指數(shù)波形松弛方法

(閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州 350108)

指數(shù)波形松弛方法

范振成

(閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州 350108)

結(jié)合常微分方程的指數(shù)方法和波形松弛方法,建立指數(shù)波形松弛方法。然后證明了該方法是收斂的。最后通過算例與顯式歐拉方法、指數(shù)方法和波形松弛方法進(jìn)行對比。結(jié)果表明，對于弱耦合的大系統(tǒng),指數(shù)波形松弛方法具有一定優(yōu)勢。

剛性微分方程;指數(shù)方法;波形松弛方法

剛性方程是一類重要的常微分方程[1]。大多數(shù)剛性方程沒有解析解，建立數(shù)值方法求近似解是必要的。常微分方程的數(shù)值方法可以分為顯式和隱式兩類。大量理論研究和實(shí)際應(yīng)用表明:顯式方法不適合剛性方程，一般用隱式方法求解[2]。然而，隱式方法將導(dǎo)致非線性方程組，求解非線性方程組(尤其大方程組)是一個艱巨的任務(wù)。指數(shù)方法先通過指數(shù)型變換弱化系統(tǒng)的剛性，進(jìn)而可以用顯式方法達(dá)到較理想的計算結(jié)果[3-4]。而當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模太大時，前述3種辦法都可能超出容許度。波形松弛方法是為了求解大系統(tǒng)而建立的，它具有并行性和多速率性兩個優(yōu)點(diǎn)，適用于由一些子系統(tǒng)弱耦合而成的大系統(tǒng)[5-6]。

對于大的剛性系統(tǒng)，單獨(dú)的指數(shù)方法和波形松弛方法都不理想，前者不適用大系統(tǒng)，后者難以處理剛性問題。本文的指數(shù)波形松弛方法將兩種方法結(jié)合，利用波形松弛方法分解計算，利用指數(shù)方法弱化剛性，兼具兩種方法的優(yōu)點(diǎn)。

1 指數(shù)波形松弛方法

考慮剛性初值問題:

這里要求g(t，x(t))具有小Lipschitz常數(shù)，線性部分Ax一般通過對f(t，x(t))線性化獲得。

建立波形松弛方法

上式最后一個方程兩邊同乘e-At得

進(jìn)而有

令T>0,取[0,T]上步長為h的等距節(jié)點(diǎn)集{t0,t1,…,tN},其中,

t0=0,tN=T,h=T/N,ti+1=ti+h,i=0,1,…,N-1。

式(1)兩端從tn到tn+l積分得

用Newton-Cotes公式近似上式中的定積分(見文獻(xiàn)[7])

2 收斂性證明

引理[7]：設(shè){cj}為實(shí)數(shù)列,滿足

cj+1≤ajcj+bj,j=0,1,…,m-1

其中,aj>0,bj∈R,則cj≤Ej(j=0,1,…,m),其中,

定理：假設(shè)函數(shù)g滿足Lipschitz條件,即存在L使得對所有x1,x2∈R

|g(t,x1)-g(t,x2)|≤L|x1-x2| (4)

那么

由式(4)、(5)和歸納假設(shè)有

由引理得

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對比指數(shù)波形松弛方法與3種傳統(tǒng)方法: 顯式歐拉方法、指數(shù)方法、波形松弛方法。為簡單使用線性實(shí)驗(yàn)方程,并且所有方法都基于顯式歐拉方法。

考慮初值問題

此方程解的第一分量變化快,其余3個分量變化慢,這是剛性方程。記

使用分割f(t,x)=Ax+g(t,x)=Ax+Bx.取步長h=0.001,N=0.1/h=100,x0=x(0)。方程(8)的顯式歐拉方法為

基于顯式歐拉方法的指數(shù)方法、波形松弛方法和指數(shù)波形松弛方法分別為

表1 在t=0.1處方程(8)的精確解的值和數(shù)值方法(9)～(12)的計算值Tab.1 The value of the exact solution and approximate solutions generated by(9)～(12)at t=0.1 for equation(8)

方法(9)～(12)都是顯式方法,一般情況顯式方法不能用來求解剛性問題。從表1中數(shù)據(jù)可以看出顯式歐拉方法(9)、波形松弛方法(11)的計算結(jié)果誤差較大,而同樣步長的指數(shù)波形松弛方法(12)和指數(shù)方法(10)計算結(jié)果較準(zhǔn)確,說明建立的指數(shù)波形松弛方法一定程度上克服了顯式方法的缺點(diǎn),可以用于求解剛性方程。方法(12)需要迭代3次,計算量比方法(10)大,但方法(12)繼承了波形松弛方法的優(yōu)點(diǎn),即通過選擇適當(dāng)?shù)姆指詈瘮?shù)(比如塊對角矩陣),可以將計算任務(wù)分解成若干獨(dú)立的小任務(wù),進(jìn)而在不同的處理器上同時完成,而且允許在不同處理器上使用不同方法,因而比方法(10)更適合弱耦合的大系統(tǒng)。

[1] 袁兆鼎,費(fèi)景高,劉德貴.剛性常微分方程初值問題的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社,1987.

[2] Dekker K,Verwer J G.Stability of Runge-Kutta methods for stiff nonlinear differential equatons[M].Amsterdam:Elsevier Science Ltd,1984.

[3] Hochbruck M,Ostermann A.Exponential multistep methods of Adams-type[J].Numerical Mathematics,2011,51(4):889-908.

[4] Xu Y,Zhao J J,Sui Z N.Exponential Runge-Kutta methods for delay differential equations[J].Mathematics and Computers in Simulation,2010,80(12):2350-2361.

[5] Hout K J.On the convergence of waveform relaxation methods for stiff nonlinear ordinary differential equations[J].Applied Numerical Mathematics,1995,18(1):175-190.

[6] Zhou S,Huang T Z.Convergence of waveform relaxation methods for Hermitian positive definite linear systems[J].Applied Mathematics and Computation,2008,203(2):943-952.

[7] 張平文,李鐵軍.數(shù)值分析[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

(責(zé)任編輯：陳雯)

Exponentialwaveformrelaxationmethods

Fan Zhencheng

(Mathematics Department,Minjiang University,Fuzhou 350108，China)

Firstly,the exponential waveform relaxation methods (EWRMs) for ordinary differential equations are established by combining the exponential methods (EMs) and the waveform relaxation methods (WRMs).Secondly,the convergence of the EWRMs is confirmed.Lastly,numerical experimentation is conducted to make a comparison among the explicit Euler methods,EMs and WRMs.The results indicate that the EWRMs are advantageous for large weakly coupled systems of ordinary differential equations.

stiff differential equation;exponential method;waveform relaxation method

O241.81

A

1672-4348(2017)04-0364-03

10.3969/j.issn.1672-4348.2017.04.011

2017-03-14

福建省自然科學(xué)基金(2015J01588);福建省設(shè)區(qū)市屬高?？蒲袑ｍ?xiàng)(JK2014041)

范振成(1971-),男,黑龍江依安人,教授,博士，研究方向：隨機(jī)微分方程數(shù)值方法。