閼腋?duì)象，平衡位置(球心到磁極面)設(shè)定為20.5 mm，即懸浮球距離磁極面8 mm.表1列出了磁懸浮試驗(yàn)裝置的主要參數(shù).

在二次型性能指標(biāo)設(shè)計(jì)中，以控制電流輸入和小球位置動(dòng)態(tài)特征為優(yōu)化目標(biāo)，選擇Q=[100 0;0 1],R=1,以命令LQR(A,B,Q,R)得到反饋控制增益K=[-89.71 -2.89].根據(jù)式(17)得到輸出反饋控制的傳遞函數(shù)為

(18)

在Simulink軟件中進(jìn)行仿真，測(cè)試內(nèi)容包括對(duì)給定位置的跟蹤、對(duì)外部擾動(dòng)的抵抗、對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性.與經(jīng)典ZN控制參數(shù)整定進(jìn)行對(duì)比，具體分析如下.

3.1跟蹤控制效果

以表1中給出的參數(shù)由式(9)完成被控對(duì)象的模型搭建.分別以ZN方法和所提的狀態(tài)優(yōu)化PID方法為該對(duì)象設(shè)計(jì)控制器，以0.014 m為初始懸浮高度，將0.008 m設(shè)定為位置控制目標(biāo)，仿真結(jié)果如圖3所示.兩種方法都能較好地完成位置跟蹤的預(yù)定目標(biāo)，從圖3可以看出，受到權(quán)值Q的影響，所提方案具有狀態(tài)加權(quán)優(yōu)化效果,所得響應(yīng)速度為0.1 s,經(jīng)典ZN方法的響應(yīng)速度為0.2 s.

3.2抗擾性能

在上述跟蹤控制仿真的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較兩種控制方案對(duì)外部干擾的抵抗能力.在0.4 s時(shí)加入fd=0.01 N的外力作為干擾，仿真結(jié)果如圖4所示.在0.2 s后，兩種控制方案均能使被控對(duì)象的懸浮位置穩(wěn)定到預(yù)定的0.008 m.在0.4 s開始持續(xù)增加外部干擾時(shí)，兩種方案的控制效果差異明顯,所提的SSPID方法能夠使懸浮對(duì)象在經(jīng)過約0.09 s的振蕩調(diào)節(jié)后迅速恢復(fù)到預(yù)定位置.使用經(jīng)典ZNPID方法時(shí)，受干擾偏離預(yù)定位置的懸浮對(duì)象未能自動(dòng)恢復(fù)，最終存在0.000 5 m的穩(wěn)態(tài)誤差.

3.3參數(shù)攝動(dòng)分析

在抗擾性能分析的基礎(chǔ)上，將磁懸浮系統(tǒng)的電流剛度調(diào)整到原來的一半，用當(dāng)前控制參數(shù)進(jìn)行仿真，分析兩種控制方案對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性，仿真結(jié)果如圖5所示.當(dāng)電流剛度發(fā)生攝動(dòng)時(shí)，所提的SSPID控制方案對(duì)參數(shù)攝動(dòng)不敏感，在外部干擾發(fā)生0.4 s時(shí)，懸浮對(duì)象的振蕩幅度僅有小幅增加.而同樣情況發(fā)生時(shí),ZNPID方法則無法穩(wěn)定懸浮，造成了掉落的失控結(jié)果.對(duì)比顯示，經(jīng)過狀態(tài)優(yōu)化的方案對(duì)電流剛度攝動(dòng)的靈敏度較低，魯棒性強(qiáng).

圖3 位置跟蹤效果比較Fig.3 Comparison of position tracking

圖4 有外部干擾時(shí)的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results with external disturbance

圖5 有參數(shù)攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results with parameter perturbations

4 結(jié)語

以磁懸浮球懸浮高度的準(zhǔn)確快速跟蹤為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)傳統(tǒng)PID控制參數(shù)的整定方法進(jìn)行了優(yōu)化探討.通過輸出反饋與狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)的對(duì)比，將LQ二次最優(yōu)設(shè)計(jì)方法用于PID控制參數(shù)的整定，這樣的改變使系統(tǒng)具有輸出反饋的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu),而且控制參數(shù)的求解有了統(tǒng)一的最優(yōu)解表達(dá).從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，優(yōu)化后的控制系統(tǒng)跟蹤速度快、靜差小，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)的抵抗能力也有所提升.優(yōu)化后的設(shè)計(jì)方法使得輸出反饋結(jié)構(gòu)具有狀態(tài)反饋優(yōu)化的效果，所得仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了技術(shù)支持，下一步將在應(yīng)用實(shí)例中對(duì)所得設(shè)計(jì)方案進(jìn)行驗(yàn)證和分析.

[1] NA W,PARK T,KIM T.Light fuel-cell hybrid electric vehicles based on predictive controllers[J].IEEE Transaction on Vehicular Technology,2011(60):89-97.

[2] 藍(lán)益鵬,陳其林,胡學(xué)成，等.磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)非脆弱魯棒控制的研究[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2016(7): 26-32.

[3] JIANG D,SHAN Y,WANG D Y,et al.Research on magnetic levitation absolute vibration measurement method in vehicles[J].Instrumentation,2014(2):38-49.

[4] 任鵬飛，薛鵬.基于修正BP的磁懸浮系統(tǒng)PID控制參數(shù)優(yōu)化[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016(3):42-46.

[5] 謝磊,聶洪平,何瑩.改進(jìn)型PID控制永磁偏置磁懸浮軸承[J].微特電機(jī),2017(2):23-26，30.

[6] 李廣.磁懸浮球系統(tǒng)的魯棒控制研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué),2013.

OutputfeedbackcontrollerdesignformagneticlevitationsystemviaLQoptimization

XUEPeng,HANJiale,LIBaolong

(CollegeofElectricalInformationEngineering,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China)

Magnetic levitation is an open-loop unstable nonlinear system. Its control algorithm is worth being studied. Although the output feedback PID control scheme is widely used because of its simplicity, its control accuracy is poor due to the parameter tuning depends on design experience. With the output feedback structure, LQ quadratic optimization method was proposed to optimize its control parameters. The designed magnetic levitation control system has the following advantages. A uniform optimal solution was obtained which makes the calculation more convenient. The status information was used for the controller design, which improves the control performance of the output feedback. The proposed scheme avoided complex computations of state samples. Comparing the proposed scheme with the classical PID scheme, simulation results show that the proposed control scheme with LQ optimization has better tracking performance. The sensitivity to external disturbances and internal parameters perturbations is reduced.

magnetic levitation; output feedback; LQ optimization; robust

TP273

A

1674-330X(2017)03-0039-05

2017-01-08

薛鵬(1978-)，男，河南郾城人，副教授，博士，主要從事先進(jìn)智能控制和人機(jī)協(xié)作系統(tǒng)優(yōu)化方面的研究.