合理構(gòu)造輔助函數(shù)

馬維+++高明

【摘要】數(shù)學(xué)分析中有幾個(gè)微分中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理都是微分學(xué)中十分重要的定理，對(duì)微分學(xué)影響巨大，而它們的證明正是以構(gòu)造輔助函數(shù)為橋梁，才得以完成。數(shù)學(xué)本來(lái)就是貫通的，所以這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中也發(fā)揮著重要的作用。下面筆者會(huì)用一些例子來(lái)說(shuō)明怎樣去構(gòu)造一個(gè)具體的函數(shù)，又怎樣利用函數(shù)的性質(zhì)去解決具體問題。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造 輔助函數(shù) 單調(diào)性

【基金項(xiàng)目】西華師范大學(xué)2014年校級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：403/403299。

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）37-0243-01

一、利用輔助函數(shù)的單調(diào)性解題

在一些不等式問題中，往往需要我們恰當(dāng)?shù)姆趴s，來(lái)達(dá)到證明不等式的目的。最近幾年，尤其是在高中競(jìng)賽題中，不等式的考查成為熱點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)于某些不等號(hào)兩邊有類似的形式的不等式我們可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。其中這類不等式有絕對(duì)值不等式、高次不等式、三角函數(shù)不等式、含指對(duì)數(shù)的不等式等等。

例1 a>b>0，求證： > .

分析與證明：注意到不等式兩邊的形式是相同的，只是指數(shù)不同，一個(gè)是 ，一個(gè)是2，所以利用其形式的一致性，我們構(gòu)造函數(shù)f（x）= = -1，因?yàn)?a>b>0，所以0< <1，所以容易得到f（x）= = -1在R上單調(diào)遞增，∵ >2 ∴ >

注意觀察不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)的單調(diào)性可以有效地解決這類問題。

二、利用輔助函數(shù)的奇偶性解題

在一些含有比較復(fù)雜結(jié)構(gòu)的等式中，想要解出這個(gè)等式十分困難，所以我們可以根據(jù)其類似的形式，構(gòu)造新的輔助函數(shù)，利用其奇偶性來(lái)解決。

例2 設(shè)實(shí)數(shù)x，y∈- ， ，a∈R，且x +sinx-2a=04y +siny cosy+a=0，則cos（x+2y）= .

分析與解答：這是一個(gè)方程組，雖然它們表面上沒有相同的形式，但我們卻可以通過配湊來(lái)達(dá)到相同形式的目的，然后通過構(gòu)造合理函數(shù)來(lái)解決。

證明：原方程組可轉(zhuǎn)化為x +sinx=2a （2y） + sin2y= （-2a）即x +sinx=2a（2y） +sin2y=-2a

構(gòu)造輔助函數(shù)f（t）=t3+sint 顯然f（t）為奇函數(shù)，且在- ， 上單調(diào)遞增。又由于f（x）=x +sinx=2a，f（2y）=（2y） +sin2y=-2a

故f（x）=-f（2y）=f（-2y） ∴x=-2y，x+2y=0，cos（x+2y）=1

三、利用輔助函數(shù)的凹凸性解題

函數(shù)的性質(zhì)，除了單調(diào)性、奇偶性，其實(shí)還有凹凸性，我們也可以根據(jù)新函數(shù)的凹凸性來(lái)解決問題。

例3 設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，則函數(shù)f（x，y，z）= + + 的最小值。

分析與解答：三元函數(shù)f（x，y，z）的三個(gè)式子都具有相同的形式，所以容易構(gòu)造輔助函數(shù)，此處筆者通過構(gòu)造兩種不同的輔助函數(shù)來(lái)解決這個(gè)問題。

（方法一）證明：構(gòu)造輔助函數(shù)g（t）= ，t∈（0，1）

∴f（x，y，z）=g（x）+g（y）+g（z）

g'（t）= >0

∴g（t）在（0，1）上是下凹函數(shù)

∴ ≥g =0 故f（x，y，z）≥0

（方法二）證明：構(gòu)造輔助函數(shù)h（t）= ，t∈（0，1）

h'（t）= >0

∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增 ∴任取t1，t2∈（0，1）有（h（t1）-h（t2））（t1-t2）≥0 即h（t）-h t- ≥0 ∴ - t- ≥0

∴ - ≥ t- ∴ ≥ t-3

∴f（x，y，z）= + + ≥ （x+y+z-3）=0

化曲為直也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)然了前提是要合理構(gòu)造函數(shù)，不同的構(gòu)造方法自然會(huì)產(chǎn)生不同的解決方法。輔助函數(shù)的構(gòu)造離不開分析、推理和聯(lián)想，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造，能夠幫助我們簡(jiǎn)便有效的解決某些問題，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的。函數(shù)是貫穿整個(gè)高中的一條主線，在構(gòu)造新函數(shù)的時(shí)候，需要仔細(xì)觀察等式、不等式的特征，利用一些基本初等函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解答。endprint