最近鄰與長程移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)動力學(xué)研究

崔怡望，田寶國，王 棟

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

最近鄰與長程移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)動力學(xué)研究

崔怡望a，田寶國b，王 棟a

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，諸如空降兵作戰(zhàn)、特種兵作戰(zhàn)等部隊的遠距離轉(zhuǎn)移和投送被頻繁使用，這些作戰(zhàn)問題明顯不同于以往運用空間Lanchester方程所研究的最近鄰移動作戰(zhàn)問題。為了解釋上述現(xiàn)代作戰(zhàn)問題，文章引入新的長程移動模式——列維飛行，運用隨機模擬方法對作戰(zhàn)雙方在最近鄰移動、長程移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)時空動力學(xué)進行了研究，得到了這2種移動模式下穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的參量條件與臨界曲線，并研究了不同參量情況下的斑圖演化與密度時間序列曲線的變化情況。研究表明，這2種移動模式的動力學(xué)影響是不同的，列維飛行能明顯提高搜索效率，使整體作戰(zhàn)效率提高，戰(zhàn)斗過程縮短。

Lanchester方程；最近鄰移動；列維飛行

Lanchester方程在1914年被提出[1]，最初是用來描述空戰(zhàn)，國內(nèi)外學(xué)者以該模型為基礎(chǔ)進行了大量的研究[2-4]，研究者普遍認為線性律和平方律只適用于古老的和過時的戰(zhàn)爭，而不能用來解釋說明現(xiàn)代戰(zhàn)爭，原因在于現(xiàn)代戰(zhàn)爭的進程和結(jié)果很大程度上依賴于地形地貌、通信、武器、士兵能力以及戰(zhàn)術(shù)策略等綜合因素，后來有些學(xué)者進一步在原有常微分方程的基礎(chǔ)上引入了空間因素。Lauren等使用元胞自動機模型研究了Lanchester作戰(zhàn)的時空動力學(xué)[5-13]，建立了有分形特征的作戰(zhàn)方程，用來解釋特定環(huán)境下作戰(zhàn)兵力采用分散式、游擊戰(zhàn)式或群集式策略的有效性。Ilachinski做了早期的智能體作戰(zhàn)模型研究[14-16]。21世紀以來，隨著機器人、無人機以及傳感器、網(wǎng)絡(luò)通訊等技術(shù)的迅速發(fā)展與推廣使用，智能體模型在社會、經(jīng)濟、軍事等領(lǐng)域的研究呈現(xiàn)爆發(fā)式的發(fā)展[17-22]，并具有巨大的應(yīng)用價值與發(fā)展前景。Protopopescu等人為解決部隊通過某區(qū)域或戰(zhàn)斗空間的運動模擬問題[23-24]，將Lanchester方程由常微分方程形式擴展到了偏微分方程形式，研究了部隊行進過程中的擴散效應(yīng)，以及作戰(zhàn)雙方之間不同的相互作用等造成的影響；后來，Spradlin、Keane、Gonzalez等人使用偏微分方程分別研究了作戰(zhàn)雙方在整個戰(zhàn)斗區(qū)域里的運動或者擴散效應(yīng)以及更為復(fù)雜的時空演化動力學(xué)[25-32]，這方面的理論研究潛力巨大，已成為Lanchester作戰(zhàn)模型研究的新發(fā)展方向。

已有研究中的Lanchester作戰(zhàn)模型都屬于最近鄰移動作戰(zhàn)，沒考慮實際作戰(zhàn)過程中部隊的長程移動問題，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，諸如空降兵作戰(zhàn)、特種兵作戰(zhàn)等，部隊的遠距離轉(zhuǎn)移和投送被頻繁使用，這些作戰(zhàn)問題明顯不同于以往運用空間Lanchester方程所研究的最近鄰移動作戰(zhàn)問題。為了能更好地解釋上述現(xiàn)代作戰(zhàn)問題，本文借鑒生物學(xué)與社會學(xué)中群體移動的統(tǒng)計研究結(jié)論：在自然演化過程中，生物獲得了最優(yōu)的搜索模式——列維飛行[33-44]，將列維飛行等移動模式引入，并作為部隊的長程移動模式，進一步研究最近鄰移動、長程移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)時空動力學(xué)。

1 最近鄰移動模式

1.1 模型

首先，建立所研究的模型，使用規(guī)模為100×100的平面網(wǎng)格，采用周期邊界條件。二維平面網(wǎng)格上的每一個位置由紅方個體A或藍方個體B占有，規(guī)定每一個位置最多有一個個體，如果某個位置上沒有紅、藍方個體，則用空位置?表示。紅、藍雙方個體A、B以及空位置?之間的相互作用關(guān)系如下：

式（1）、（2）中：μ為消滅增援率，假設(shè)紅、藍方的消滅增援率相同，消滅增援率體現(xiàn)雙方個體的戰(zhàn)斗力與增援能力；e為交換率，表示雙方個體的宏觀流動性。

采用隨機模擬方法，進行Monte Carlo模擬，具體步驟為：首先，隨機選擇某一位置的個體；然后，從其上下、左右最近鄰4個位置處的個體中隨機選擇一個位置上的個體，與之發(fā)生式（1）、（2）所表示的相互作用。個體之間發(fā)生的相互作用行為如圖1a）～e）所示。

二維格子代表作戰(zhàn)雙方A（紅色）、B（藍色）的個體以及空格（灰色）。紅、藍方個體相遇以一定的概率發(fā)生消滅增援行為，空位置與紅、藍方個體之間以一定的概率發(fā)生交換行為。

如圖1a）表示紅方個體以μ的反應(yīng)率消滅其最近鄰的藍方個體，接著在原來藍方個體的格子上增援1個紅方個體；圖1b）表示藍方個體以μ的反應(yīng)率消滅其最近鄰的紅方個體，接著在原來紅方個體的格子上增援1個藍方個體；圖1c）表示紅方個體以e的反應(yīng)率與其最近鄰的空格交換位置，圖1d）表示藍方個體以e的反應(yīng)率與其最近鄰的空格交換位置；圖1e）表示紅、藍雙方個體的消滅繁殖和交換位置2種過程在3×3的格子上的示意圖。規(guī)定當(dāng)作戰(zhàn)雙方個體相遇發(fā)生戰(zhàn)斗時，消滅彼此的概率是相等的。消滅增援和交換2種行為的發(fā)生概率由經(jīng)典的Gillespie算法決定[45]，可得消滅增援發(fā)生的概率為，交換位置發(fā)生的概率為，接著按照上述算法循環(huán)進行下去，每次均取大于或等于10000代的模擬結(jié)果。

1.2 隨機模擬

1.2.1 消滅增援率——交換率臨界曲線

在隨機模擬過程中，初始分布為均勻隨機分布，紅方A、藍方B與空位置?的初始分布比例大致為3∶3∶4。消滅增援率μ和交換率e為可調(diào)參量。調(diào)整消滅增援率和交換率等參量，觀察紅、藍方的動態(tài)戰(zhàn)斗與擴散過程。在隨機模擬過程中，當(dāng)模擬代數(shù)等于10000代時，紅、藍方均存在，定義為穩(wěn)定共存狀態(tài)；紅、藍方中的任意一方被對方全部消滅時，戰(zhàn)斗結(jié)束，定義為非穩(wěn)定共存狀態(tài)。

調(diào)整消滅增援率μ、交換率e的取值，分別進行隨機模擬，通過模擬得到穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的臨界曲線，如圖2所示，2條臨界曲線之間（包括2條臨界曲線）為紅、藍方非穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，其他參量區(qū)域?qū)?yīng)于紅、藍方穩(wěn)定共存狀態(tài)。

在圖2中，選取雙方非穩(wěn)定共存區(qū)域的參量μ=1，e=0.6和穩(wěn)定共存區(qū)域的參量μ=10，e=10，得到對應(yīng)的雙方密度時間序列曲線如圖3、4所示。

圖3中的雙方密度時間序列曲線表示：一方數(shù)量增加，另一方數(shù)量減少到0，即被完全消滅，大量的模擬發(fā)現(xiàn)，雙方被消滅的機會均等。圖4中，紅方、藍方的數(shù)量盡管具有隨機性變化特點，交替性增減，呈現(xiàn)此消彼長的相抗衡關(guān)系，即雙方形成穩(wěn)定共存狀態(tài)。

1.2.2 穩(wěn)定斑圖及其變化規(guī)律

在圖2中，對應(yīng)紅、藍方穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，選取消滅增援率并保持不變，再增大交換率，觀察斑圖的演化，研究交換率對穩(wěn)定斑圖的影響，見圖5～8。

觀察圖5～8中的斑圖，可發(fā)現(xiàn)，在消滅增援率不變的情況下，交換率越大，經(jīng)過相同時間的斑圖變化越大，而且斑圖中斑塊越小，越分散，說明紅、藍雙方的自組織性越差，越不容易形成大的斑塊；交換率越小，紅、藍雙方的自組織性越強，能較容易形成大的斑塊。再選取不同的消滅增援率，進行與以上相同的研究步驟，觀察斑圖的演化特點，所得結(jié)論同上。

圖9、10是對應(yīng)以上2組參量情況下雙方密度的時間序列曲線。

在圖9、10中可以明顯觀察到，在最近鄰移動模式下，紅方、藍方的數(shù)量交替性增減，幅度變化也較大，且呈現(xiàn)此消彼長的相抗衡關(guān)系，雙方也形成穩(wěn)定共存狀態(tài)。

在圖2中的穩(wěn)定共存參量區(qū)域內(nèi)，選取交換率并保持不變，再增大消滅增援率，觀察斑圖的演化特點，以研究消滅增援率對穩(wěn)定斑圖的影響，結(jié)果如圖11、12所示。

觀察圖11、12中的斑圖，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)交換率固定不變時，隨著消滅增援率的增大，斑塊規(guī)模變大，這說明紅、藍雙方的自組織性變強；而當(dāng)消滅增援率變小時，斑圖中零碎小斑塊越多，大斑塊越少，即紅、藍雙方的自組織性越弱。與以上參量對應(yīng)的雙方密度時間序列曲線如圖13～16所示，同樣可發(fā)現(xiàn)，紅方、藍方的數(shù)量也是交替性增減，呈現(xiàn)此消彼長的相抗衡關(guān)系，雙方也形成穩(wěn)定共存狀態(tài)。

2 長程移動模式

2.1 模型

在生物學(xué)與社會學(xué)的實證研究中，已發(fā)現(xiàn)個體的移動遵循列維飛行等模式[33-44]，例如鹿、蜘蛛猿、海洋捕食類魚、細菌以及人類等，它們的覓食與搜索活動符合列維飛行等模式。

列維飛行描述的運動模式是指運動距離的概率密度分布函數(shù)為冪律函數(shù)，即：

式（3）中：li為第i次移動的距離；P(li)為飛行距離為li的概率；h為冪指數(shù)，當(dāng)-3.0≤h＜-1.0時為列維飛行，當(dāng)h＜-3.0時為布朗運動。

研究發(fā)現(xiàn)：列維飛行是在自然演化過程中生物獲得的最有效覓食和搜索模式[33-44]。受此啟發(fā)，本文將列維飛行等長程移動模式引入，將其作為部隊的長程移動模式，再深入研究最近鄰移動、長程移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)時空動力學(xué)。

采用與前面相同的規(guī)模為100×100的二維平面網(wǎng)格，紅、藍方個體A、B以及空位置?之間的相互作用關(guān)系與式（1）、（2）所表示的相同，在隨機模擬過程中，初始分布同樣為均勻隨機分布，紅、藍方個體A、B與空位置?的初始分布比例與最近鄰移動模式相同。唯一不同的是，在長程移動模式下，隨機選擇的個體按照冪律分布P(li)∝以及Monte Carlo算法所得出的飛行距離（本文均采用Manhatton距離）和方向找到下一個個體，發(fā)生式（1）、（2）所表示的相互作用行為。

2.2 隨機模擬

在實際生物、社會系統(tǒng)和軍隊中，個體受到自身活動能力以及活動區(qū)域等的限制，平均而言，個體移動的距離存在一個限制值[45-46]，定義它為最大飛行距離，用lmax表示。對于個體具有實際意義的是最大飛行距離lmax和冪指數(shù)h。在隨機模擬過程中設(shè)定列維飛行的最大飛行距離為lmax=M/2，列維飛行冪指數(shù)為h=-2。在隨機模擬過程中，當(dāng)模擬代數(shù)等于10000代時，紅、藍方均存在，定義為穩(wěn)定共存狀態(tài)；紅、藍方中的任意一方被對方全部消滅時，戰(zhàn)斗結(jié)束，定義為非穩(wěn)定共存狀態(tài)。

2.2.1 消滅增援率-交換率臨界曲線

調(diào)整消滅增援率μ、交換率e分別進行隨機模擬，通過模擬得到長程移動模式下穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的臨界曲線，如圖17所示，2條臨界曲線之間（包括2條臨界曲線）為紅、藍方非穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，其他參量區(qū)域?qū)?yīng)于紅、藍方穩(wěn)定共存狀態(tài)。

在圖17中，選取雙方非穩(wěn)定共存區(qū)域的參量μ=5，e=3和穩(wěn)定共存區(qū)域的參量μ=10，e=10，得到雙方密度時間序列曲線如圖18、19所示。

圖18表示紅方數(shù)量增加，藍方數(shù)量減少到0，即藍方被紅方完全消滅。模擬發(fā)現(xiàn)，紅方或藍方被消滅的機會均等。圖19中，紅方、藍方雙方的數(shù)量也隨機變化、交替性增減，呈此消彼長的抗衡關(guān)系，即雙方形成穩(wěn)定共存狀態(tài)；與相同參量下最近鄰移動模式的結(jié)果（圖4）相比，長程移動模式下雙方數(shù)量變化幅度更大。

2.2.2 穩(wěn)定斑圖及其變化規(guī)律

在圖17中，對應(yīng)紅、藍方穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，選取消滅增援率并保持不變，再增大交換率，觀察斑圖的演化，研究交換率對穩(wěn)定斑圖的影響，見圖20～23。

由斑圖觀察可發(fā)現(xiàn)，列維飛行長程移動模式的影響較明顯，如圖中，在一些較大的斑塊中，總是不規(guī)則分布著較小的敵方斑塊，小斑塊能逐漸侵蝕消滅大斑塊，很顯然這是長距離列維飛行所導(dǎo)致的結(jié)果；當(dāng)消滅增援率固定不變的情況下，交換率越大，斑圖中小斑塊越多，且小斑塊的分布較為分散，說明交換率抵消紅、藍雙方的自組織性，交換率越大，紅、藍雙方的自組織性越差，越不容易形成大的斑塊；交換率越小，紅、藍雙方的自組織性越強，越容易形成大的斑塊，這在圖24中較為明顯。

與以上參量對應(yīng)的雙方密度的時間序列曲線如圖25～28所示，結(jié)果均表示，紅方、藍方的數(shù)量都具有隨機性變化特點，且交替性增減，呈現(xiàn)此消彼長的相抗衡關(guān)系，雙方始終能穩(wěn)定共存。

在圖17中，對應(yīng)于紅、藍方穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，選取交換率并保持不變，再增大消滅增援率，觀察斑圖的演化，研究消滅增援率對穩(wěn)定斑圖的影響，如圖29、30所示。

觀察斑圖可發(fā)現(xiàn)，列維飛行長程移動模式的影響也較為明顯，如圖29、30所示，長距離列維飛行所導(dǎo)致，在一些較大的斑塊中總有不規(guī)則分布著的較小敵方斑塊，小斑塊能逐漸侵蝕消滅大斑塊；在交換率不變的情況下，隨著消滅增援率的增大，零碎小斑塊減少，大斑塊規(guī)模越來越大，說明紅、藍雙方的自組織性越來越強，即己方所占區(qū)域中敵方個體越來越少。圖31、32表明變化特點與以上長程移動模式下結(jié)果均相同，紅、藍雙方也處于相抗衡的穩(wěn)定共存狀態(tài)。

3 最近鄰移動模式與長程移動模式的比較

3.1 臨界曲線比較

比較最近鄰移動模式和長程移動模式下的消滅增援率——交換率臨界曲線，如圖33所示。

由圖33可發(fā)現(xiàn)，最近鄰移動模式和長程移動模式的消滅增援率-交換率臨界曲線有所不同，隨著消滅增援率的增大，長程移動模式與最近鄰移動模式相比，非穩(wěn)定共存參量區(qū)域呈向下平移趨勢，這說明列維飛行導(dǎo)致總流動性增強，交換率須減小以保持總流動性不變，才能使演化結(jié)果保持不變。

3.2 穩(wěn)定共存時間比較

為進一步分析相同情況下，紅、藍方個體的移動模式對雙方穩(wěn)定共存時間以及穩(wěn)定斑圖的影響，選取最近鄰移動模式和長程移動模式下紅、藍雙方穩(wěn)定共存區(qū)域的參量，分別選取μ=2、e=5，μ=2、e=2，μ=1、e=1各作隨機模擬100次，對穩(wěn)定共存代數(shù)取平均值，得到紅、藍雙方最近鄰移動模式下平均穩(wěn)定共存代數(shù)分別為48121代、39221代、34947代，長程移動模式下平均穩(wěn)定共存代數(shù)為44716代、34933代、33755代。對于消滅增援率、交換率取其他值的情況也做了隨機模擬研究，可發(fā)現(xiàn)2種移動模式對雙方戰(zhàn)斗的結(jié)果有不同的影響。比較而言，相同參量情況下采用長程移動模式時紅、藍雙方穩(wěn)定共存時間更短。這說明列維飛行模式的搜索效率比較高，使整體作戰(zhàn)效率提高，導(dǎo)致紅、藍雙方穩(wěn)定共存時間變小，戰(zhàn)斗過程縮短。

4 結(jié)論

本文分別對最近鄰移動和列維飛行移動模式下Lanchester作戰(zhàn)模型進行了研究，得到了這2種移動模式下穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的參量條件與臨界曲線，并研究了不同參量情況下的斑圖演化與雙方密度時間序列曲線的變化情況。研究發(fā)現(xiàn)：對于這2種移動模式，隨著消滅增援率的增大，斑塊規(guī)模都會變大，這說明紅、藍雙方的自組織性增強；而當(dāng)消滅增援率變小時，斑圖中零碎小斑塊越多，大斑塊越少，即紅、藍雙方的自組織性減弱；當(dāng)消滅增援率固定不變時，交換率越大，斑圖中小斑塊越多，且小斑塊的分布較為分散，紅、藍雙方的自組織性越差，越不容易形成大的斑塊。交換率越小，紅、藍雙方的自組織性越強，越容易形成大的斑塊。經(jīng)過深入研究可知，這2種移動模式下的穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存參量區(qū)域有所不同，原因是這2種移動模式的動力學(xué)影響不同，長距離列維飛行效應(yīng)顯著，并且列維飛行導(dǎo)致總流動性增強。比較而言，相同參量情況下采用列維飛行移動模式時紅、藍雙方穩(wěn)定共存時間更短。這說明列維飛行模式的搜索效率比較高，使整體作戰(zhàn)效率提高，導(dǎo)致紅、藍雙方穩(wěn)定共存時間變小，作戰(zhàn)過程明顯縮短。

由上述結(jié)果，可以看出，本文所做的研究具有一定新意，為解釋實際作戰(zhàn)過程提供了新的理論基礎(chǔ)。

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Research on the Lanchester Combat’S Dynamics in the Nearest-Neighbor and Long-Range Movement Mode

CUI Yiwanga,TIAN Baoguob,WANG Donga
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade;b.Department of Basic Sciences,Yantai Shandong 264001,China）

In modern warfare,long distance transfers and deliveries of troops,such as airborne operations,special forces operations,etc,are frequently used.These operational problems are obviously different from those operation problems of nearest-neighbor movement that were studied through the spatial Lanchester equations in the past.In order to interpret modern operation problems above,in this paper,a new long-range movement mode--Levy flight was introduced.Then the spatiotemporal dynamics of Lanchester combat in the nearest-neighbor movement and long-range movement mode were studied by using the stochastic simulation method.The parameter conditions for stable coexistence and instable coexis?tence and critical curvesin those two movement modes were obtained.Next the evolution of patterns and changes of the densities’time series curves in the case of different parameters were studied.It showed that the dynamical effects of the two movement modes were different.Levy flight could obviously improve the search efficiency,thus improve the overall combat efficiency and shorten the combat process.

Lanchester equations;nearest-neighbor movement;levy flight

E91；O441

A

1673-1522（2017）04-0401-10

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.04.011

2017-06-16；

2017-07-06

院?；A(chǔ)研究基金資助項目（HYJC201708）

崔怡望（1992-），男，碩士生。